第15章 综合与实践 最短路径问题（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

综合与实践　最短路径问题

1.会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题.

2.会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题.

3.会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案.

重点：理解并掌握最短路径问题的基本原理和解决方法，能将实际问题转化为数学模型；学会运用轴对称、平移等图形变换，找到最短路径问题中的最短路线，并能进行相关计算和证明.

难点：从复杂的实际情境中抽象出数学问题，建立恰当的数学模型，选择合适的图形变换方法解决问题；在解决最短路径问题时，清晰地理解图形变换的依据和逻辑推理过程，培养空间观念和逻辑思维能力.

知识链接

我们以前学过“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”.我们称这种问题为最短路径问题.今天我们将探究新情境下的最短路径问题.

创设情境——见配套课件

活动探究一：牧民饮马问题

情境探究：多媒体展示牧民饮马的故事背景及问题：如图①，一位牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，问牧民在何处饮马，可使所走的路径最短？

问题1：如何把这个问题抽象为数学问题？

可抽象为这样的数学问题：如图②，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

问题2：两点在同侧我们不太好入手，先看看两点在异侧的情况：如图③，点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最小？依据是什么？

如图④，连接AB，交直线l于点C，则AC＋BC最小.依据：两点之间，线段最短.

问题3：现在我们回过头去解决问题1.应该如何思考？

如图⑤，我们可作出点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到B'C＝BC.则AC＋BC＝AC＋B'C.问题再次转化为：当点C在l的什么位置时，AC与B'C的和最小？

问题4：根据上面的分析，当点C在l的什么位置时，AC与BC的和最小？

如图⑥，在连接A，B'两点的所有线段中，线段AB'最短.因此，线段AB'与直线l的交点C的位置即为所求，即此时AC＋BC也最小.