第15章 综合与实践 最短路径问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

将军驿马是几何中比较基础，也是比较重要的模型。今天就出一期将军驿马合集，讲述将军驿马的4种常见体型。我们先来看第一个模型，2.1线，AB2点是直线上方的点，P为直线上的动点。问在什么情况下AP加PB有最小值？这是将军硬马的最基础题型。策略就是做出B点关于直线的对称点B一连接PB1，那么PB一的长度就等于PB的长度，所以PA加PB就可以转化成PA加PB1。此时三点共线，直线最短搞定。接着我们来看第二个模型，1点2线有两条相交的直线，MN分别为两条直线上的动点，P点在两条直线之间，问三角形PMN的周长最小值。经过第一个题型的理解，我们应该第一时间想到去做转化。我们分别过两条直线做出P点的对称点P1和P2，然后连接MP1和MP2，这个时候你就会发现MP的长度就与MP1的长度相等，MP的长度就与MP2的长度相等，所以原来的周长就可以转化为MP1加MN加MP2。很显然当P1MP24点共线时，直线距离最短得正。接着我们再看一下第三个梯形，垂线段最短有两条相交的射线OM和OMA点在两条射线内，PQ2点分别是OM和OM上的动问PA加PQ的最小值。这个又该怎么办呢？还是老方法寻找替换就可以了。作为一点关于问的对称点A一连接PA1，这个时候PA一就和PA相等。当A1PQ3点共线且垂直ON的时候，PA加PQ才会最大。我们再来看一下最后一个模型定常问题，有两条平行线，AB2点分别位于平行线的上下两侧，MMN分别为平行线上的动点，且MN垂直于平行线。问什么情况下M加MN加NB的值最小？经过前面三个题型的讲解，你应该很清楚，所谓的将军密码就是寻找怎么样带法。我们过A点做MN的平行线AA1，且AE的长度与MN相等。这样我们就会得到一个平行四边形，平行四边形的两组对边当然是相等的，所以M加MN加NB就可以转化为AAE加AEN加AB的长度。变menu就是10A1，它们是平行线的垂直距离为固定长度，所以只有A1N和B三点共线就是我们需要的答案。关注我，提升思维。 综合实践 最短路径问题 第15章 轴对称 1. 掌握直线同侧两点到线上一点的距离和最小问题，了解运用平移法解决造桥问题，在解决实际问题的过程中强化应用意识. (重点、难点) 2. 通过轴对称变换、平移变换体会转化思想. 新知探究 大唐边陲，烽火连绵。将军受命戍边，白日登山瞭望烽火，黄昏需至交河饮马，再返回宿营地。因战马长途奔袭体力有限，如何规划 “山脚下出发→交河饮马→宿营地” 路线，让总路程最短，成了将军与随行幕僚常琢磨的事儿，也成了军中探讨的趣味智题 。 情境导入 ①两点的所有连线中，线段最短. 我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题. ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 我们以前学过： 情境导入 活动探究一： 将军饮马问题 l 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小. 如何把这个问题抽象为数学问题？ C 新知探究 问题1：如图，点 A，B 是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小？依据是什么？ 连接 AB ，交直线 l 于点 C ，则 AC ＋BC 最小． 依据：两点之间，线段最短. 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 问题2：如果 A，B 位于直线 l 的同侧时，如何使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最小 . 如图，我们可作出点 B 关于 l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 B′C＝BC . 则 AC ＋ BC＝ AC＋B′C . 问题转化为： B′ 当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 B′C 的和最小？ 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 问题3：根据上面的分析，当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小？ C 在连接 A，B′ 两点的所有线段中，线段 AB′ 最短． 因此，线段 AB′ 与直线 l 的交点 C 的位置即为所求，即此时AC ＋ BC 最小． B′ 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 作图过程： (1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 思考：你能用所学的知识证明：AC + BC 最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与 点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知 BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′， ∴ AC + BC＜AC′ + BC′，即 AC + BC 最短． 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 同侧转化异侧 实际问题 数学问题 通过轴对称将同侧点转化为异侧 利用两点之间，线段最短，化折为直 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 变式探究：如图 ，将军牵马从军营 P 处出发，到河流OA 饮马，再到草地 OB 吃草，最后回到 P 处，试分别在边 OA 和 OB 上各找一点 E 、F，使得走过的路程最短． 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 C E D F 如图所示，分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 C 、D ，连接 CD 分别交 OA ，OB 于 E、F，则路线 PE ，EF，PF 即为所求 . 活动探究一： 将军饮马问题 新知探究 活动探究一： 将军饮马问题 拓展探究：如图，牧民从 A 地出发，先到草地边 m 某一处牧马，再到河边 n 饮马，最后回到 B 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 解：作点 A 关于直线 m 的对称点 A'， 作点 B 关于直线 n 的对称点 B'， 连接 A'B'， 分别交 m，n 于 P，Q 两点， 牧民沿折线 A→P→Q→B 可得走可使所走的路径最短。 A B A' B' P Q 新知探究 情境探究：如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ 活动探究二： 造桥选址问题 新知探究 问题1：把上述问题抽象为数学问题，河的两岸是平行的直线，桥与河垂直．那么 AM ＋MN＋NB 最小能否进一步转化？ 当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？ MN 的长度是固定的，即求 AM + NB 最小值 . 活动探究二： 造桥选址问题 新知探究 分析： MN 平移到 AA′ AM + NB 最短 AM = A′N A′N + NB 最短 A′、N、B 三点共线 连接 A′B 问题2：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)将这个问题简化？ 活动探究二： 造桥选址问题 新知探究 问题3：你能找到所要求的 N 点的位置吗？ 活动探究二： 造桥选址问题 (2) 连接 A′B ，交直线 b 于点 N ，则点 N 即为所求．即在点 N 处建桥 MN . (1) 将 MN 平移至 AA′ ， 新知探究 点击视频观看 活动探究二： 造桥选址问题 新知探究 将军饮马常见模型： 活动探究二 造桥选址问题 点击视频观看 新知探究 解决最短路径问题 通常利用________、________实现线段的转移，把已知问题转化成容易解决的问题 轴对称 平移 课堂小结 1.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上. (1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′； (2) △ABC 的面积是______； (3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA + PB 最短. 12.5 解：(1)如右图所示； (3)如图，连接 BA′ 交 l 于点 P，P 即为所求. 当堂反馈 2.如图，已知 ∠AOB 的大小为 30°，P 是 ∠AOB 内部的一个定点，且 OP＝1，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点，则 △PEF 周长的最小值等于 ( 　) 分析：作 P 点关于 OA 的对称点 P'，作 P 点关于 OB 的对称点 P''，连接 P'P'' 交 OA 于点 E、交BO 于点 F，连接 OP'、OP''， C△PEF＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''. C 当堂反馈 【变式】如图，四边形 ABCD 中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在 BC，CD 上分别找一点 M，N，使△AMN 的周长最小时，则∠ANM+∠AMN 的度数为 (　 ) A.80° B.90° C.100° D.130° C 分析：作 A 点关于 CD 的对称点 F，作 A 点关于 BC 的对称点 E，连接 EF 交 CD 于 N，交 BC 于 M，连接 AM、AN. C△AMN＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF. 当堂反馈 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $null