精品解析：2023年江西省赣州市崇义县 九年级数学研学活动考核试题

崇义县2023年九年级数学研学活动考核试题 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 的个位数字是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，数字类规律探究，先计算式子得，进而找到个位数字的规律，即可求解． 【详解】解： ， ∵，它个位数字是2， ，它个位数字是4， ，它个位数字是8， ，它个位数字是6， ，它个位数字是2， … ∴的个位数字是以2，4，8，6的规律循环出现， ∵， ∴的个位数字是2， 故选：A． 2. 设，则等于（ ） A. 24 B. 25 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 3. 设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A. 1， B. 1，3 C. ， D. ，3 【答案】C 【解析】 【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可； 【详解】解：是关于x的方程的两根， ， 是关于x的方程的两根， ，，即， 将代入整理得， ，解得， 故选：． 4. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理，熟练掌握反比例函数 （为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【详解】解：作轴，轴，与交于，如图， ∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当时，；当时，， ∴点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴，即， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， 代入，得点的纵坐标为，点的纵坐标， 即点的坐标为， 点坐标为， ∵双曲线过点两点， ∴， 解得， ∴点坐标为， ， 故选：D． 5. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（　　） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及其推论，解直角三角形相关计算，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟记解直角三角形相关计算是解题的关键．由圆周角定理可知，，然后根据锐角三角函数相关定义求出的长度． 【详解】解：连接， 由圆周角定理得，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：作FG⊥AB于点G， 由AE∥FG，得， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， 又∵BE是∠ACB的平分线， ∴FG=CF， 在Rt△BGF和Rt△BCF中， ∴Rt△BGF≌Rt△BCF， ∴CB=GB， ∵AC=BC， ∴∠CBA=45°， ∴AB=BC， ∴==． 故选：C． 【点睛】考点：1、平行线分线段成比例，2、全等三角形及角平分线 7. 已知顶点为的抛物线经过点，有以下四个结论： ①； ②； ③若点和均在抛物线上，则； ④关于的方程的两根为和． 其中，正确的结论有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象性质、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象性质；根据抛物线的顶点以及过得出开口方向即可判断①②，根据对称轴为直线即可判断③，待定系数法求得解析式，进而解方程，判断④，即可求解． 【详解】解：①、由图象过顶点和，得二次函数图象开口向上，故抛物线与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时，即，选项正确； ②、抛物线开口方向向上，即函数有最小值，所以，选项正确； ③、由函数图象知，对称轴为， 当时，随的增大而增大，点和关于对称轴对称， ∵， ∴，选项正确； ④、由顶点为，设抛物线解析式为 将点代入得， 解得：， 抛物线解析式为 即 整理得， 解得：，故该选项不正确； 故正确的有①②③． 故选：C． 8. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1幅图形中的“●”的个数为a1，第2幅图形中的“●”的个数为a2，第3幅图形中的“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律．找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：∵，，，，…，； ∴ ， ． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．） 9. 若，则的值为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，非负性，根据被开方数是非负数，得到，再根据绝对值的非负性，得到关于的二元一次方程组，求出的值，即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：2． 10. 已知实数、、、满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，根据题意得到，再将变形为，将，代入上式4求解，即可解题． 【详解】解：实数、、、满足， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 无论a取何值，直线都经过定点 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直线恒过定点的问题，分析题目可知需将已知直线进行适当变形，把变形为，得出，然后解方程组，求出结果即可． 【详解】解：直线可变为： ， ∵无论a取何值，直线都经过定点， ∴， 解得：， ∴无论a取何值，直线都经过定点． 故答案为：. 12. 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=_______． 【答案】 【解析】 【详解】如答图，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CD⊥AB于D， 由勾股定理得AB=AC=，BC=，AE=， 由得， ∴ 故答案为：． 13. 已知抛物线：，把绕点旋转，得到抛物线，则的解析式为 ______________；在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，则的最大值为 _______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点为，与x轴交点为和，由旋转的性质可得抛物线的顶点为，图像上的两点和，设二次函数的顶点式，代入即可求出解析式；设则，可得，进而可求最值； 【详解】解：在中，令得或， ∴抛物线的顶点为，与x轴交点为和， 将绕点旋转，得到抛物线的顶点为； 将和绕点旋转，分别得到图像上的点和； 设抛物线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 如图： 设则， ， 由可得，， ∵在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N， ∴当时，取最大值12； 故答案为：；12． 【点睛】本题考查二次函数与几何变换，二次函数的最值问题，解题的关键是根据已知求出抛物线的解析式； 14. 如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有______． 【答案】3，6，7，9，15 【解析】 【分析】本题考查了含待定字母的一元二次方程的整数解，求解待定字母的取值．熟练掌握一元二次方程和一元一次方程解的整数性，分情况进行求解，是解答本题的关键． 分、和三种情况考虑，当或9时求出x的值，以此确定或9是否合适；当（，利用分解因式法找出的值，根据以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论． 【详解】解：∵， 当，即 时， 原方程为， 解得：， ∴合适； 当，即时， 原方程为， 解得， ∴合适； 当，即且 时, ∵， ∴原一元二次方程有有理根， ∵， ∴，， ∴，， ∵x是整数，a是整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a的值符合的有： 3，7，15． 综上，符合条件的整数的值有3，6，7，9，15． 三、解答题（共4小题，共50分．） 15. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC. （1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）. ①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积； ②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. （2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上. 【答案】（1）①S阴影= ②PC=6; （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度； （2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6； （3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上． 【详解】（1）如图1，①S阴影=S扇形ABC+S△BP′C-S扇形PBP′-S△ABP =S扇形ABC-S扇形PBP′ = = ②连接PP′， 根据旋转的性质可知： BP=BP′，∠PBP′=90°； 即：△PBP′为等腰直角三角形， ∴∠BPP′=45°， ∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°， ∴∠BPA+∠BPP′=180°， 即A、P、P′共线， ∴∠PP′C=135°-45°=90°； 在Rt△PP′C中，PP′=4,P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6． （2）如图2，将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′． 同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2； ∵PA2+PC2=2PB2=PP′2， ∴PC2+P′C2=PP′2， ∴∠P′CP=90°； ∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°； ∵∠BPA=∠BP′C， ∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上． 16. 在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上． 小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题： （1）如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ． （2）如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：如图3，连接， 为的中点， ，， ， C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆， ， ， ， 是等边三角形， ； 【解析】 【分析】（1）由、、是的高，可知点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解； （2）连接，根据垂径定理可知，结合，，可知C、E、O、G四点共圆，D、G、O、F四点共圆，然后在每一个圆中运用圆周角定理进行角的转换即可求解，最后证明是等边三角形即可； 【小问1详解】 设与交于点， 、、是的高， ，， 点E、H、D、B四点共圆，点E、H、D、C四点共圆， ， ， ， 故答案为：52； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及与三角形有关的角的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键． 17. 一个四位正整数M，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位之和等于百位与个位之和均为9，则称M为“行知数”此时，规定例如，，∵，∴是“行知数”，；又如，，∵，∴不是“行知数” （1）判断2475和4256是否是“行知数”，并说明理由； （2）对于“行知数”M，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”．若是整数，且M的千位数字不小于十位数字，求满足条件的所有“行知数”M． 【答案】（1）2475是“行知数”， 4256不是“行知数” （2）5841或7425或8217 【解析】 【分析】（1）根据“行知数”的定义验证即可； （2）设M的千位为m，百位为n，表示出M和，以及和，再根据M的千位数字不小于十位数字，求出m的范围，化简，根据其值是整数，可得n值，从而得到相应的“行知数”． 【小问1详解】 解：∵， ∴2475是“行知数”， ∵， ∴4256不是“行知数”； 【小问2详解】 设“行知数”M的千位为m，百位为n， 则， ∴， 交换后，， ∴， ∴ ， ∵M的千位数字不小于十位数字， ∴， 解得：，且m为正整数， ∴m的值为5，6，7，8，9， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴， ∵是整数，即是整数， ∴当时，， ∴，即“行知数”M为5841； 当时，， ∴，不合题意； 当时，， ∴，即“行知数”M为7425； 当时，， ∴，即“行知数”M为8217； 综上：符合要求的“行知数”M有5841或7425或8217． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，数的整除性，是一道新定义题目，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，解题的关键是能够理解定义． 18. 如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3 （2）P点坐标为（，） （3）h的取值范围为3≤h≤4 （4）存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ∴ ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3； 【小问2详解】 如图1，过P作PGy轴，交OE于点G， 设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， 设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得， 3＝3k， 解得k＝1， ∴直线OE的解析式为：y＝x， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG PG•AE 3×（﹣m2+5m﹣3） （m2﹣5m+3） （m）2， ∵0， ∴当m时，△OPE面积最大， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P点坐标为（，）； 【小问3详解】 由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1）， 抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2， ∵直线OE的解析式为：y＝x， ∴M（2，2）， ∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界）， ∴2≤﹣1+h≤3， 解得3≤h≤4； 【小问4详解】 设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∴∠OMP＝∠PNF＝90°， ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°， ∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m或， ∵m＞2，不合题意，舍去， ∴m， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1或m2， ∵＞2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m1或m2； ∵＜2，不合题意，舍去， ∴m＝， 此时m2﹣4m+3＝， P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5， 同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇义县2023年九年级数学研学活动考核试题 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 的个位数字是(　　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 设，则等于（ ） A. 24 B. 25 C. D. 3. 设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A. 1， B. 1，3 C. ， D. ，3 4. 如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 如图，是的直径，C，D是圆上的两点．若，，则的长为（　　） A. B. 8 C. D. 6. 如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知顶点为的抛物线经过点，有以下四个结论： ①； ②； ③若点和均在抛物线上，则； ④关于的方程的两根为和． 其中，正确的结论有(　　)个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1幅图形中的“●”的个数为a1，第2幅图形中的“●”的个数为a2，第3幅图形中的“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．） 9. 若，则的值为 _____． 10. 已知实数、、、满足，，则________． 11. 无论a取何值，直线都经过定点 ____________． 12. 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=_______． 13. 已知抛物线：，把绕点旋转，得到抛物线，则的解析式为 ______________；在和构成的封闭区域内作直线轴，分别交和与点M，N，则的最大值为 _______． 14. 如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有______． 三、解答题（共4小题，共50分．） 15. 已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC. （1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）. ①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积； ②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长. （2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上. 16. 在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），和中，．试证明A、B、C、D四点在同一圆上． 小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取中点M，连接，则有及，即，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题： （1）如图2，在中，三条高、、相交于点H，若，则 ． （2）如图3，已知是的直径，是的弦，G为的中点，于E，于F（E、F不重合），若，求证：． 17. 一个四位正整数M，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位之和等于百位与个位之和均为9，则称M为“行知数”此时，规定例如，，∵，∴是“行知数”，；又如，，∵，∴不是“行知数” （1）判断2475和4256是否是“行知数”，并说明理由； （2）对于“行知数”M，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”．若是整数，且M的千位数字不小于十位数字，求满足条件的所有“行知数”M． 18. 如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $