第17章 数学活动 因式分解中的代数推理（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

数学活动　因式分解中的代数推理 1.理解因式分解的概念，熟练掌握提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等基本因式分解方法. 2.学会运用因式分解进行代数推理，能够通过合理的因式分解来解决求值、化简、证明等代数问题. 3.掌握因式分解过程中运用的整体思想、转化思想等数学思想方法，提升分析能力和变形能力. 重点：学会运用因式分解进行代数推理，解决常见的代数求值、化简、证明等问题. 难点：运用因式分解进行合理的推导和论证，培养逻辑推理能力. 知识链接 1.因式分解的概念是什么？ 2.回忆一下平方差公式和完全平方公式. 创设情境——见配套课件 活动探究一：个位数字是5的两位数平方的规律 我们来观察下列式子： 15×15＝225＝1×2×100＋25；25×25＝625＝2×3×100＋25；35×35＝1225＝3×4×100＋25；…… 问题1：你能推广到一般规律吗？ 一般规律为（10n＋5）（10n＋5）＝n（n＋1）×100＋25. 问题2：试着证明问题1中的结论. 证明：n（n＋1）×100＋25＝100n2＋100n＋25＝（10n）2＋2×10n×5＋52＝（10n＋5）2， 故（10n＋5）（10n＋5）＝n（n＋1）×100＋25. 拓展：你还能发现其他规律吗？与同桌讨论并尝试证明.（师生共同讨论得出答案） 【对应训练】观察下列等式，并回答问题：12－02＝1，22－12＝3，32－22＝5，…… （1）将11写成两个正整数平方差的形式：　62－52＝11　； （2）用含有字母n（n＞0，且n为整数）的等式表示上述的规律为：　n2－（n－1）2＝2n－1　； （3）验证：用已学的知识验证上述发现的规律. 证明：n2－（n－1）2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1. 活动探究二：利用因式分解生成密码 情境阅读：人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如：多项式x2y－4y，将其分解因式为y（x＋2）（x－2）.若取x＝15，y＝12，则有y＝12，x＋2＝17，x－2＝13，其中12，17，13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317. 问题1：已知多项式16p4－q4，当取p＝10，q＝5时，用上述方法生成的密码是什么？ 16p4－q4＝（4p2）2－（q2）2＝（4p2＋q2）（4p2－q2）＝（4p2＋q2）（2p＋q）（2p－q）；当取p＝10，q＝5时，4p2＋q2＝425，2p＋q＝25，2p－q＝15.其中425，25，15分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码1525425. 问题2：已知多项式16p4－q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ 多项式16p4－q4，可因式分解为（4p2＋q2）（2p＋q）（2p－q），若密码的前两个因式码为5，15，∵4p2＋q2≠15，∴只有2p＋q＝15，2p－q＝5，联立方程组得解得 ∴第三个因式码为4×52＋52＝125. 问题3：自己写一个多项式，并用上述方法生成密码. 写一个多项式x2－9y2，将其因式分解为（x＋3y）（x－3y），若取x＝4，y＝1，则有x＋3y＝7，x－3y＝1，其中7，1分别为因式码，则密码为17. 1.若k为任意整数，则（k＋3）2－（k－2）2的值总能（　C　） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 2.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将3a（x2－1）－3b（x2－1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　D　） A.我爱学 B.爱数学 C.趣味数学 D.我爱数学 3.巧设密码：在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码.有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式x4－y4，分解因式的结果是（x2＋y2）（x＋y）（x－y）.当x＝9，y＝9时，x2＋y2＝162，x＋y＝18，x－y＝0，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码. （1）按照上述方法，当x＝8，y＝8时，求生成的密码； （2）根据上述方法，若将多项式x2（x－2y）＋xy（2x－y）分解因式，则当x＝21，y＝7时，生成的密码是多少？ 解：（1）∵当x＝8，y＝8时，x2＋y2＝82＋82＝64＋64＝128，x＋y＝8＋8＝16，x－y＝8－8＝0，∴生成的密码是128160； （2）x2（x－2y）＋xy（2x－y）＝x3－2x2y＋2x2y－xy2＝x3－xy2＝x（x2－y2）＝x（x－y）（x＋y）， 当x＝21，y＝7时，x－y＝21－7＝14，x＋y＝21＋7＝28，∴生成的密码是282114. 因式分解中的代数推理 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $