18.5 分式方程第1课时 分式方程及其解法课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程，讲解定义、解法步骤（去分母化整式方程、解整式方程、检验）。通过轮船顺逆流航行问题导入，结合路程速度时间关系列方程，对比整式方程引出分式方程，构建从实际情境到数学概念的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过对比整式与分式方程发展抽象能力（数学思维），解法步骤清晰且强调检验，结合例题和练习帮助规范表达（数学语言）。采用情境创设与步骤总结的教学方法，学生能提升解决问题的能力，教师可高效开展教学。

18.5 分式方程 R·八年级上册 第1课时 分式方程及其解法 第十五章 分 式 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ v顺流 = v静水 + v水流 v逆流 = v静水 – v水流 三量关系： 情境导入 如果设江水的流速为 v km / h： 速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式 顺流 逆流 30 + v 30 – v 90 60 仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？ 知识点1 分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫作分式方程. 这些方程有什么共同特征？ *我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 探究新知 （1）是方程——含有未知数的等式； （2）是分式——分母中含有未知数. 分式方程必须满足的条件： 知识点2 分式方程的解法 你能试着解方程 吗？ 思 考 （1）如何把它转化为整式方程？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ 各个分母的最简公分母 等式的性质2 方程两边同乘(30 + v)(30 – v) 得 解得 v = 6 检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解. 90(30 – v) = 60(30 + v) 方程各分母最简公分母是：(30+v)(30-v) 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 结 小 解：在方程两边乘最简公分母_____________， 去分母，得 x + 5 = 10 解得 x = 5 (x – 5)(x + 5) 检验：将 x = 5 代入①，分母 x – 5 和 x2 – 25 的值都为 0，相应的分式无意义. 因此 x = 5 虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解. 此分式方程无解. ① ② 解方程 x=5是原分式方程的解吗？ 比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ 思 考 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-v)=60(30+v) 两边同乘(30+v)(30-v) 当x=6时,(30+v)(30-v)≠0 分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时,(x+5)(x-5)=0 x+5=10 ① ② x = 5 是分式方程的增根 检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 分式方程解的检验------必不可少的步骤 解：方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9 解得 x=9 检验：当x=9时，x(x-3)≠0, ∴原分式方程的解为x=9 例1 解方程 解：方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得 x=1 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0, ∴原分式方程无解. 例2 解方程 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 x = m 检验 x = m 是分式方程的解 x = m 不是分式方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 目标 方法总结 1.解下列方程： 【见教材P166】 课堂练习 2.关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是 ． a＜－1且a≠－2 【解析】 2x＋a＝x－1 解得x＝－a－1 ∵关于x的方程 的解是正数 ∴x＞0且x≠1 解得a＜－1且a≠－2 ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2 方程两边同乘(x－1)，得: ∴ －a－1＞0 －a－1≠1 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 3. 已知关于 x 的方程 的解为负数，则 a 的取值范围是_____________. 解析：方程两边乘 x(x + 1)，得 x + 1 + x = x + a 解得 x = a – 1 a – 1 < 0 且 a – 1 ≠ 0 且 a – 1 ≠ – 1. a < 1 且 a ≠ 0. a < 1 且 a ≠ 0 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样 分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 问：若关于x的分式方程 无解，求m的值． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得: 2(x＋2)＋mx＝3(x－2) ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， ∴m的值是1，－4或6. 解得： 当x＝2时，代入 ，m＝－4； 当x＝－2时，代入 ，解得m＝6， 整式方程无解 A. 3y-6 B. 3y C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同 乘以（ ） D D 巩固练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式 方程是（ ） 4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为( ) A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8 C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8 A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5 A D 3. 若关于 x 的分式方程 无解，则 a 的值是（ ） B A. 1 B. 2 C. – 1 D. – 2 2x – 4 = 0 x = 2 将原分式方程去分母，得 2 + 3(2x – 4) = a 当 x = 2 时，解得 a = 2 4. 解关于 x 的方程： (a ≠ b，ab ≠ 0). 解：方程两边乘 x(x – 1)，得 ax – b(x – 1) = 0 解得 x = 检验：当 x = 时， 所以，原分式方程的解为 x = . 课堂总结 $