第15章 轴对称 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

小结与复习 人教版八年级(上) 第15章 轴对称 1 生活中的轴对称 实际应用 轴对称 解决最短路径问题 作轴对称图形的对称轴 画轴对称 图形 关于坐标轴对称的点的坐标的关系 通常利用轴对称、平移实现线段的转移 画出的图形与原图形是全等的 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 点(x，y) 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 等腰三角形 单元结构图 等腰三角形 等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 写出等腰三角形和等边三角形的判定方法： 含 30° 角的直角三角形 等腰直角三角形 说出它和等边三角形的联系： 单元结构图 一. 轴对称图形和成轴对称 轴对称图形 两个图形关于对称轴成轴对称 1. 区别与联系 两个图形的位置关系 一个图形本身的特性 对称点在两个图形上 对称点在同一个图形上 轴对称 图形 两个图形关于对称轴成轴对称 对称部分看成两个图形 看成一个整体 轴对称 图形 知识要点 (3) 轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2. 性质 (1) 关于某直线对称的两个图形是全等图形； (2) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________； 垂直平分线 对称轴 知识要点 二. 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质 ___________________与这条线段_________的距离_____ 与__________________距离_____的点在这条线段的___________ 互逆 线段垂直平分线的点 两个端点 相等 这条线段两个端点 相等 垂直平分线 知识要点 三. 用坐标表示轴对称 点(x，y) 关于 y 轴对称 点(-x，y) 点(x，y) 关于 x 轴对称 点(x，-y) 知识要点 四. 等腰、等边三角形的性质与判定 1. 性质 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是 60° 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 知识要点 2. 等腰三角形的判定 (1) 有两边相等的三角形是等腰三角形； (2) 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）. 等角对等边 3. 等边三角形的判定 (3) 有一个角是______的等腰三角形是等边三角形. (2) 三个角都______的三角形是等边三角形； (1) 三边都______的三角形是等边三角形； 相等 60° 相等 知识要点 考点一 轴对称及轴对称图形 例1 城市市标是城市的品牌形象.以下选取了国内部分城市市标中的图案，其中是轴对称图形有 ( ) ACD A.金华 B.成都 C.南昌 D.梅州 考点讲练 1．下列图形，轴对称图形的个数是 ( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点一 轴对称及轴对称图形 考点讲练 2. 如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为　 　． 60° 考点一 轴对称及轴对称图形 考点讲练 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例2 按要求完成作图： (1) 作△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； (2) 在 x 轴上找出点 P，使 PA + PC 最小，并直接写出 P 点的坐标. x y O A B C 1 1 A1 B1 C1 解：(1) 先找出点 A、B、C 关于 y 轴的对称点， 再依次连线即可. 考点讲练 (2) 找出点 A 关于 x 轴的对称点 A'，连接 A'C，A'C 与 x 轴的交点即是点 P 的位置. x y O A B C A' P(-3,0) 1 1 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 考点讲练 3. 若点 M(a，1) 与点 N(4，b)关于 x 轴对称， 则 a，b 的值分别是 (　　) A.4，﹣1 B.﹣4，1 C.﹣4，﹣1 D. 4，1 A 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 考点讲练 4. 如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是 A(2，3)，B(1，0)，C(0，3). (1) 画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形； (2) 画出原“V”字图形关于 x 轴对称的图形； (3) 所得图形与原图形结合起来， 你能从中看出什么英文字母? (任意答一个即可) 解：(1)如图所示； (2)如图所示； (3)“X”. 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 考点讲练 考点三 线段的垂直平分线的性质和判定 例3 在△ABC 中，AD 是高，在线段 DC 上取一点 E，使 BD = DE，连接 AE，已知 AB + BD = DC. 求证：点 E 在线段 AC 的垂直平分线上. A B C D E 考点讲练 证明：∵ AD 是高，∴ AD⊥BC. ∴ 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上. ∴ EC = AE. 即 DE + EC = AE + DE. ∴ DC = AE + DE， 又∵ AB + BD = DC， ∴ AB + BD = AE + DE. ∴ AB = AE. ∴ AD 所在的直线是线段 BE 的垂直平分线. 又∵ BD = DE， A B C D E 考点三 线段的垂直平分线的性质和判定 考点讲练 5.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE = 10°，则 ∠C 的度数是_____. 40° 考点三 线段的垂直平分线的性质和判定 考点讲练 考点四 等腰三角形的性质和判定 例4 等腰三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍，求该等腰三角形的顶角的度数. 解：设该等腰三角形中，小角的度数为 x， 则大角的度数为 2x. 当 x 为底角时， x + x + 2x = 180°， 解得 x = 45°，则 2x = 90°. 当 x 为顶角时， x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 故该等腰三角形顶角的度数为 90° 或 36°. 考点讲练 6.已知：如图，在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D，BC 的延长线上取一点 E，使 CE = CD. 求证：BD = DE. 考点讲练 证明：∵△ABC 为等边三角形，BD 是 AC 边的中线， ∴BD = DE. ∴∠DBE =∠DEB = 30°. ∴∠CDE =∠E = 30°. ∴∠CDE +∠E = 60°. ∵∠ACB = 60°， 且∠ACB 为△CDE 的外角， ∴∠CDE = ∠E. ∵CD = CE， ∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC， 考点讲练 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 ∠DBE = eq \f(1,2)∠ABC = 30°. $