第21章一元二次方程应用题专项练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程应用题专项练习 1．东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 2．2025年8月，某音乐节推出了普通票与VIP票．据了解，1张普通票比1张VIP票便宜60元，用720元买的普通票的数量与用1080元买的VIP票的数量相同． （1）求普通票与VIP票的单价分别是多少元； （2）据统计，音乐节首日普通票销量是400张，VIP票销量是360张．第二天由于天气原因，两种票的销售均受到影响，组委会为了刺激销售，进行了降价促销，普通票单价降低了m元，销量仍减少了张，VIP票单价保持不变，销量减少了张，最终第二天总销售额比首日少了490m元，求m的值． 3．随着科技的不断进步，人工智能（AI）正逐渐渗透到我们的生活和工作．从家庭助手到自动驾驶汽车，再到智能医疗，AI的应用前景广阔且充满无限可能．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． （1）若有14人参加旅游，人均费用是 　 　 元． （2）某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 4．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于32万元，如果该公司想获得250万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？ 5．列方程解应用题． 某小区在宽为22m，长为30m的矩形地面上铺560m2的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度． 6．根据以下素材，探索完成任务． 如何选择购买方案 素材1 某校30位同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元，C场馆门票每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 （1）求A场馆和B场馆门票的价格； 任务2 设计购买方案 （2）在出发前，班长统计大家的参观意向，有一些同学的意向不确定，通过几次举手表决，发现每次统计的结果想参观B场馆的人数都是想参观A场馆人数的2倍，且想参观A场馆的人数不少于3人，而想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数，由于班级可用经费仅有750元，请你帮班长算一算能符合上述条件的所有购买方案； 任务3 选择最优购买方案 （3）如果仅从经费的使用情况角度来分析，你觉得选择任务2中的哪个方案更好，请说明理由． 7．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm，若画心的面积为15200cm2，求隔水的宽度x． 8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求： （1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由． 9．综合与实践： 主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为5cm，求该收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长； 任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高． 10．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长18米，有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长36米，且围成的鸡场面积为180平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 11．在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． （1）若每顶头盔降价10元，则平均每周售出　 　 顶，共获利　 　 元； （2）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ （3）商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤4）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 12．如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为x m． （1）BC的长为 　 　 m；x的取值范围是 　 　 ； （2）当x为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为500m2.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由． 13．某新能源汽车制造厂第二季度的产量（单位：辆）比第一季度增加60%．第三季度的产量比第二季度减少10%，设该新能源汽车制造厂第一季度的产量为a． （1）请用含a的代数式填写下表（填化简之后的结果）： 季度 一 二 三 产量/辆 a 　 　 　 　 （2）求该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率． 14．2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　 　 　 　 　 　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 15．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 16．某公司实行年薪工资制，职工的年薪工资由基本工资、工龄工资和岗位工资三项组成，具体规定如下： 项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法 基本工资 2 每年增长率相同 工龄工资 0.05 每年增加0.05万元 岗位工资 0.3368 固定不变 （1）设基本工资每年增长率为x，用含x的代数式表示第三年的基本工资为　 　 ； （2）某人在公司工作了3年，他这3年拿到的工龄工资和岗位工资的和正好是他这3年基本工资总额的18%，求基本工资每年的增长率是多少？ 参考答案 1．解：（1）设每次下降的百分率为a， 根据题意得：75（1﹣a）2＝48， 解得：a1＝0.2＝20%，a2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为20%； （2）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，日销售量为（50010）千克， 根据题意得：（10+x）（50010）＝6000， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝10． 答：每千克应涨价5元． 2．解：（1）设普通票的每张为x元，则VIP票的每张为（x+60）元， 由题意得：， 解得：x＝120， 经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意， 则x+60＝120+60＝180元， 答：普通票每张为120元，VIP票的每张为180元； （2）根据题意，得， ， m1＝60，m2＝0（舍）， 答：m的值为60． 3．解：（1）由题意得：240﹣（14﹣10）×5＝240﹣20＝220， 即若有14人参加旅游，人均费用是22元， 故答案为：220； （2）设参加活动的学生人数为x人， 由题意得：x[240﹣5（x﹣10）]＝3600， 整理得：x2﹣58x+720＝0， 解得：x1＝18，x2＝40， 当x1＝18时，240﹣5×（18﹣10）＝200＞170，符合题意； 当x2＝40时，240﹣5×（40﹣10）＝90＜170，不符合题意，舍去； 答：参加活动的学生人数为18人． 4．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 依题意列方程组得， 解得， 所以y与x的函数关系式为y＝﹣5x+200， 答：月销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣5x+200； （2）依题知（x﹣25）（﹣5x+200）＝250． 整理方程，得x2﹣65x+1050＝0． 解得x1＝35，x2＝30． ∵此设备的销售单价不得高于32万元， ∴x2＝35（舍），所以x＝30． 答：该设备的销售单价应是30万元． 5．解：设道路的宽度为x m，则其余部分可合成长为（30﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（30﹣x）（22﹣x）＝560， 整理得：x2﹣52x+100＝0， 解得：x1＝2，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为2m． 6．（1）解：设A场馆和B场馆门票的价格分别为x元/张、y元/张， 购买2张A场馆门票和3张B场馆门票共需220元， 购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元， 依题意列二元一次方程得：， 解得， 即A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张， 答：A场馆和B场馆门票的价格分别为50元/张、40元/张； （2）设采购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票2a张，购买C场馆门票（30﹣a﹣2a）张． ∵想去A场馆的人数不少于3人， ∴a≥3， ∵想参观C场馆的人数多于想参观A场馆的人数， ∴根据题意列一元一次不等式得，30﹣2a﹣a＞a， 整理得，4a＜30， 解得， 依题意列一元一次不等式得：50a+40×2a+15×（30﹣3a﹣a）≤750， 解得， ∴， ∵a是整数， ∴a取3或4， ∴有两种购买方案， 方案一：购买A场馆门票3张，则购买B场馆门票6张，购买C场馆门票21﹣3＝18张； 方案二：购买A场馆门票4张，则购买B场馆门票8张，购买C场馆门票18﹣4＝14张； （3）选方案一，理由如下， 理由：方案一：50×3+40×6+15×（21﹣3）＝660（元）， 方案二：50×4+40×8+15×（18﹣4）＝730（元）， ∵660＜730， ∴选择方案一省钱． 7．解：由题意可知，隔水的宽度为x cm，则画心的长为（1000﹣2×100﹣4x）cm，宽为（40﹣2x）cm， 由题意得：（1000﹣2×100﹣4x）（40﹣2x）＝15200， 整理得：x2﹣220x+2100＝0， 解得：x1＝10，x2＝210（不符合题意，舍去）， 答：隔水的宽度x为10cm． 8．解：7÷2（s）． 当运动时间为t s（0≤t）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2t cm． （1）依题意得：2t×（5﹣t）＝4， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）． 答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2． （2）不能，理由如下： 依题意得：2t×（5﹣t）＝7， 整理得：t2﹣5t+7＝0． ∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PBQ的面积不能等于7cm2． 9．解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，制作的收纳盒的高为5cm， ∴BC＝40﹣5×2＝30（cm），AB35（cm）． 答：该收纳盒的底面ABCD的边BC的长为30cm，AB的长为35cm； 任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB（40﹣x）cm， 根据题意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣60x+500＝0， 解得：x1＝10，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：该收纳盒的高维10cm． 10．解：设养鸡场的宽为x米，根据题意得：x（36﹣2x+2）＝180， 解得：x1＝10，x2＝9， 当x＝10时，36﹣2x+2＝18， 当x＝9时，36﹣2x+2＝20＞18，（舍去）， 则养鸡场的宽是10米，长为18米． 11．解：（1）根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出（顶）， 共获利（68﹣10﹣40）×300＝5400（元）． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价a元， 根据题意列一元一次方程可得，， 整理得，a2﹣23a+60＝0， 解得a1＝20，a2＝3， 当时a＝20时，售价为68﹣20＝48（元）； 当时a＝3时，售价为68﹣3＝65（元）； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价x元， 根据题意，得 ＝﹣20x2+（20m+2260）x﹣1460（40+m）， 则该函数图象的对称轴为，开口向下， 当x≤58时，利润仍随售价的增大而增大， ∴根据题意列一元一次方程得，， 整理得，m+113≥116， 解得m≥3， ∵1≤m≤4，且m为整数， m＝3或4． 12．解：（1）∵AB＝x cm， ∴BC＝（60﹣2x）cm， ∵0＜BC≤25， ∴17.5≤x＜30， 故答案为：（60﹣2x）；17.5≤x＜30； （2）根据题意得x（60﹣2x）＝400， 整理得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝10（舍），x2＝20， 答：当x为20m时，矩形花园ABCD的面积为400m2； （3）嘉嘉的说法不正确； 理由：根据题意得x2﹣30x+250＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园ABCD的面积不可以为500m2，即嘉嘉的说法不正确． 13．解：（1）由题意，第二季度的产量为：a（1+60%）＝1.6a； 第三季度的产量为：1.6a（1﹣10%）＝1.44a； 填表如下： 季度 一 二 三 产量/辆 a 1.6a 1.44a 故答案为：1.6a，1.44a； （2）设该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为x， 由题意，得：a（1+x）2＝1.44a， 整理得，x2+2x﹣0.44＝0， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）； 答：该新能源汽车制造厂第二、三季度产量的平均增长率为20%． 14．解：（1）当每间客房的定价提高了x元时， 房间价格为（200+x）元， 入住了（60）间房， 总维护费用为20（60）元． 故答案为：（60），（200+x），20（60）； （2）根据题意，得（200+x）（60）﹣20（60）＝14000， 化简，得x2﹣420x+32000＝0， 解方程，得x1＝100，x2＝320， 又∵要吸引更多的游客， ∴x＝100， ∴200+x＝200+100＝300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 15．解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， 解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为10cm （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12厘米， ②∵12＜15， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 16．解：（1）每年的增长率为x，则第三年的基本工资为2（1+x）2． 故答案为：2（1+x）2． （2）0.05+0.10+0.15+3×0.3368＝0.18×[2+2（1+x）+2（1+x）2]， ∴x1＝0.2，x2＝﹣3.2（舍去）． 答：基础工资每年的增长率为20%． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/11 14:29:04；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $