第十三章 三角形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

小结与复习 第十三章 三角形 人教版八年级(上) 1 三角形 与三角形有关的线段 三角形内角和 三角形外角和 三角形的边 中线 角平分线 高 单元结构图 1. 三角形的分类 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 按角分 知识要点 2. 三角形三边的大小关系： 结论1 三角形两边的和_____第三边. 结论2 三角形两边的差_____第三边. 第三边取值范围：_________＜第三边＜_________ 大于 小于 两边之差 两边之和 知识要点 三角形中的线段 概念 图形 中线 角平分线 高 顶点和对边上垂足之间的线段 顶点和对边中点之间的线段 角的平分线被三角形所截的线段 3. 三角形的中线、高线、角平分线 知识要点 4. 三角形的内角和定理与外角的性质 (1) 三角形的内角和等于______； (2) 三角形的一个外角____与它不相邻的两个内角的和； 180° 等于 大于 (3) 三角形的一个外角____和它不相邻的任何一个内角. 知识要点 例1 在△ABC 中，AB = 3cm，BC = 7 cm，若 AC 的长度为整数，则 AC 的长可能是( ) A. 10 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 2 cm B 7 - 3＜AC＜3 + 7 4＜AC＜10 第三边取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和. 总结 分析： 考点一： 三角形三边关系 考点讲练 例2 等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，求另 两边长. 6 为底边长 (16 - 6)÷2 = 5 另外两边长 5、5 6 为腰长 16 - 6 - 6 = 4 另外两边长 6、4 分析： 考点一： 三角形三边关系 考点讲练 解：由于题中没有指明边长为 6 的边是底还是腰， 故应分两种情况讨论： ①当 6 为底边长时，腰长为 (16 - 6)÷2 = 5，这时另两边长分别为 5，5，符合三边关系； ②当 6 为腰长时，底边长为 16 - 6 - 6 = 4，这时另两边长分别为 6，4，符合三边关系. 综上所述，另两边长为 5，5 或 6，4. 考点一： 三角形三边关系 考点讲练 1．八一中学九年级 2 班学生小冲和小锐的家到学校的直线距离分别是 5 km 和 3 km. 那么小冲、小锐两家的直线距离不可能是 ( ) A.1 km B.2 km C.3 km D.8 km 2．已知等腰三角形两边的长分别为 a，b，且满足 |a－3|＋(b－7)2＝0.则这个等腰三角形的周长为____. 17 A 考点一： 三角形三边关系 考点讲练 例3 如图，CD 为△ABC 的 AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大 3 cm，BC = 8 cm，求边 AC 的长． 解：∵ CD 为△ABC 的 AB 边上的中线， ∴ AD = BD． ∵△BCD 的周长比△ACD 的周长大 3 cm， ∴ (BC + BD + CD)－(AC + AD + CD) = 3． ∴ BC－AC = 3． ∵ BC = 8 cm， ∴ AC = 5 cm． 考点二： 三角形重要线段 考点讲练 解：∵ 点 E 是 AD 的中点， ∴ S△DBE = S△ABD，S△DCE = S△ADC. ∴ S△DBE + S△DCE = S△ABC = ×24 = 12，即 S△BCE = 12. ∵ 点 F 是 CE 的中点，∴ S△BEF = S△BCE = ×12 = 6. 例4 如图，D 是△ABC 的边 BC 上任意一点，E、F 分别是线段 AD、CE 的中点，且△ABC 的面积为 24，求△BEF 的面积． 考点二： 三角形重要线段 考点讲练 3. 如图，在△ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是 △ABC 的中线，则该线段是( ) A. 线段 DE B. 线段 BE C. 线段 EF D. 线段 FG B 考点二： 三角形重要线段 考点讲练 4.如图，已知 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，∠BEF 的平分线与 ∠DFE 的平分线相较于点 P，求证：∠P = 90°. AB∥CD ∠BEF +∠DFE = 180° PE、PF 分别是角平分线 ∠PEF +∠PFE = 90° ∠P = 90° 分析： 考点二： 三角形重要线段 考点讲练 解：∵AB∥CD， ∴∠BEF + ∠DFE = 180°. ∵PE、PF 分别∠BEF 、∠DFE 的平分线， ∴∠PEF = ∠BEF，∠PFE = ∠DFE. ∴∠PEF +∠PFE = (∠BEF + ∠DFE) = 90°. ∴∠P = 180°-(∠PEF +∠PFE) = 90°. 考点二： 三角形重要线段 考点讲练 例5 如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠BAC = 63°，求∠DAC 的度数． 解：设∠1 =∠2 = x，则∠4 =∠3 = 2x. ∵∠BAC = 63°， ∴∠2 +∠4 = 117°，即 x + 2x = 117°. ∴ x = 39°. ∴∠3 = ∠4 = 78°， ∠DAC = 180° - ∠3 - ∠4 = 24°. 考点三： 三角形三角形内角和定理和外角的性质 考点讲练 例6 “三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中四边形 ABCD 是长方形，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F. 请写出 ∠ECB 和 ∠ACB 的数量关系，并说明理由． A B C D G E F 考点三： 三角形三角形内角和定理和外角的性质 考点讲练 解：∠ACB＝3∠ECB. 理由如下： 在 △AGF 中， ∠AGC＝∠F＋∠GAF＝2∠F. ∵∠ACG＝∠AGC， ∴∠ACG＝2∠F. ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝∠F. ∴∠ACB＝∠ACG＋∠BCE＝3∠F. 故∠ACB＝3∠ECB. A B C D G E F 考点三： 三角形三角形内角和定理和外角的性质 考点讲练 5.∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数. (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4. 解：(1)∵∠C＝54° ，∴∠A＋∠B＝180°－54°＝126° ①. ∵∠A－∠B＝16° ②，由 ①② 解得∠A＝71°，∠B＝55°. (2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x， 则 2x + 3x + 4x = 180° ， 解得 x＝20°. ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝80°. 考点三： 三角形三角形内角和定理和外角的性质 考点讲练 2. 若 (a - 1)2 + | b - 2 | = 0，则以 a，b 为边长的等腰三角形的周长为 . 5 1. 以长度分别为 3、4、x - 5 的线段为边可以组成一个三角形，那么 x 的取值范围是 . 6 ＜ x ＜ 12 课堂练习 3. 如图，在△ABC 中，两条角平分线 BE 和 CD 相交于点 O，若∠BOC = 132°， 那么∠A 的度数是 . 84° 课堂练习 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 $