14.2 第4课时 尺规作图（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

14.2 第4课时 尺规作图 14.2 三角形全等的判定 第十四章 全等三角形 人教版八年级(上) 1.学会作一个角等于已知角. 2.运用全等三角形的判定完成相关的尺规作图. 3.培养分析与尺规作图能力. (重点) 4. 理解尺规作图的原理，能够准确地用数学语言表述作图过程. (难点) 素养目标 思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素，我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 复习导入 探究点一： 作一个角等于已知角 探究 如何用直尺和圆规作一个角与已知角∠AOB 相等. 思路： 将∠AOB “放在” 一个三角形中 作出这个三角形 根据全等三角形的性质，∠AOB 的对应角就是要求作的角 讨论：这样的三角形容易做出来吗？ 为什么∠AOB 的对应角就是要求作的角？ O B A 新知探究 理由： 如图，在∠AOB 的边 OA，OB上分别取点 C，D，连接 C，D，得到△COD，∠AOB 就是△COD 的一个内角. O B A 则∠C'O'D' =∠COD =∠AOB. C D C' D' O' 再作出△C'O'D′， 使△C'O'D'≌△COD， 为了作图方便，一般取OC = OD. 探究点一： 作一个角等于已知角 新知探究 D' C' B' O' A' (2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC 为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； (3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步的弧相交于点 D'； 则∠A'O'B' =∠AOB. 作法： (4) 过点 D' 作射线 O'B'， O B A C D (1) 以 O为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点C，D； 探究点一： 作一个角等于已知角 新知探究 练一练 1. 如图，用尺规作出∠OBF =∠AOB，所画痕迹弧 MN 是( ) A. 以点 B 为圆心，OD 的长为半径的弧 B. 以点 C 为圆心，CD 的长为半径的弧 C. 以点 E 为圆心，OD 的长为半径的弧 D. 以点 E 为圆心，CD 的长为半径的弧 D A O B C D E F M N 新知探究 例1 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C. 利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB的平行线 CD. 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行. 可以利用这个结论，过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. 为此需要先作出截线，再作出相等的同位角. A B C 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 新知探究 (1) 过点 C 作一条直线，与直 线 AB 相交于点 E； A B C E (2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD =∠CEB； F D 作法：如图. (3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD∥AB. 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 新知探究 问题3：你还能用其他方法作出该直线的平行线吗？与你的同桌讨论并试一试. 思考讨论： 问题1：判定两直线平行的方法是什么？ 同位角相等，两直线平行. 问题2：作平行线的过程，其本质是什么？ 作一个角等于已知角. 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 新知探究 1. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号) ① 【详解】解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意. ②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意. ③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意. ② ③ ①②③ 探究点二：过直线外一点作直线的平行线 新知探究 如图，已知线段 a，b 和∠α， 求作△ABC，使 AB= a，AC = b，∠A =∠α. 例2 已知两边及其夹角作三角形. 探究点三：已知两边及其夹角作三角形 b α a 新知探究 (2) 在射线 AD 上作 AB = a， 在射线 AE 上作 AC = b； (3) 连接 BC，则△ABC 为所求作的三角形. 作法： (1) 作∠DAE =∠α； A E D B C 探究点三：已知两边及其夹角作三角形 新知探究 如图，已知∠α，∠β 和线段 a . 求作△ABC，使∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，BC = a. 例3 已知两角及其夹边作三角形. 探究点四：已知两角及其一边作三角形 a α β 新知探究 A 作法： (1) 作线段 BC = a； α β E D C B 思考：这里用了哪些作图方法? 则△ABC 为所求作的三角形. (2) 在 BC 的同侧，分别作 ∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A. 新知探究 议一议 上述例题中作出的△ABC 唯一吗？试说明理由. A α β E D C B 作出的△ABC 唯一. 理由如下： 因为作图过程中，确定了BC = a， ∠ABC =∠α，∠ACB =∠β， 符合三角形全等判定的角边角条件，满足该条件的三角形都全等，即形状和大小都一样，所以△ABC 是唯一的. 新知探究 做一做 (1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a. 求作△ABC，使∠ABC =∠a， ∠ACB =∠β，AB = a. (2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学 作出的三角形能完全重合吗？为什么？ α β a 新知探究 做一做 (1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a. 求作△ABC，使∠ABC =∠a， ∠ACB =∠β，AB = a. α β a 作法： (1) 作线段 AB = a； 则△ABC 为所求作的三角形. (2) 在 AB 的同侧，分别作∠ABD =∠α， ∠BAE = 180°－∠β－∠α， BD 与 AE 相交于点 C. C α E D A B 新知探究 C α E D A B 理由如下：根据三角形全等判定定理中的角角边. 在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等. 所以△ABC 是唯一的. (2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学 作出的三角形能完全重合吗？为什么？ 能完全重合. 新知探究 1. 如图，过直线l1外一点P作它的平行线l2，其作 图依据是(　D　) A. 两直线平行，同位角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 内错角相等，两直线平行 第1题图 D 当堂反馈 2. 如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC＝56°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OB，OC于点M，N，再以点N为圆心，以MN长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD. 则∠COD的度数为(　C　) A. 22° B. 32° C. 34° D. 56° 第2题图 C 当堂反馈 3. [作图通关]如图，OD平分∠AOB，点P为OA上 一点. (1)请用直尺和圆规过点P作直线PQ∥OB，交OD 于点Q(不写作法，保留作图痕迹)；示. 解：(1)如图所示. 2 3 4 1 当堂反馈 (2)在(1)的条件下，若∠AOB＝60°，求∠DQP的 度数. 解：(2)∵OD平分∠AOB，∠AOB＝60°， ∴∠DOB＝∠AOD＝30°. 由作图可知PQ∥OB， ∴∠PQO＝∠DOB＝30°. ∴∠DQP＝180°－∠PQO ＝180°－30°＝150°. 当堂反馈 4. [作图通关]已知：线段a和∠α.求作：△ABC， 使得AB＝a，BC＝2a，∠ABC＝∠α.(要求：尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，△ABC即为所求. 解：如图，△ABC即为所求. 当堂反馈 尺规作图 作一个角等于已知角 过直线外一点作直线的平行线 已知两边及夹角作三角形 已知两角及一边作三角形 课堂小结 $