18.5 第1课时 分式方程及其解法（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

18.5　分式方程 第1课时　分式方程及其解法 1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤. 2.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法. 3.在将分式方程转化为整式方程，找解分式方程的方法中培养学生乐于探究、合作学习的习惯. 重点：解分式方程的基本思路和方法. 难点：理解解分式方程时可能无解的原因. 知识链接 一元一次方程的概念是什么？ 只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数为1（次）的整式方程叫作一元一次方程. 创设情境——见配套课件 探究点一：分式方程的概念 情境探究：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？ 如果设江水的流速为v km/h，则轮船顺流航行的速度为（30＋v）km/h，逆流航行的速度为（30－v）km/h； （1）顺流航行90km所用的时间为　　h，逆流航行60km所用的时间为　　h； （2）根据题意可列方程为：　＝　. 问题：观察所列方程 ＝ 有什么特征？与以往我们学习的方程有什么不同之处？ 概念引入：像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程.我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. 判断下列方程是不是关于x的分式方程. （1）1－＝2－；是　　　　（2）＝7；是 （3）＋ax＝b；不是 （4）＝＋6.不是 探究点二：分式方程的解法 问题1：七年级我们已经熟悉一元一次方程的解法了，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题.能否将分式方程化为整式方程呢？我们先来看看如何解这个方程： －2＝. 第一步就是方程两边同时乘公分母6，去掉分母，那么通过类比，我们自然会想到通过“去分母”实现分式方程的转变. 尝试：通过问题1的思考，我们来尝试解一下情景探究中的方程 ＝. 解：最简公分母为　（30＋v）（30－v）　，方程两边同时乘最简公分母可化为整式方程，得　90（30－v）＝60（30＋v）　.化简，得　2700－90v＝1800＋60v　（此方程是整式方程）.解方程得v＝6. 总结：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 思考：解分式方程的步骤完成了吗？带着这个问题试着解一个分式方程＝. 去分母，在方程两边乘最简公分母（x－5）（x＋5），得整式方程x＋5＝10.解得x＝5. 问题2：大家说说x＝5是原分式方程的解吗？ 将x＝5代入原分式方程检验，发现这时分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x＝5虽是整式方程x＋5＝10的解，但不是原分式方程＝的解.实际上，这个分式方程无解. 问题3：上面两个分式方程中，为什么＝①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而＝②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？ ＝① ＝② 两边同乘最简公分母 （30＋v）（30－v） （x－5）（x＋5） 解 v＝6　 回代结果≠0 x＝5　回代结果＝0 结论 所得整式方程的解与①相同 所得整式方程的解不是②的解 总结：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 讨论：你能总结出解分式方程的基本步骤及需要注意的问题吗？ 1 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程 2 解这个整式方程 3 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原式方程的解，否则必须舍去 4 写出原方程的解 1.下列方程中，不是分式方程的是（　A　） A.＝ B.x＋＝2 C.－5x＝ D.＝7 2.解方程： （1）＝； 书写通关 解：去分母，得　4x＝6＋x　，解得　x＝2　. 检验，当x＝　2　时，　4（6＋x）　≠0. ∴原分式方程的解为　x＝2　. 　（2）＝； 解：去分母得2x－2＝x＋3，解得x＝5. 经检验，x＝5是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝5. （3）＝－3； 　 易错：常数项不要漏乘最简公分母. 解：去分母得1＝x－1－3（x－2）， 解得x＝2. 检验：当x＝2时，x－2＝0， ∴x＝2不是方程的解. ∴原分式方程无解.　　　（4）＋1＝； 解：去分母得－x2＋x2－4＝x－2， 解得x＝－2. 检验：当x＝－2时，4－x2＝0， ∴x＝－2不是原方程的解. ∴原分式方程无解. （5）＝－. 解：去分母得x＋5＝5x－3（x－1），解得x＝2. 经检验，x＝2是原分式方程的解. ∴原分式方程的解为x＝2. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $