10.1　平方根和立方根 课件2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

第10章 数的开方 10.1　平方根和立方根 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 第10章 数的开方 10.1.1　平方根 第1课时 平方根 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 1. 什么是乘方？ 求几个相同乘数的积的运算叫做乘方. 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数； 负数的偶次幂是正数. 底数 幂 指数 2. 请同学们完成下列各题. 32=_________ （-3）2=_______ 72=_________ （-7）2=_______ 9 9 49 49 【探究1】平方根的概念 【问题情境】 探究与应用 要剪出一张面积为25cm²的正方形纸片，正方形的边长应是多少？ 这个问题就是已知正方形的面积为25cm² ,求这个正方形的边长. 容易知道，这个正方形的边长是5cm. 上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方等于25. 【探究1】平方根的概念 探究与应用 正方形的面积 1 9 16 25 36 边长 1 3 4 5 6 若正方形的面积如下，请填表： 你能指出“面积→边长”这些数据变化的共同点吗？ 【探究1】平方根的概念 【概括】 探究与应用 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 又因为=9，所以-3也是9的一个平方根.这就是说，3和-3都是9的平方根. 根据平方根的意义，可以利用平方运算来探求一个数的平方根. 举例：因为3²=9，所以3是9的一个平方根. 9的平方根只有一个吗？还有没有别的数的平方也等于9？ 求法： 【探究2】平方根的性质 探究与应用 1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 【试一试】 Lenovo (L) - 处理方式：引导学生讨论、交流，教师巡视指导，形成共识，然后小组选派代表发言，集体讲评。 【探究1】平方根的概念 【应用】 探究与应用 解： 因为102=100,(-10) 2=100, 除了10和-10以外，任何数的平方都不等于100， 所以100的平方根是10和-10. 也可以说，100的平方根是±10. 例1 求100的平方根. 【探究2】平方根的性质 探究与应用 通过上面这些题目的解答，你能发现什么? 问题： （1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 2个 1个 没有 想一想 因为任何数的平方都为非负数，所以负数没有平方根. 【探究2】平方根的性质 探究与应用 平方根的性质： 1. 正数有两个平方根，它们互为相反数. 2. 0的平方根还是0. 3. 负数没有平方根. 要点归纳 【探究2】平方根的性质 探究与应用 【应用】 【探究2】平方根的性质 探究与应用 1. 16的平方根是( ) A.±4 B. ± C.4 D.-4 达标检测 课堂小结与检测 A 2.下列说法正确的有(　　) ①-2是-4的一个平方根； ②a2的平方根是a； ③2是4的平方根； ④4的平方根是2. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A 课堂小结与检测 达标检测 3.下列各数没有平方根的是(　　) A.0 B. C.-4 D.5 C 4.说出下列各数的平方根. （1）36；（2） ； （3）0.64. 解:（1）±6， （2） ； （3）±0.8. 第10章 数的开方 10.1.1　平方根 第2课时 算术平方根 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 知识关联 1.如何定义平方根的？ 2.平方根有什么性质呢？请叙述. 3.说出下列各数的平方根： （1）169；（2）0.81；（3） . 正数有两个平方根，它们互为相反数； 负数没有平方根； 0的平方根是0. 特别提示：0的平方根只有一个（就是0），也叫做0的算术平方根,记作.即=0. 【探究1】算术平方根的概念 探究与应用 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即.因此，正数a的平方根可以记作，其中a称为被开方数. 【针对练习】 因为22=4 ，所以4的算术平方根是 . 2 【探究1】算术平方根的概念 探究与应用 【应用】 例1 求下列各数的算术平方根： (1)100;　　　(2) ;　　　(3)0.0001. 解：(1)因为102=100, 所以100的算术平方根是10,即 =10. (2)因为 , 所以 的算术平方根是 ,即 . (3)因为0.012=0.0001, 所以0.0001的算术平方根是0.01,即 =0.01. 【探究2】开平方 探究与应用 开平方的定义: 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方. 将一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根. 【探究2】开平方 探究与应用 【应用】 例2 将下列各数开平方： (1) 49； (2) 解：(1)因为7²=49，所以 =7， 因此49的平方根为± =±7. (2)因为 ,所以 ， 因此 的平方根为 . 【探究3】用计算器求算术平方根 探究与应用 例3 用计算器求下列各数的算术平方根： （1）529 ； （2）44.81（精确到0.01）． 说明：用计算器求一个正数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可. 解：(1)在计算器上依次键入： ， 显示结果为23,所以529的算术平方根为 5 2 9 = 4 4 . 8 1 = (2) 在计算器上依次键入： 显示结果为 6.6940271884718，要求精确到0.01，可得 6.69 达标检测 课堂小结与检测 A 1. 9的算术平方根为(　　) A.3 B.±3 C.-3 D.81 2. 下列说法正确的是(　　) A.5是25的算术平方根 B.±4是16的算术平方根 C.-6是(-6)2的算术平方根 D.0.01是0.1的算术平方根 A 课堂小结与检测 达标检测 3. 一个数的算术平方根是它本身,这个数是(　　) A.1 B.-1 C.0 D.1或0 D 4.求下列各数的算术平方根. （1）36； （2） ； （3）0.09； （4）0. 解:（1） =6； （2） ； （3） =0.3； （4） =0. 第10章 数的开方 10.1.2　立方根 探究与应用 课堂小结与检测 Administrator (A) - 每课时设置的三大版块，重在让学生学会学习。及时回顾反思。 【探究1】立方根的概念 【问题情境】 探究与应用 要做一只容积为216 cm3的正方体纸盒， 正方体的棱长是多少？ 这个实际问题，在数学上可以转化成一个怎样的计算问题？从中可以抽象出一个什么数学概念？ 边长（ ） 体积（ ） 立方 ? 216 建模 问题的实质：x3=216 x=? Lenovo (L) - 处理方式： 学生分小组活动，通过交流讨论，得出结论，组内成员畅所欲言，最后总结答案，公开展示，各个小组互相对比，教师给予评价。 【探究1】立方根的概念 探究与应用 【类比学习】     类比 【探究1】立方根的概念 探究与应用 表示方法：一个数a的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 开平方的根指数2一般习惯省去. 读作:三次根号 a . 如何表示一个数的立方根? 【探究2】立方根的性质 探究与应用 根据立方根的意义填空： 因为23=8，所以8的立方根是(　) 因为( )3=0.125,所以0.125的立方是(　) 因为( )3＝－8，所以－8的立方根是( ) 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( ) 2 -2 因为( )3 ＝0，所以0的立方根是(　) 0 0 -2 通过这些题目的解答，你能看出正数、0、负数的 立方根各有什么特点? 想一想 【探究2】立方根的性质 探究与应用 立方根的性质： (1)正数的立方根是正数； (2)负数的立方根是负数； (3)0的立方根是0. 讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗? 被开方数 平方根 立方根 有两个，它们互为相反数 正数 负数 0 没有平方根 有一个，是0 有一个,是正数 有一个,是负数 有一个，是0 Lenovo (L) - 处理方式：引导学生讨论、交流，教师巡视指导，形成共识，然后小组选派代表发言，集体讲评。 【探究2】立方根的性质 【应用】 探究与应用 例1 求下列各数的立方根： (1) ；(2)-125；(3)-0.008. (2) 因为（-5)³＝-125，所以 ＝-5. (3)因为(-0.2)3＝－0.008， 所以 . 解：(1) 因为 ，所以 . 【探究3】用计算器求立方根 探究与应用 说明：用计算器求一个有理数的立方根，只需直接按书写顺序按键即可. 例2 用计算器求下列各数的立方根： （1）1331 ； （2）9.263（精确到0.01）． 解：(1) 在计算器上依次键入： 显示结果为11,所以 3 3 1 SHIFT = 1 （2）在计算器上依次键入： 显示结果为 2.1001511606987 ，要求精确到0.01，可得 2.10. 9 . 2 6 3 = SHIFT 达标检测 课堂小结与检测 1.因为(____)3＝－27，所以－27的立方根是________，用数学式子表示为__________；因为(______)3＝0，所以0的立方根是________，用数学式子表示为________；因为(______)3＝8，所以8的立方根是________，用数学式子表示为________． -3 -3 0 0 2 2 课堂小结与检测 达标检测 2. 64的立方根为(　　) A．4 B．±4 C．8 D．±8 A 3.下列说法正确的是(　　) A．0.8的立方根是0.2 B．1的立方根为±1 C．-1的立方根是-1 D．-25没有立方根 C 课堂小结与检测 达标检测 4.求下列各式的值. （1） ; (2) ; (3) ; (4) . 判断下列说法的正误,若错误,请说明理由. (1)36的平方根是-6; (2)(-3)2没有平方根; 错误.理由:36的平方根是±6. 错误.理由:(-3)2=9,9的平方根为±3. (3)-52的平方根是±5; (4)0的平方根是0; (5)对于任意数a,a2都有两个平方根. 错误.理由:-52=-25,-25没有平方根. 正确 错误.理由:如果a=0,那么a2=0,它的平方根只有一个,为0. $