重难点07 由轴对称引发的将军饮马问题（单元复习、期中复习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点07 由轴对称引发的将军饮马问题 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、两定一动，定直线，求和最小 3 知识点二、两定一动，定直线，求差最小 3 知识点三、两定一动，定直线，求差最大 4 知识点四、两定两动，定直线，也常称为将军遛马，两动在定直线上组成的线段为定值，求和最大 4 知识点五、一定点在定角度内，求和最大 5 知识点六、一定点在定角度内，求和最小 5 知识点七、两定点在定角度内，求和最小 6 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 基础将军饮马：两定一动，动点在定直线上（求PA+PB最小值）】 7 【题型2 将军饮马变式：两定一动，求线段差最大值 | |PA-PB|】 8 【题型3 双动点模型：一定两动（PA+PQ最小值）】 9 【题型4 造桥选址模型（两定，两条平行线间建桥，桥垂直河岸）】 10 【题型5 周长最小模型：两定两动，三角形/四边形周长最小值】 11 【题型6 坐标系、几何图形背景下将军饮马综合（等腰、矩形、正方形）】 14 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 18 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 28 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・将军饮马基础模型：两定一动，直线上找一点使线段和最小，利用轴对称转化折线段为直线段 ・模型拓展：一定两动、两定两动、含线段长（将军饮马 + 平移）类型识别 ・最短路径作图规范：作对称点、连线找交点、标注辅助线 ・结合几何图形背景：三角形、矩形、菱形、正方形中将军饮马求解 ・利用勾股定理计算最短线段长度 ・最值问题说理证明，解释两点之间线段最短的原理 ・基础层面：选择、填空单独考查基础将军饮马，识别模型、画出最短路径，直接计算最值，属于中档基础题型 ・能力层面：将模型嵌套在几何综合题中，结合全等、特殊四边形，不再直接告知模型，需要学生自主识别 ・综合拓展：出现多动点、平移型饮马，考查转化思想；部分压轴小问搭配最短路径求周长最小值 ・侧重考查转化思想，要求学生能通过轴对称实现线段等量转移，把折线最值转化为两点之间线段最短 考情解码： ・分值定位：多为 3 分填空 / 选择，几何大题一般作为其中一小问，分值 3～5 分，属于中考高频中档考点 ・高频失分点：不会作对称点、分不清动点定点；计算最短长度时勾股定理出错；忽略模型适用条件，混淆将军饮马与胡不归、阿氏圆；缺少几何说理步骤 ・备考提示：先夯实基础模型识别，熟练掌握作图；归类练习不同背景（正方形、菱形、三角形）的最短路径；区分各类最值模型，训练从复杂图形剥离出将军饮马基本结构 将军饮马是初中阶段第一个动点最值基础模型，也是中考必考几何模型。它依托轴对称实现线段转化，把折线段求和问题转化为两点之间线段最短。吃透将军饮马各类子模型，理解其本质，不仅能解决期中期末线段和最值考题，更是后续学习所有初中动点最值题型的根基。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 将军饮马问题本质上是轴对称问题，用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的将军饮马子模型有： 知识点一、两定一动，定直线，求和最小 已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小． ( A B l ) 作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P ( B A P l A ' ) 知识点二、两定一动，定直线，求差最小 已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小 ( A B l ) 作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P ( A B l P ) 知识点三、两定一动，定直线，求差最大 已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大 ( A B l ) 作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P ( l A B P ) ( A B l )知识点四、两定两动，定直线，也常称为将军遛马，两动在定直线上组成的线段为定值，求和最大 已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小 ( a ) 作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A"， 连结A"B，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则此时AC'＋CD＋DB最小． ( A " A l B A ' C D ) 知识点五、一定点在定角度内，求和最大 已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小． ( O N M P ) 作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON， ( P' P P" O N M R Q )OM的交点就是点Q，R． 知识点六、一定点在定角度内，求和最小 已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小 ( O N M P ) 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'QON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R． ( P' P Q O N M R ) 知识点七、两定点在定角度内，求和最小 已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小． ( P O N M Q ) 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连 纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S． ( P P' Q ' O N M Q S R ) 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 基础将军饮马：两定一动，动点在定直线上（求PA+PB最小值）】 模型：A、B在直线同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 做法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与直线交点即为P。 【例1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 【变式1‑1】如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【变式1‑2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　　． 【变式1‑3】如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（5，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 　　． 【题型2 将军饮马变式：两定一动，求线段差最大值 | |PA-PB|】 模型：A、B在直线同侧，直线l上找点P，使$|PA-PB|$最大。 做法：连接AB延长交直线l，交点为P；依据三角形两边之差小于第三边。 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 【变式2‑1】如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________. 【变式2‑2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　10　． 【变式2‑3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值． 【题型3 双动点模型：一定两动（PA+PQ最小值）】 模型：定点A，两条定直线，P在l₁、Q在l₂上，求PA+PQ最小。 做法：作定点A关于l₁对称点，对称点向另一条直线作垂线段，垂线段长就是最小值。 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________. 【变式3‑1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的动点，则AE+EF的最小值为　3　． 【变式3‑2】如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　2　． 【变式3‑3】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　100°　． 【题型4 造桥选址模型（两定，两条平行线间建桥，桥垂直河岸）】 模型：A、B在河两岸，河宽固定，桥垂直河岸，求A→桥→B最短路径。 做法：平移定点，平移距离等于河宽，转化成两点连线。 【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 　12　． 【变式4‑1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 　（，0）　． 【变式4‑2】如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE、CF，则△CEF周长的最小值为　　． 【变式4‑3】在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，线段EF在边OA上移动，保持EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E，F的坐标． 【题型5 周长最小模型：两定两动，三角形/四边形周长最小值】 模型：P、Q分别在两条定直线上，定点A、B，求△APQ周长最小。 做法：分别作A、B关于两条直线的对称点，两对称点连线与直线交点即为P、Q。 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角形AMN周长最小时，则∠MAN的度数为　80°　． 【变式5‑1】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【变式5‑2】如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限． (1)画出关于轴对称的图形； (2)在y轴上找一点P，使的周长最小． 【变式5‑3】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 【题型6 坐标系、几何图形背景下将军饮马综合（等腰、矩形、正方形）】 背景：平面直角坐标系、等腰三角形、正方形，求折线段最值，常结合坐标计算。 【例6】如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【变式6‑1】探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 【变式6‑2】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【变式6‑3】【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 2．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．6 D． 6．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．20 D．11 7．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 11．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 12．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 13．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 14．如图，中，，，，为边的垂直平分线上一个动点，则的周长最小值为_____． 15．在中，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且．当的值最小时，的度数为______． 16．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 17．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 18．已知，点D是线段的中点． (1)如图1，点E在线段上，连接，交于点F，延长至点H，使，连接．若，；求的度数； (2)如图2，点G在射线上，连接，点E在上，连接交于点F，连接，，，F为的中点．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明： (3)在（2）的条件下，若点H是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，，，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 19．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______； (2)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是______； (3)在轴正半轴上是否存在点使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． 20．如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 21．如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 ( 第 1 页 共 85 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点07 由轴对称引发的将军饮马问题 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、两定一动，定直线，求和最小 3 知识点二、两定一动，定直线，求差最小 3 知识点三、两定一动，定直线，求差最大 4 知识点四、两定两动，定直线，也常称为将军遛马，两动在定直线上组成的线段为定值，求和最大 4 知识点五、一定点在定角度内，求和最大 5 知识点六、一定点在定角度内，求和最小 5 知识点七、两定点在定角度内，求和最小 6 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 7 【题型1 基础将军饮马：两定一动，动点在定直线上（求PA+PB最小值）】 7 【题型2 将军饮马变式：两定一动，求线段差最大值 | |PA-PB|】 10 【题型3 双动点模型：一定两动（PA+PQ最小值）】 13 【题型4 造桥选址模型（两定，两条平行线间建桥，桥垂直河岸）】 16 【题型5 周长最小模型：两定两动，三角形/四边形周长最小值】 21 【题型6 坐标系、几何图形背景下将军饮马综合（等腰、矩形、正方形）】 30 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 46 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 85 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・将军饮马基础模型：两定一动，直线上找一点使线段和最小，利用轴对称转化折线段为直线段 ・模型拓展：一定两动、两定两动、含线段长（将军饮马 + 平移）类型识别 ・最短路径作图规范：作对称点、连线找交点、标注辅助线 ・结合几何图形背景：三角形、矩形、菱形、正方形中将军饮马求解 ・利用勾股定理计算最短线段长度 ・最值问题说理证明，解释两点之间线段最短的原理 ・基础层面：选择、填空单独考查基础将军饮马，识别模型、画出最短路径，直接计算最值，属于中档基础题型 ・能力层面：将模型嵌套在几何综合题中，结合全等、特殊四边形，不再直接告知模型，需要学生自主识别 ・综合拓展：出现多动点、平移型饮马，考查转化思想；部分压轴小问搭配最短路径求周长最小值 ・侧重考查转化思想，要求学生能通过轴对称实现线段等量转移，把折线最值转化为两点之间线段最短 考情解码： ・分值定位：多为 3 分填空 / 选择，几何大题一般作为其中一小问，分值 3～5 分，属于中考高频中档考点 ・高频失分点：不会作对称点、分不清动点定点；计算最短长度时勾股定理出错；忽略模型适用条件，混淆将军饮马与胡不归、阿氏圆；缺少几何说理步骤 ・备考提示：先夯实基础模型识别，熟练掌握作图；归类练习不同背景（正方形、菱形、三角形）的最短路径；区分各类最值模型，训练从复杂图形剥离出将军饮马基本结构 将军饮马是初中阶段第一个动点最值基础模型，也是中考必考几何模型。它依托轴对称实现线段转化，把折线段求和问题转化为两点之间线段最短。吃透将军饮马各类子模型，理解其本质，不仅能解决期中期末线段和最值考题，更是后续学习所有初中动点最值题型的根基。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 将军饮马问题本质上是轴对称问题，用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题．常见的将军饮马子模型有： 知识点一、两定一动，定直线，求和最小 已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小． ( A B l ) 作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P ( B A P l A ' ) 知识点二、两定一动，定直线，求差最小 已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小 ( A B l ) 作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P ( A B l P ) 知识点三、两定一动，定直线，求差最大 已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大 ( A B l ) 作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P ( l A B P ) ( A B l )知识点四、两定两动，定直线，也常称为将军遛马，两动在定直线上组成的线段为定值，求和最大 已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小 ( a ) 作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A"， 连结A"B，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则此时AC'＋CD＋DB最小． ( A " A l B A ' C D ) 知识点五、一定点在定角度内，求和最大 已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小． ( O N M P ) 作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON， ( P' P P" O N M R Q )OM的交点就是点Q，R． 知识点六、一定点在定角度内，求和最小 已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小 ( O N M P ) 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'QON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R． ( P' P Q O N M R ) 知识点七、两定点在定角度内，求和最小 已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小． ( P O N M Q ) 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连 纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S． ( P P' Q ' O N M Q S R ) 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 基础将军饮马：两定一动，动点在定直线上（求PA+PB最小值）】 模型：A、B在直线同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 做法：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与直线交点即为P。 【例1】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 解：如图所示，连接BM， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∴AM+CM＝BM+CM， 当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长， 又∵AC＝4，BC＝6， ∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D． 【变式1‑1】如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE最小，则这个最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 解：如图，连接BE，则BE就是PA+PE的最小值， ∵Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴CE＝2cm， ∴BE＝＝2， ∴PA+PE的最小值是2． 故选：C． 【变式1‑2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为　　． 解：设△ABP中AB边上的高是h． ∵S△PAB＝S矩形ABCD， ∴AB•h＝AB•AD， ∴h＝AD＝2， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4， ∴BE＝＝＝， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【变式1‑3】如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（5，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 　　． 解：作N关于OA的对称点N'，连接N'M交OA于P， 则此时，PM+PN最小， ∵OA垂直平分NN'， ∴ON＝ON'，∠N'ON＝2∠AON＝60°， ∴△NON'是等边三角形， ∵点M是ON的中点， ∴N'M⊥ON， ∵点N（5，0），∴ON＝5， ∵点M是ON的中点，∴， ∴，∴． 故答案为：． 【题型2 将军饮马变式：两定一动，求线段差最大值 | |PA-PB|】 模型：A、B在直线同侧，直线l上找点P，使$|PA-PB|$最大。 做法：连接AB延长交直线l，交点为P；依据三角形两边之差小于第三边。 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______. 解：∵MN垂直平分AC， ∴MA＝MC， 又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm， ∴BC＝20﹣12＝8（cm）， 在MN上取点P， ∵MN垂直平分AC 连接PA、PB、PC ∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC 当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm． 【变式2‑1】如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（，﹣2），点P在直线y＝﹣x上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________. 解：作A关于直线y＝﹣x对称点C，易得C的坐标为（﹣1，0）；连接BC，可得直线BC的方程为y＝﹣x﹣； 求BC与直线y＝﹣x的交点，可得交点坐标为（4，﹣4）； 此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC； 【变式2‑2】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　10　． 解：延长AB交MN于点P′， ∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|， ∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大， ∵BD＝10，CD＝8，AC＝16， 过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6， ∴AB＝＝＝10， ∴|PA﹣PB|的最大值等于10， 故答案为：10． 【变式2‑3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值． 解：由菱形性质可知，C点关于BD的对称点A，连接AP，则AP＝CP， 在△APE中， |PE﹣PA|＜EA， 则当点P、E、A三点共线时，|PE﹣PA|取最大值，最大值为AE． ∴|PC﹣PE|的最大值为AE． ∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5， ∵点E为AB边的中点 ∴AE＝2.5， ∴|PC﹣PE|的最大值为2.5． 【题型3 双动点模型：一定两动（PA+PQ最小值）】 模型：定点A，两条定直线，P在l₁、Q在l₂上，求PA+PQ最小。 做法：作定点A关于l₁对称点，对称点向另一条直线作垂线段，垂线段长就是最小值。 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________. 解：在AB上取一点G，使AG＝AF， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴FE＝EG， ∴CE+EF＝CE+EG， 则最小值时CG垂直AB时，CG的长度， CG＝． 【变式3‑1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E是BC上的动点，F是AC上的动点，则AE+EF的最小值为　3　． 解：∵∠A＝90°，∠B＝60°， ∴∠C＝30°， 作A关于BC的对称点D，交BC于H，过D作DF⊥AC于F，交BC于E， 则此时AE+EF的值最小，且AE+EF的最小值＝DF， 连接CD， 则△ACD是等边三角形， ∵S△ADC＝AC•DF＝AD•CH， ∵AD＝AC，∴DF＝CH， ∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°， ∴AB＝BC＝2， 同理BH＝AB＝1， ∴CH＝BC﹣B＝3，∴DF＝CH＝3， ∴AE+EF的最小值为3， 故答案为：3． 【变式3‑2】如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　2　． 解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD＝∠AFD′， ∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′＝45°， ∴AP′＝P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16， ∵AP′＝P′D'， 2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16， ∴P′D′＝2， 即DQ+PQ的最小值为2， 故答案为：2． 【变式3‑3】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　100°　． 解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″， 连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N， ∵∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠130°＝50°， 由轴对称的性质得：∠A′＝∠A′AM，∠A″＝∠A″AN， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）＝2×50°＝100°． 故答案为：100°． 【题型4 造桥选址模型（两定，两条平行线间建桥，桥垂直河岸）】 模型：A、B在河两岸，河宽固定，桥垂直河岸，求A→桥→B最短路径。 做法：平移定点，平移距离等于河宽，转化成两点连线。 【例4】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为 　12　． 解：∵AB＝5，PQ＝2， ∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7， 则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可． 在AB边上截取AM＝PQ， ∵点F是BC的中点， ∴点B关于EF的对称点为点C， 连接CM，交EF于点Q， 则CM即为AP+BQ的最小值． 在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4， ∴CM＝＝5， ∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12． 故答案为：12． 【变式4‑1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 　（，0）　． 解：点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q， 此时MQ+EQ最小， ∵PQ＝2，DE＝CE＝2，AE＝， ∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行， 即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N， 设CQ＝x，则NQ＝6﹣2﹣x＝4﹣x， ∵△MNQ∽△FCQ， ∴ ∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝4﹣x， ∴， 解得：x＝， ∴BP＝6﹣2﹣＝， 故点P的坐标为：（，0）． 故答案为：（，0）． 【变式4‑2】如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE、CF，则△CEF周长的最小值为　　． 解：如图所示，连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG， 则AE＝FG，EF＝AG＝，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC， ∴∠GAC＝90°， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴CE＝AE＝GF， ∴CE+CF＝GF+CF， ∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长， 此时，Rt△ACG中，CG＝＝＝2， ∴CF+FG的最小值等于2， 又∵EF＝， ∴△CEF周长的最小值为， 故答案为：． 【变式4‑3】在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，线段EF在边OA上移动，保持EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E，F的坐标． 解：如图，作点D关于x轴的对称点D′，在CB边上截取CG＝2， 连接D′G与x轴交于点E，在EA上截EF＝2， ∵GC∥EF，GC＝EF， ∴四边形GEFC为平行四边形，有GE＝CF， 又DC、EF的长为定值， ∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小， ∵OE∥BC， ∴Rt△D′OE∽Rt△D′BG，有＝， ∴OE＝＝＝＝， ∴OF＝OE+EF＝2＝， ∴点E的坐标为（ ，0），点F的坐标为（ ，0）． 【题型5 周长最小模型：两定两动，三角形/四边形周长最小值】 模型：P、Q分别在两条定直线上，定点A、B，求△APQ周长最小。 做法：分别作A、B关于两条直线的对称点，两对称点连线与直线交点即为P、Q。 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使三角形AMN周长最小时，则∠MAN的度数为　80°　． 解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA＝BA′，MB⊥AB， ∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″， ∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD， ∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″）， ∵∠BAD＝130°， ∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°， ∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°． ∴∠MAN＝180°﹣100°＝80°， 故答案为：80° 【变式5‑1】几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1) 如图1，    (2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）略 （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 【变式5‑2】如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限． (1)画出关于轴对称的图形； (2)在y轴上找一点P，使的周长最小． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，点即为所求， 【分析】本题考查了轴对称图形，最短路径问题等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作点关于轴对称的对应点，依次连接，则即为所求； （2）作点关于轴对称的对应点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5‑3】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． (1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是　　； (2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； (3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50° (2) 解：∠AMN =2∠B-90°；理由如下： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B， 又∵MN是AB的垂直平分线， ∴∠ANM=90°， ∴∠A+∠AMN=90°， ∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B−90°． (3)①6cm； ②∵MN是AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∴点B关于直线MN的对称点为点A， ∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P， ∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm， ∴PB＋CP的最小值是8cm． 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值． 【详解】（1）解：∵AB=AC，∠B=70°， ∴∠B=∠C=70°， ∴， ∵MN垂直平分AB， ∴， ∴． 故答案为：50°． （2）略 （3）①∵MN是AB的垂直平分线 ∴AM=BM ∵C△BCM =BM+BC+CM =AM+MC+BC =AC+BC =14cm， 又∵AB=AC=8cm， ∴BC=14-8=6（cm）； ②略 【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【题型6 坐标系、几何图形背景下将军饮马综合（等腰、矩形、正方形）】 背景：平面直角坐标系、等腰三角形、正方形，求折线段最值，常结合坐标计算。 【例6】如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【分析】（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据三角形的内角和定理求得，，然后根据角平分线的定义求得，进而可求解； （2）作，交于点，分别证明，得到，，进而由可证得结论； （3）由（2）知，，作，，连接，，证明得到，再证明得到，利用两点之间线段最短得到，当D、M、共线时取等号，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． 【变式6‑1】探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 【答案】(1)如图，点P为所求； (2)证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)元． 【分析】（1）过点作关于直线l的对称点（过点作关于直线l的垂线，以垂足为圆心，垂足到点的距离长为半径在直线l的另一侧画弧，交垂线于点），连接交直线l于点P，即可使得的值最小； （2）由和可得，从而，故； （3）延长交于点，连接，过点作交于点，连接，故，，由和得，故，故，，由和得，从而，故，从而，因此，故点作关于的对称点为，由（1）得的最小值为，由点是的中点得，米，计算可得安装灯带的最少费用． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图③，延长交于点，连接，过点作交于点，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 点作关于的对称点为， 点在上， 在和中， ， ， ， ，当且仅当点三点共线时，取等号． 点是的中点， ， 为边上的高，长度为米， 安装灯带最短为米， 元， 答：安装灯带的最少费用是元． 【变式6‑2】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）24； （3） 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式6‑3】【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】 （1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①略 ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．如图，在等边中，于点，，点是上一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，的最小值是（    ） A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】A 【分析】连接，，由等边三角形的性质，可得，，，可得，从而可得当点为与的交点时，取得最小值，最小值为，由的面积可得，即可得的最小值． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵于点， ∴， ∵点是上一个动点， ∴， ∴， 当点为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，最短路径，与三角形的高相关的计算，找到取最小值的位置是解答的关键． 2．如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 3．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 延长至点，使得，连接，由线段垂直平分线的性质，可得，作于点，由垂线段最短，可得，连接，由的面积，可得，即可得的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 作于点，则， ∴当点P，Q，M三点共线时，且时，即点H和点P重合时，取得最小值，即的长度， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 4．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 5．如图，在中，，，于点，，、分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握“将军饮马”数学思想是解题的关键，根据“将军饮马”数学思想得到的最小值为的长，再利用三角形的面积不变性列式子，即可求得的长，从而得到答案． 【详解】解：过点作，交于，如图： ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值为， ∵的面积不变，且， ∴， 即， 解得：， 故选：A． 6．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．20 D．11 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出三角形周长的最小值是解题的关键． 连接，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长 ， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：B． 7．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到的最小值时点H的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为，此时最短，利用条件求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 8．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交、边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值． 9．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意渠宽固定，即的长度是定值，要使得总长度最短，则的长度最短即可． 【详解】解：将点P向下平移的长度得到，连接，， 则，． ． 即当三点共线时总长度最短． 10．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】过点D作于H，并延长，先判断出，再判断出，在上取一点，使，连接，进而判断出，得出，即可判断出时，最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 11．在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 12．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置． 根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为． 【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为， ∴则的最小值为5， 故答案为：5． 13．如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 14．如图，中，，，，为边的垂直平分线上一个动点，则的周长最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，正确确定点的位置是解题的关键．因为边的垂直平分线为，所以点和点关于直线对称，所以当点和点重合时，的周长最小，再结合题目中的已知条件求出的长即可解答． 【详解】解：为边的垂直平分线上一个动点， 点和点关于直线对称， 当点和点重合时，的周长最小， 在中，，，， ， ， 的周长最小值， 故答案为：． 15．在中，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且．当的值最小时，的度数为______． 【答案】/10度 【分析】本题考查了最短路线问题、全等三角形的性质、等边对等角等知识，正确作出辅助线是解题关键．在下方作，使，连接，则的最小值为，此时三点在同一直线上，解得，进而可得，然后由求解即可． 【详解】解：在下方作，使，连接， 则， ∴， 即的最小值为，此时三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 17．如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1) 解：如图1，点即为所求． (2)如图2，点即为所求． 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 18．已知，点D是线段的中点． (1)如图1，点E在线段上，连接，交于点F，延长至点H，使，连接．若，；求的度数； (2)如图2，点G在射线上，连接，点E在上，连接交于点F，连接，，，F为的中点．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明： (3)在（2）的条件下，若点H是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，，，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 解：，证明如下： 如图，延长使，连接， ∵点D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）先证明，得，再由，得，利用等腰三角形的性质得出，利用三角形内角和定理即可求得结果； （2）延长使，连接，先证明，得，，再由已知条件利用等腰三角形的性质得出，证明，从而得出结论； （3）连接，与交点P，得出周长的最小值为，确定出点P的位置，再通过等腰三角形三线合一的性质求得相关角的度数，并最终得出结果． 【详解】（1）解：∵点D是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （2）略 （3）解：由（2）知，， ∴， ∵点P为上的动点，F，H为定点， 如图，连接，与交点P， ∵垂直平分线段，点P在上， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， ∵H为的中点，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵点P在上， ∴， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质及三角形内角和定理及外角性质等知识点，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 19．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______； (2)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是______； (3)在轴正半轴上是否存在点使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解； （2）利用轴对称的性质，作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为点P； （3）过点，分别做轴的垂线，垂足为，，在轴上取，根据可得，由此即可求解出点Q的坐标． 【详解】（1）解：若与关于轴成轴对称， 则三个顶点坐标分别为，，， 故答案为：，，； （2）如图：点是点A关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点P， 此时的值最小， 则点P的坐标为； （3）存在点Q，点Q的坐标为，理由如下： 如图：过点，分别作轴的垂线，垂足为，， 在轴上取 ， ， ， 解得， ， 由于为定值，且当或时，到的距离不等于到的距离，故不存在符合题意的其它Q点， ∴存在，． 20．如图所示，点，，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接． (1)如图1所示，直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)如图2所示，当点P在点O，A之间运动时，则、之间的位置关系为 ；并加以证明； (3)如图3所示，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ． 【答案】(1)， (2)垂直， 证明：过点E作轴于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为垂直； (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，于是得到结果； （2）过点E作轴于H，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）由直角三角形的性质证出，则可得出；取点，连接、，O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则，根据三角形的面积关系可得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 取点G，连接， ∵，， ∴O与G关于直线对称，连接交于E，连接，则， 此时最小，， ∵E到的距离相等，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．如图，在中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等； (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求的度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段、的长度之和，即的值最小，求此时的长． 【答案】(1)当时，与的面积相等 (2)或或或 (3)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）由（1）得：，分两种情况：①点P在上，再分，，利用等腰三角形的性质求解即可；②点P在上时，存在，根据等腰三角形的性质求解即可； （3）当M在上，且时，最小，作于，如图3所示：则，证明得到，，则，当点E、M、三点共线时取等号，此时的最小值为的长；由平行线的性质得，由直角三角形的性质得，，求出即可． 【详解】（1）解：当时，与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴与的面积相等． （2）解：由（1）得：， 分两种情况： ①点P在上，如图1所示： 若，则， ∴； 若时，则； 若， 则； ②点P在上时，如图2所示： 存在， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）解：当M在上，且时，最小，作于，如图3所示： 则， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，当点E、M、三点共线时取等号， ∴的最小值为的长， 此时，则， ∵，， ∴， ∵点E是斜边的中点， ∴ ∴ ∴. 故答案为：5． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质以及最小值问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 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