专题04 解一元二次方程计算题（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题04 解一元二次方程计算题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用直接开平方法解一元二次方程 题型二、用配方法解一元二次方程 题型三、用公式法解一元二次方程 题型四、用因式分解法解一元二次方程 题型五、用指定的方法解一元二次方程 题型六、用适当的方法解一元二次方程 题型七、用十字相乘法解一元二次方程 题型八、用换元法解一元二次方程 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用直接开平方法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题关键是将方程转化为或的形式，然后通过开平方求解即可． （1）先移项得，再将系数化为后得，直接开平方求解即可； （2）直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：移项得， 方程两边都乘以得， 两边开平方，得. 故答案为：，． （2）解：两边开平方，得， 即或， 解得，． 故答案为：，． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先两边同时除以5，再直接开平方，即可作答． （2）先移项，再直接开平方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； 解得 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， （3）解：， ， ， ， ， （4）解：， ， ， ， ，． 题型二、用配方法解一元二次方程 6．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 8．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案； （2）先移项，然后将二次项系数化为1，再配方，最后开平方，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 化简，得 二次项系数化为，得， 配方，得， 即， 开平方得，， 解得：． （2）解：， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤． 9．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用配方法解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先用完全平方公式配方，再运用直接开平方求解，进而完成解答； （2）先提取公因式3，再用完全平方公式配方，然后再运用直接开平方求解，进而完成解答． 【详解】（1）解： 所以，． （2）解： 所以，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程和完全平方公式是解答本题的关键． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （2）先把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （3）将等式左边的式子展开，移项，合并同类项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可； （4）先把二次项的系数化为1，再把常数项移到等式右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴； （3）， ， ， ， ， ， ∴； （4）， ， ， ， ， ， ∴． 题型三、用公式法解一元二次方程 11．（23-24九年级上·河南许昌·期末）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】 (1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握配方法及公式法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是熟悉求根公式． （1）根据求根公式代入即可解得； （2）根据求根公式代入即可解得． 【详解】（1）解：， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数解； (3)，． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ； （2）， ，，， ， ， ； （3）， ，，， ∴ ， ， ，． 题型四、用因式分解法解一元二次方程 16．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程: (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得：， 因式分解，得： 于是，得：或， ∴，． （2）移项，得， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 于是，得或， ∴，． 17．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用因式分解法解方程． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可； （2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： （3x+1）（3x-1）=0 3x+1=0，3x-1=0 ，． （2）解： （2x-1）（x-3）=0 2x-1=0，x-3=0 ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． 18．（24-25九年级上·广东湛江·期末）用因式分解法解方程： （1）x2－3x－4＝0; （2）(x－3)2－16＝0. 【答案】（1）x1＝4，x2＝－1；（2）x1＝－1，x2＝7 【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可； （2）直接利用平方差公式分解因式解方程即可． 【详解】解：（1）x2－3x－4＝0 （x-4）（x+1）=0 解得：x1=4，x2=-1； （2）(x－3)2－16＝0 （x-3+4）（x-3-4）=0 解得：x1=-1，x2=7． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 19．（24-25九年级上·天津津南·期中）用因式分解法解方程 （1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5） （2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先移项，再提取公因式分解因式，从而可得答案； （2）把方程化为：再利用平方差公式分解因式，再解方程即可. 【详解】解：（1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5） 移项得： 或 解得： （2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2 整理得： 或 解得： 【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“提公因式法，利用平方差公式分解因式”是解题的关键. 20．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）由已知方程可得两个关于的一元一次方程，解之即可得出答案； （2）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）直接开平方法求解即可； （4）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得，； （2）解：， ， 则或， 解得，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， 或， 解得，． 题型五、用指定的方法解一元二次方程 21．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解答本题的关键． （1）先将方程的常数项移到等号的右边，两边再加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可； （2）先判断方程的的值，再代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ∵ ， ∴ 22．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过移项将右边式子变形为与左边有相同因式的形式，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解． 本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧以及配方法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：，即 ， 或， 解得； （2）解：， ，即， ， ． 23．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）本题考查了解一元二次方程公式法，先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）本题考查了解一元二次方程因式分解法，先移项得到，再化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ，； （3）解： 有，，， ， ， ，； （4）解：（）， 或， ，． 24．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)（用因式分解法） (3)（用配方法）； (4)（用公式法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）用配方法解方程即可； （4）用公式法解方程即可． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ∴ ， ∴或， ∴； （3）， ∴， ， ∴， ， ， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）用指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（选用适当的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法成为解题的关键． （1）先求出，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先将含未知数的项移至等号的左边，常数项移至等号的右边，然后再运用配方法即可解答； （3）直接运用公式法求解即可； （4）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以，． （2）解：， ， ， ， ， 所以，． （3）解：， ， ， 所以，． （4）解：， ， ， ， 所以，． 题型六、用适当的方法解一元二次方程 26．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）根据配方法，可得答案； （2）根据因式分解法，可得答案． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，． 27．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法解方程即可； （2）由因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，． 28．（24-25八年级下·福建福州·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） 或 解得，． 29．（24-25八年级下·福建泉州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）先移项，然后用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 30．（2025·陕西商洛·一模）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）直接开平方法求解可得； （2）利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可； （4）对方程的左边利用提取公因式法进行因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ∴或， 解得，； （3）解：， ， ∴或， 解得，； （4）解：， ， ∴或， 解得：，． 题型七、用十字相乘法解一元二次方程 31．（24-25九年级下·全国·假期作业）用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 33．（24-25九年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）． 【详解】（1）解： ， 或， 或； （2）解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键． 34．（24-25九年级下·全国·假期作业）用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 35．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）； （2）应用：请用上述方法解方程： ①x2﹣3x﹣4＝0； ②x2﹣7x+12＝0． 【答案】（1）2，4；（2）①或；②或 【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得； （2）①利用十字相乘法将左边因式分解为后求解可得；②利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：2，4； （2）①， ， ， 则或， 解得：或， ②， ， ， 则或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法中的因式分解法． 题型八、用换元法解一元二次方程 36．（2025九年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 37．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，设，于是原方程化为，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：设，于是原方程化为， ∴， 解得，； 当时，， ∴， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 此时，方程无解， 故原方程的解为，． 38．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 39．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键．根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 40．（25-26九年级上·全国·周测）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． （1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【详解】（1） ， 则， 解得：，； （2）． ， 解得：，． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)=12，=-1； (2)=3． 【分析】（1）将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）把（x+2）看作整体，利用完全平方公式分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解：， ∴（x-12）（x+1）=0， ∴x-12=0或x+1=0， ∴=12，=-1； （2）解：， ∴， ∴， ∴x-3=0， ∴=3． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解：由， 得， ， ， ∴或 解得，． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 5．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）按要求解方程： (1)用配方法解方程： (2)用公式法解方程： (3)用适当的方法解方程： 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， 则， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴ ∴或 解得，． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解一元二次方程： (1)用因式分解法解方程； (2)用配方法解方程； (3)用公式法解方程； (4)用适当的方法解方程． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先将式子化为，再利用平方差公式将式子因式分解，进行计算即可； （2）按照配方法的步骤进行求解即可； （3）直接利用求根公式进行计算； （4）利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，； （3）解：， ， ， ，， 原一元二次方程的解为：，； （4）解：， ， 或， 解得：，， 原一元二次方程的解为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、配方法、公式法，选择合适的方法进行计算是解题的关键． 7．（2025九年级上·湖北恩施·竞赛）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先移项，利用因式分解法解方程即可； （2）使用求根公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）先移项，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 原方程可化为 ∴ 或 ， ∴，； （2） 原方程可化为 ，， ∴ ∴，． （3） ， ∴ 或 ， ∴，； （4） ∴ 或 ， ∴，． 8．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 【答案】(1)2，4（或4，2） (2)，； (3)，． 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解； （2）把看作一个整体，利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：2，4（或4，2）； （2）解：∵， 或， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 10．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解一元二次方程计算题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用直接开平方法解一元二次方程 题型二、用配方法解一元二次方程 题型三、用公式法解一元二次方程 题型四、用因式分解法解一元二次方程 题型五、用指定的方法解一元二次方程 题型六、用适当的方法解一元二次方程 题型七、用十字相乘法解一元二次方程 题型八、用换元法解一元二次方程 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用直接开平方法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程： (1)． (2)． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、用配方法解一元二次方程 6．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 7．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）用配方法解方程： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）用配方法解方程： (1)． (2)． 9．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用配方法解方程． (1) (2) 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、用公式法解一元二次方程 11．（23-24九年级上·河南许昌·期末）用公式法解方程： (1)； (2)． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列一元二次方程： (1)． (2)． 13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型四、用因式分解法解一元二次方程 16．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程: (1)； (2) 17．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用因式分解法解方程． (1) (2) 18．（24-25九年级上·广东湛江·期末）用因式分解法解方程： （1）x2－3x－4＝0; （2）(x－3)2－16＝0. 19．（24-25九年级上·天津津南·期中）用因式分解法解方程 （1）x（2x﹣5）＝2（2x﹣5） （2）4x2﹣4x+1＝（x+3）2 20．（24-25九年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型五、用指定的方法解一元二次方程 21．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 22．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）按要求解方程： (1)（因式分解法）； (2)（配方法）． 23．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)（用配方法解方程）． (3)（用公式法解方程）． (4)（）（用因式分解法）． 24．（24-25九年级上·河南南阳·开学考试）解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)（用因式分解法） (3)（用配方法）； (4)（用公式法） 25．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）用指定的方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（选用适当的方法） 题型六、用适当的方法解一元二次方程 26．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 27．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 28．（24-25八年级下·福建福州·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； 29．（24-25八年级下·福建泉州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 30．（2025·陕西商洛·一模）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七、用十字相乘法解一元二次方程 31．（24-25九年级下·全国·假期作业）用十字相乘法解方程： (1) (2) 32．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 33．（24-25九年级下·全国·课后作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)． 34．（24-25九年级下·全国·假期作业）用十字相乘法解方程 (1) (2) 35．（24-25九年级上·贵州六盘水·阶段练习）由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+____）（x+____）； （2）应用：请用上述方法解方程： ①x2﹣3x﹣4＝0； ②x2﹣7x+12＝0． 题型八、用换元法解一元二次方程 36．（2025九年级上·全国·专题练习）换元法解方程：． 37．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解方程． 38．（2025九年级上·全国·专题练习）请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 39．（2025九年级上·全国·专题练习）解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 40．（25-26九年级上·全国·周测）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 4．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）按要求解方程： (1)用配方法解方程： (2)用公式法解方程： (3)用适当的方法解方程： 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解一元二次方程： (1)用因式分解法解方程； (2)用配方法解方程； (3)用公式法解方程； (4)用适当的方法解方程． 7．（2025九年级上·湖北恩施·竞赛）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式：____________） (2)应用：请用上述方法解方程：． (3)拓展：请用上述方法解方程：． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 10．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $