18.5 第2课时 分式方程的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第 2 课时 分式方程的应用 18.5 分式方程 第十八章 分式 人教版八年级(上) 1 1. 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程. (重点) 2. 运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程. (难点) 3. 通过分式方程的应用过程，培养数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力. 素养目标 1 2 3 4 问题1：解分式方程的基本步骤是什么及需要注意的问题？ 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程 解这个整式方程 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原式方程的解，否则必需舍去 写出原方程的解 复习导入 问题2： 应用整式方程解实际问题的步骤是什么？ 实际问题 审题 设未知数 列出方程 检验解的合理性 解方程 那么如何运用分式方程解决实际问题呢？ 找等量关系 复习导入 知识点1：列分式方程解决工程问题 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 分析：审题 → 找等量关系 工作总量＝工作效率×工作时间 各部分工作量之和＝工作总量 思考： 在工程问题里，存在着哪些等量关系呢？ 新知探究 思考： 设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 . 那么甲队半个月完成总工程的 ， 乙队半个月完成总工程的 ， 问题中的等量关系可以列方程为 ＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1 . 知识点1：列分式方程解决工程问题 新知探究 解：设乙单独施工 1 个月能完成总工程的 . 记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快. 方程两边乘 6x，得 2x + x + 3 = 6x. 知识点1：列分式方程解决工程问题 新知探究 审 设 列 解 验 答 设：_______ 未知数 解：_______ 列：_________ 检验:1.__________________； 2.______________. 【归纳总结】分式方程解决实际问题的基本过程： 分式方程 分式方程 是否是分式方程的解 是否符合题意 知识点1：列分式方程解决工程问题 新知探究 【针对训练】1. 张明 3 小时清点完一批图书的一半，李强清点另一半图书的工作，两人合作 小时清点完另一半图书. 如果李强单独清点这批图书需要几个小时？ 解得 x = 4. 经检验 x = 4 是原方程的解. 答：李强单独清点完这批图书需要 4 个小时. 解：设李强单独清点完这批图书需要 x 个小时，张明的工作效率是 . 知识点1：列分式方程解决工程问题 新知探究 例2 某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 知识点2：列分式方程解决行程问题 思考： 在行程问题里，存在着什么等量关系呢？ 路程＝速度 × 时间 分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h. 用表格梳理数据如下： 新知探究 路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 提速前 提速后 s x s + 50 x + v 提速后的行驶时间 = 提速前的行驶时间 等量关系： 【合作探究】 分析：这里的字母 v，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h. 用表格梳理数据如下： 新知探究 解：设提速前列车的平均速度为 x km/h，则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间 h. 方程两边乘 x(x + v)，得 s(x + v)＝x(s + 50). 检验：因为 v，s 都是正数，所以当 时，x(x + v)≠0. 所以，原分式方程的解是 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 根据行驶时间的相等关系，得 新知探究 【针对训练】2. 已知从 A 地到某市的高铁行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的 1.3 倍，若高铁的平均速度 (千米/时) 是普通列车平均速度 (千米/时) 的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求普通列车和高铁的平均速度. 新知探究 解：设普通列车平均速度是 x 千米/小时，则高铁平均速度是 2.5x 千米/小时，根据题意，得 ，解得 x = 120. 经检验 x = 120 是原方程的根，且符合题意， 答：普通列车的平均速度是 120 千米/小时，高铁的平均速度为 300 千米/小时. 2.5x = 120×2.5 = 300 千米/小时 新知探究 分式方程 整式方程 整式方程的解 分式方程的解 实际问题的解 实际问题 列方程 去分母 解整式方程 检验 目标 目标 课堂小结 1. A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人 比B型机器人每小时多搬运20 kg，且A型机器人搬运 1000 kg所用的时间与B型机器人搬运800 kg所用的时 间相等.设B型机器人每小时搬运x kg，所列的方程 式正确的是(　A　) A. ＝ B. ＝ C. ＋20＝ D. － ＝1 A 2 3 4 5 1 当堂反馈 2. [高频易错][教材变式]甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地.已知A，B两地的距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40min.设乙每小时走xkm，则可列方程为 ⁠. － ＝ 　 当堂反馈 3. 研究表明植物具有固碳能力，所谓固碳能力，就 是植物在生长过程中，通过光合作用，体内吸收多 少二氧化碳的能力.生物兴趣小组的同学们通过查阅 资料发现，洋槐一天固碳2700 g所需的种植面积是垂 柳一天固碳2150 g所需种植面积的2倍，而垂柳一天 单位面积固碳量比洋槐一天单位面积固碳量每平方 米多3.2 g，则洋槐一天单位面积固碳量是 g. 5.4　 当堂反馈 4. “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000 元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用 5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的 盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进价 比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价. 当堂反馈 书写通关 解：设 ⁠， 根据题意得 ⁠. 解得 ⁠. 经检验， ⁠. ∴原分式方程的解为 ⁠. 答： ⁠. 第一批盒装花每盒的进价是x元　 2· ＝ 　 x＝30　 x＝30是原分式方程的解　 x＝30　 第一批盒装花每盒的进价是30元　 当堂反馈 5. 某工厂制作A，B两种产品，已知用72 kg原材料制成 A种产品的个数比制成B种产品的个数少9个，且制成一个A种产品比制成一个B种产品需要多用60％的原材料.求制作1个A种产品、1个B种产品各需要多少千克原材料. 解：设制作1个B种产品需要xkg原材料. 依题意，得 ＋9＝ ， 解：设制作1个B种产品需要x kg原材料. 依题意，得 ＋9＝ ，解得x＝3. 解得x＝3. 经检验，x＝3为原方程的解. 则(1＋60％)x＝4.8. 经检验，x＝3为原方程的解. 则(1＋60％)x＝4.8. 答：制作1个B种产品需要3 kg原材料，制作1个A种 产品需要4.8 kg原材料. 当堂反馈 $