第16章 数学活动 月历中的奥秘（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第16章 整式的乘法 数学活动 月历中的奥秘 【素养目标】 1. 通过月历中的数字规律，理解交叉相乘再相减的规律；和为定值的两数积的规律及其应用。（重点） 2. 利用整式运算证明月历中的规律；理解和为定值的两数积的规律， 并应用于实际问题。（难点） 3. 培养观察能力、归纳能力和代数推理能力，通过探究活动，提升数学思维和问题解决能力。 【知识链接】 (1) 方框中的 9 个数的和与方框正中心的数有什么关系？ (2) 对于框中的 4 个数，又能得出什么结论？ 【活动探究】 活动探究一： 月历中的奥秘 情境探究：月历是我们身边接触比较多的一个工具， 月历中的数字排列是否有规律？ 如何通过数学方法发现这些规律？ 观察下图某月的月历，思考下面的问题。 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 讨论1：选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论？ 讨论2：请再选几个类似的部分，试一试，与同桌讨论，看看是否符合这个规律。 讨论3：换一个月的月历试试，前面的规律还成立吗？ 讨论4：请根据整式的乘法，对以上规律加以证明。 讨论5：你还能发现其他规律吗？与你的同桌讨论， 并尝试证明。 拓展： （1）如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72, 你能知道是哪几天吗？ （2）如果用一个正方形圈出四个数，且这四个数的和为48，这里圈出的四天你知道分别是几号吗？ 活动探究二： 和为定值的两数积的规律 问题情境：用 长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？ 思考：此时长方形的长和宽有什么关系？ 规律探索：计算下列式子的积，你能发现积有什么规律？ ① , ; ② ; 举例验证： 再举出一些数来计算， 所得的规律还成立吗？ 验证猜想：你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？ 拓展应用：现在你能利用发现的规律解决问题情境中的提问吗？ 当堂反馈 1. 小琪同学在某月的月历上圈出了三个数 , 并求出了它们的和为 30 ，则这三个数在月历中的排位位置不可能是 ( ) 2. 已知在月历中竖列上三个数的和是 45 ，则这三个数中最小的数是_________. 3. 某年 12 月份的月历如图所示，现用一长方形在月历中任意框出 4 个数，请用一个等式表示 之间的关系：______________. 4.请尝试用字母表示数，推导并证明： 两数和为定值，两数越接近，这两个数的积越大。 参考答案 【知识链接】 (1) 9个数的和是方框正中心的数9倍 (2) ① 4个位置上的数交叉相加和相等。 ② 4个数的和是4的倍数。 活动探究一：月历中的奥秘 讨论1: 结果为 7 或 -7. 如： ; 讨论2: 依然符合这个规律。 讨论3: 例如： ; 成立。 讨论4: 证明： 设四个数字中最小的数为 , 其余三个数字从小到大依次为： 斜交叉相乘，再相减，列式为： ，故猜想的结论成立。 讨论5: ① 横行上相邻两个数字相差1，设中间数字为 , 则其左边数字为 ，右边数字为 . ② 竖列上相邻两个数字相差 7，设中间数字为 , 则其上方数字为 ，下方数字为 等。 拓展：（1）解 设一竖列上相邻三个数的中间的一个数为 ，则上面的一个数为，下面一个数为 . 由题意得 ，解得 , 所以 . 答： 这三天分别是 17 号， 24 号， 31 号。 (2) 解： 设圈出的四个数中最小的数为 ，则另三个数分别为 . 由题意，得 ，解得 . 所以 答： 这四天分别是 8 号，9 号，15 号，16 号 . 活动探究二： 和为定值的两数积的规律 思考： 长+宽 ，和保持不变。 规律探索： ① , ; ② ; 两数和为定值， 两数越接近， 这两个数的积越大。 验证猜想： 证明：若两数和为60，设其中一数为 , 则另一数为 .两数之积为 .因为 ，所以越大， 越小。 拓展应用：长+宽 ，和保持不变。当长、宽相等时，乘积达到最大， 所以面积的最大值为 . 长方形的最大面积是 ，此时长方形的长和宽相等。 当堂反馈 1. D 2. 8.3. . 4.证明： 设有两个数 ，且 由 . 可得 . . 而两个数的和 为定值， 所以两数之差 越小，两个数的乘积越大，当 时， 乘积达到最大，为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $