第十三章 数学活动：三角形的裁剪、拼接问题[教材新增]（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

数学活动：三角形的裁剪、拼接问题[教材新增] 第十三章 三角形 人教版八年级(上) 1. 通过亲手操作，深入理解三角形. 2. 掌握多边形的三角形剖分方法，理解多边形与三角形之间的关系. (重点) 3. 几何图形变换中的规律探究及逻辑推理. (难点) 4. 培养学生的动手实践能力、空间想象能力以及逻辑推理能力. 素养目标 我们知道，用小棒可以摆成很多个图形，如下图所示. 随着图形越来越复杂，小棒的数量也随之发生变化，如果一直延续下去，小棒的数量和图形之间会有什么关系呢？ 情境导入 探究点一：搭等边三角形 情境探究：取一些等长的小棒，摆成如图所示的图形. ··· ··· (1) (2) (3) (4) 新知探究 操作1：随着三角形数量的增加，小棒的数量也随之增加，请完成下列表格. ··· (1) (2) (3) (4) 三角形数量 1 2 3 4 5 ... n 小棒数量 ... 3 5 7 9 11 探究点一：搭等边三角形 3 3+2 3+2+2 3+2+2+2 (5) 3+2+2+2+2 =5 =7 =9 =11 新知探究 问题：随着三角形数量增多，小棒与三角形的数量之间有什么关系？请用含 n 的式子表示. 探究点一：搭等边三角形 ··· (1) (2) (3) (4) 3 3+2 3+2+2 3+2+2+2 =5 =7 =9 3+2×1 3+2×2 3+2×3 (n) 3+2×(n-1) 2n + 1 新知探究 操作2：如果排列的图形发生变化，如下图所示，三角形的数量与小棒数量之间是什么关系？ 完成表格. 三角形数量 1 4 9 16 25 ... n 小棒数量 探究点一：搭等边三角形 第1个 第2个 第3个 ··· 3 3+6 三角形数量 小棒数量 1 4 3+6+9 9 3+6+9+12 16 3 9 18 30 第4个 第5个 25 3+6+9+12+15 45 新知探究 问题：随着三角形数量增多，小棒与三角形的数量之间有什么关系？与同桌讨论. 探究点一：搭等边三角形 第1个 第2个 第3个 ··· 3 3+6 三角形数量 小棒数量 1 4 3+6+9 9 3+6+9+12 16 第4个 n 第 个 第个 第 个 第个 3×1 3×(1+2) 3×(1+2+3) 3×(1+2+3+4) 3×(1+2+···+) 第 个 新知探究 操作3：在操作1 及操作2 中，我们摆出 4 个三角形需要 9 根小棒，那么用 6 根小棒可以摆出 4 个三角形吗？（提示：可以考虑立体图形） 探究点一：搭等边三角形 点击视频观看 新知探究 问题1：在上述操作中，我们发现，6 根小棒可以拼成一个四面体，且每个面都是三角形. 如果我们要搭一个如图所示的八面体，需要多少根小棒？ 探究点一：搭等边三角形 如图，12根 分析：对于多面体，E 是棱数（小棒数量），F是面数. 八面体每个面是三角形，面数 F＝8. 因每棱被 2 个面共用， 代入 F＝8，得 E＝12 根. 小棒数(棱数) E＝， 新知探究 问题2：如果搭建如图所示的 20 面体，需要多少根小棒？ 如图，30 根. 分析： 20面体的面数 F＝20，同理， 代入 F＝20，得 E＝30 根. 小棒数(棱数) E＝， 探究点一：搭等边三角形 新知探究 【规律总结】 当搭建每个面都是三角形的多面体时，设面数为 F，小棒数量（棱数）为 E，由于每 1 条棱为 2 个面所共有， 所以小棒数量 E 与面数 F 的关系为 问题3：你能总结出其中的规律吗？与同学讨论. E＝ 探究点一：搭等边三角形 新知探究 思考：通过操作 1—3，你有什么发现？试着用自已的话总结. 平面几何和立体几何在构成图形的基本元素等方面是相同或相似的. 探究点一：搭等边三角形 新知探究 探究点二：多边形的三角形剖分 三条线段首尾顺次相接组成三角形，类似地，多条线段首尾顺次相接就组成多边形，容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢? 新知探究 情境探究：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分，下图给出了七边形的三角剖分的几种方法. 探究点二：多边形的三角形剖分 新知探究 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n 边形 从同一顶点引出的对角线的条数 分割出的三角形的个数 0 1 2 3 5 n - 3 1 2 3 4 6 n - 2 讨论1：试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？n 边形呢？ 探究点二：多边形的三角形剖分 课堂小结 将一个四边形进行三角形剖分，有 2 种方法； 讨论2：将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？与同桌讨论并试着画一画. 1 2 1 2 3 4 5 将一个五边形进行三角形剖分，有 5 种方法. 探究点二：多边形的三角形剖分 新知探究 n 边形的不同三角形剖分方法数(Dn)公式. (D3＝1). 请你利用上述公式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数. 当 n≥3 时， 探究点二：多边形的三角形剖分 新知探究 1. 用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建 1 个等边三角形最少需要 3 根小木棍，搭建 2 个等边三角形最少需要 5 根小木棍，搭建4 个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ） A.12 B.10 C.9 D.6 C 当堂反馈 2. 在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 从 n 边形的一个顶点出发，最多可以引 (n－3) 条对角线，这些对角线可以将这个多边形分成 个三角形. n－2 当堂反馈 三角形的裁剪与拼接 拼接：等长木棒搭建三角形，要注意立体图形 n 边形的三角形剖分数（Dn）公式，当 n≥3 时， (D3＝1) 课堂小结 $1751年9月4日，欧拉给他的好朋友哥德巴赫写信，他说他想到了一个有趣的问题，即一个多边形可以用对角线分割成三角形的不同方式是多少？比如一个四边形可以有两种分割方式，一个五边形可以有5种，而一个六边形可以有14种。欧拉先计算了10以内多边形的三角坡分数量，然后从这些数据中归纳出了一个乘积公式作为通项公式，这是十以内多边形的三角坡分数。没错，十边形多达一千多种剖分方式，全部数据准确无误，他没有说怎么得到的，但是说他的方法很繁琐。有了这些数据后，为了得到一个乘积形式的通项公式，我们把每个数写成它前面一个数和一个分数的乘积的形式化简后发现分母有5789的规律，让其他项也符合这个规律，可以发现分母等于N减1，而分子是一个等差数列，等于4N减10。所以我们归纳得到一个递归关系式，反复运用这个公式就可以得到欧拉的成绩。 六根筷子如何拼成四个等边三角形？