15.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第15章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 【素养目标】 1. 探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。 （重点） 2. 能运用线段的垂直平分线的性质及判定解题。 （难点） 【情境导入】 某学校为了方便学生生活，计划在三栋宿舍楼、、之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 在三栋宿舍楼 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 数学建模：在 中，如何找到一点 使得它到三角形三个顶点距离相等？ 【合作探究】 探究点一： 线段的垂直平分线的性质 操作探究：如图，直线 垂直平分线段 , ，是 上的点，分别量一量点 到点 与点 的距离。 问题1: 观察量得的数据， 你有什么发现？ 问题2: 如果把问题 1 中的线段 沿直线 对折， 线段 与 、线段 与 、线段 与 ……都重合吗？它们都分别相等吗？ 【知识要点】 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______. 几何表达： 如果 , 那么对 上任意一点 ，有 . 问题3：上面的性质，可以利用判定两个三角形全等的方法进行证明。 请你完成下面的证明。 如图，直线 ，垂足为点 ，点 在 上。 求证 . 例1 如图，在 中，边 的垂直平分线 交 于点 ，连接 , 若 , 则 的周长是__________. 探究点二： 线段的垂直平分线的判定 思考： 在前面的探究中， 我们得知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 反过来，与线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？ 探究： 如图， . 点 是否在线段 的垂直平分线上呢？ 问题1: 过点 的直线有无数条，如果我们要说明点 在 的垂直平分线上，我们可以先选定一条怎样的直线进行说明？ 怎样说明？ 问题2: 如图，已知点 是线段 外一点连接 , , 求证： 点 在线段 的垂直平分线上。 线段垂直平分线的判定： 与线段两个端点的距离_______的点在这条线段的________上。 几何表达： 如果点 满足 , 那么过点 并交 于点 , 有 . 直线 可看成与两点 、 的距离相等的所有点的集合。 例2 某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 、 、 之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？ 证一证。 【针对训练】 1. 如图，已知 , 求证： 点 在 的垂直平分线上。 探究点三：原命题和逆命题 讨论： 关于探究点一和探究点二中的两个命题， 它们的题设和结论有什么关系？回忆我们学过的知识， 能说出其他具有类似关系的命题吗？ 探究一：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 探究二：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 互逆命题 两个命题的题设和结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。 如果把其中一个叫作原命题， 那么另一个叫作它的逆命题。 思考： 如果原命题成立， 它的逆命题一定成立吗？ 例2 判断下列命题及其逆命题是否成立。 (1) 对顶角相等。 (2) 内错角相等，两直线平行。 (3) 若 ，则 . 总结：一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理。 这两个定理叫作互逆定理。 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 当堂反馈 1. 如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 . 已知 ，则线段 的长度为 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 第1题图 第2题图 第3题图 2. 如图，在 中， , 是 上一点， 是 上一点，且 ，若 ，则 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图所示的仪器中， . 小州把这个仪器放在直线 上，使点 落在直线 上，作直线 ，则 ，其中蕴含的道理是___________________________________________________. 4. 命题 “两直线平行，内错角相等” 的逆命题是___________________________, 它是 _____ （填“真”或“假”）命题。 5. 求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等。请把下面的说理过程补充完整。 已知： 如图，在 中，分别作边 的垂直平分线，两线相交于点 ，分别交边 , 于点 , . 求证： 的垂直平分线相交于点 , . 证明： 连接 . 点 是 边垂直平线上的一点， ______. 同理可得 ________ . . 点 是__________边垂直平线上的一点。 的垂直平分线相交于点 . 参考答案 探究点一： 线段的垂直平分线的性质 问题1: 问题2: 都重合， 都分别相等。 【知识要点】 相等。 问题3: 证明： , 例1 解 是 的垂直平分线， .而 , . 探究点二： 线段的垂直平分线的判定 问题1: 可以先过点 作一条与 垂直的直线，再说明这条直线平分线段 .先过点 作 ，垂足为 ，再说明 . 问题2: 证明： 过点 作 的垂线 ，垂足为点 . 则 . 在 Rt 和 Rt 中， , . . 又 , 点 在线段 的垂直平分线上。 线段垂直平分线的判定： 相等 垂直平分线 例2 解： 连接 ，食堂应该建在线段 的垂直平分线的交点上，理由如下： 点 在线段 的垂直平分线 上， . 同理， . . 【针对训练】 证明： , 垂直平分 . . , . 点 在 的垂直平分线上。 探究点三：原命题和逆命题 讨论： 这两个命题的题设和结论正好相反，类似关系的命题有角平分线的性质和判定。 思考： 不一定， 原命题和逆命题是否成立没有直接关系。 例2 判断下列命题及其逆命题是否成立。 (1) 原命题成立， 逆命题不成立 (2) 原命题成立， 逆命题成立 (3) 原命题不成立，逆命题不成立 当堂反馈 1. D 2. B 3. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4. 内错角相等，两直线平行 真。 5. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $