第13章 数学活动：三角形的裁剪、拼接问题（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

第13章 三角形 数学活动: 三角形的裁剪、拼接问题 【学习目标】 1. 通过亲手操作,深入理解三角形. 2. 掌握多边形的三角形剖分方法,理解多边形与三角形之间的关系. (重点) 3. 几何图形变换中的规律探究及逻辑推理. (难点) 4. 培养学生的动手实践能力、空间想象能力以及逻辑推理能力. 【学习重点】多边形的三角形剖分方法,理解多边形与三角形之间的关系. 【学习难点】几何图形变换中的规律探究及逻辑推理. 【复习导入】 我们知道,用小棒可以摆成很多个图形,如下图所示. 随着图形越来越复杂,小棒的数量也随之发生变化,如果一直延续下去,小棒的数量和图形之间会有什么关系呢? 【合作探究】 探究点一、搭等边三角形 情境探究:取一些等长的小棒,摆成如图所示的图形. 操作1:随着三角形数量的增加,小棒的数量也随之增加,请完成下列表格. 三角形数量 1 2 3 4 5 ... n 小棒数量 ... 问题: 随着三角形数量增多,小棒与三角形的数量之间有什么关系? 请用含 的式子表示. 操作2:如果排列的图形发生变化,如下图所示,三角形的数量与小棒数量之间是什么关系? . 完成表格 三角形数量 1 4 9 16 25 ... 小棒数量 问题: 随着三角形数量增多,小棒与三角形的数量之间有什么关系? 与同桌讨论. 操作3:在操作1 及操作2 中,我们摆出 4 个三角形需要 9 根小棒,那么用 6 根小棒可以摆出 4 个三角形吗？ (提示: 可以考虑立体图形) 问题1: 在上述操作中,我们发现, 6 根小棒可以拼成一个四面体,且每个面都是三角形. 如果我们要搭一个如图所示的八面体,需要多少根小棒？ 问题2: 如果搭建如图所示的 20 面体,需要多少根小棒？ 问题3:你能总结出其中的规律吗？与同学讨论. 思考: 通过操作 1一3 , 你有什么发现? 试着用自己的话总结. 探究点二、多边形的三角形剖分 三条线段首尾顺次相接组成三角形,类似地, 多条线段首尾顺次相接就组成多边形,容易发现, 三角形是最简单的多边形,那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢? 情境探究:把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作多边形的三角剖分,下图给出了七边形的三角剖分的几种方法. 讨论1：试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？n 边形呢？ 多边形 三角形 四角形 五角形 六角形 七角形 n角形 从同一顶点引出的对角线的条数 分割出的三角形的个数 讨论2:将一个四边形进行三角剖分,你有多少种剖分方法? 五边形呢? 与同桌讨论并试着画一画. 边形的不同三角形剖分方法数 公式. 1751年9月4日, 欧拉给他的好朋友哥德巴赫写信 当 时, 请你利用上述公式,验证你前面得到的结果, 并计算六边形、七边形的三角剖分方法数. 当堂反馈 1. 用若干根等长的小木棍搭建等边三角形(三边相等的三角形),搭建 1 个等边三角形最少需要 3 根小木棍,搭建 2 个等边三角形最少需要 5 根小木棍,搭建 4 个等边三角形最少需要小木棍的根数是 ( ) A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 2. 在多边形中,连接不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 从 边形的一个顶点出发,最多可以引(n-3)条对角线,这些对角线可以将这个多边形分成 _____个三角形. 参考答案 探究点一: 搭等边三角形 操作1: 三角形数量 1 2 3 4 5 ... n 小棒数量 3 5 7 9 11 ... 问题: 操作2: 三角形数量 1 4 9 16 25 ... 小棒数量 3 9 18 30 45 问题: . 操作3: 问题1:如图,12根 分析: 对于多面体, 是棱数 (小棒数量), 是面数. 八面体每个面是三角形,面数 . 因每棱被 2 个面共用, 小棒数 (棱数) , 代入 ,得 根. 问题2:如图, 30 根. 分析: 20面体的面数 ,同理, 小棒数 (棱数) ,代入 ,得 根. 问题3:【规律总结】当搭建每个面都是三角形的多面体时, 设面数为 ,小棒数量 (棱数) 为 ,由于每 1 条棱为 2 个面所共有, 所以小棒数量 与面数 的关系为 思考: 平面几何和立体几何在构成图形的基本元素等方面是相同或相似的. 探究点二、多边形的三角形剖分 讨论2:将一个四边形进行三角形剖分, 有 2 种方法; 将一个五边形进行三角形剖分, 有 5 种方法. 当堂反馈 1. C . 2. . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $