集合与充要条件基础专题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合+充要条件基础综合 典例剖析 【考点一元素与集合、集合与集合的关系】 【题型一元素、集合的关系判断】 1.给出下列关系，其中正确的个数为() ①2ER;②2∈Z:③-3EN;④-V5EQ, A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列各式正确的是() A.-1={xx<2} B.[0}E[x|x<2}C.060 D.0g{0} 3.若A={=告+1，kEZ,B={=夸+，k∈Z,C={$=+,kEZ},则这三个 集合间的关系是() A.A∈B∈C B.ASCB C.C∈B∈A D.C∈A∈B 【练习】设M={xx=4k-3,k∈Z,N={xx=2k-1,kEZ,则() A.M∈N B.N∈M C.M=N D.MON-0 第1页 【题型二集合子集的个数】 4.已知集合A={xENy=是∈Z},则集合A的真子集有一个. 5.集合M满足1,2≠M二{1,2,3,4,5，则集合M的个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 【变式】满足条件{x|x2-3x+2=0}二A三{1,2,3,4,5,6}的集合A的个数为 第2页 ☒ 典例剖析 【考点二集合的运算】 (数集) 6.若集合M={x2x-1>7},N={x∈NI-1<x<7},则(CRM)nN=() A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3} D.{1,2,3} 【变式】设集合A={x是小于10的自然数3，B={g2+x-6<0},C={x忌>1}，则 An(BUC)=() A.(x-3<x<3}B.{x0≤x<3} C.{0,1,2} D.{1,2} 7.已知集合A={xx=n+青，n∈Z},B={xx=青n+,neZ},则AnB=() A.{xx=言n+吾，neZ} B.{xx=含n-,nez} C.{xx=n-a,nez} D.{xx=n+言，n∈Z} 第3页 (点集) 8.已知集合M={(xy)x+y=20},N={(xy)x-y=40},则MnN=— 【变式】已知集合A={(xy)Iy=x2+1},B={(x,y)Iy=x+1},则AnB中的元素个 数为() A.0 B.1 C.2 D.3 典例剖析 【考点三韦恩图及应用】 【题型一用韦恩图表示集合】 9.已知U=R,集合A={x-1≤x≤3}，B={x2-7x+10<0},则图中阴影部分表示的集 合为() A.(x3<x<5}B.(x3≤x<5}C.(xk≤-1或3≤x<5}D.(xk<-1或 3<x<5} 第4页 B 【变式】已知全集U={-2,-1,0,1,2,3,4},集合A={x∈Zx2-x<6}, B={-2,0,1,3},给出下列4种方式表示图中阴影部分：①{-1,2}②C(4uB③An(CuB)④ (CyA)n(CB),正确的有几个？() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知全集U={x为不大于20的质数}，A,B是U的两个子集，且A∩(CyB)={3,5}, Bn(CA)={7,19},(CuA)n(CuB)={2,17},则集合A= B= 【练习】（多选）已知全集U={o<0,x∈N},ASU,BSU,An(CuB)={1,9}, (CuA)n(CB)={4,67},AnB={3},则下列说法正确的有() A.8EB B.6 Cu(AUB)C.(2,5)EB D.A的不同子集的个数为8 第5页 【题型二容斥原理】 11.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余 的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A,B都不赞成的学生数比对A, B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A,B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人 12.某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.己知参加机器人社的有30人，参加编 程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社 和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个 社团的学生有人 【变式】已知某单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140,120,108， 同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、 篮球、羽毛球三项比赛的人数为30.三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为 () A.21 B.26 C.31 D.37 第6页 ☒ 典例剖析 【考点四充分必要条件】 【题型一充分必要条件的判断】 (定义法) 13.设x∈R,则|x-3|<2”是“2x-2>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式】已知p:m<1且m≠0，q:关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不相等实数解，则p是 9的什么条件（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (特值法) 14.设a,b∈R,则“a>b>0”是“a2>b2的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (传递法) 15.若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的() 第7页 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【题型二充分必要条件的选择】 16.下列命题中，不是“四边形是正方形的充分条件的有() A.对角线相等的菱形 B.邻边相等的矩形 C.对角线相等的平行四边形 D.有一个角是直角的菱形 17.(多选)-号<5x-3<12的一个必要条件是() A.-克<x<4B.-寺<x<2C.-3<x<克D.-1<x<6 【练习】已知p:x2一4x<0,则P成立的一个充分不必要条件是() A.-2<x<0B.0<x<2 C.0<x<4 D.1<X≤4 第8页 集合+充要条件基础综合 【考点一 元素与集合、集合与集合的关系】典例剖析 【题型一 元素、集合的关系判断】 1．给出下列关系，其中正确的个数为（   ） ①；②；③；④， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】常见集合的元素特征，判断元素与集合的关系. 【详解】：全体实数，①正确；：整数，②正确；：正整数，③错误；：有理数，④错误. 故选：B. 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 3．若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【练习】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的元素用来表示，再利用集合间的基本关系选择正确答案. 【详解】因为，所以． 故选：A. 【题型二 集合子集的个数】 4．已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【分析】利用列举法求出集合A，再利用含有个元素的集合的真子集个数公式计算即可. 【详解】集合，所以集合A的真子集个数是. 故答案为：15 5．集合满足，则集合的个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可. 【详解】因为， 则集合可以为共7个， 故选：C. 【变式】满足条件的集合的个数为 . 【答案】16 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 【考点二 集合的运算】典例剖析 （数集） 6．若集合，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，. 故选：B 【变式】设集合{是小于10的自然数}，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式可化简B，C，然后由交集，并集定义可得答案. 【详解】,则； ，则. 则，则 . 故选：C 7．已知集合，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合A，B可化为分母相同的元素，其中分子分别为除3余2整数，除2余1整数，据此可得出交集. 【详解】集合，, 所以， 故选：C （点集） 8．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解出即可得出交集. 【详解】解方程组，得，故 . 故答案为：. 【变式】已知集合，，则中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，直接求得，即可求解. 【详解】由，消整理得到，解得或， 当时，，当时，，所以， 故选：C. 【考点三 韦恩图及应用】典例剖析 【题型一 用韦恩图表示集合】 9．已知，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由图可得阴影部分表示的集合为，据此可得答案. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，易得，又， 故. 故选：A 【变式】已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 10．已知全集{为不大于20的质数}，是的两个子集，且，，，则集合 ， ． 【答案】 【分析】解法一：分析出，，，且，再讨论剩余元素11和13，得到，且，，且．得到答案； 解法二：利用韦恩图进行求解. 【详解】解法一：由题可知， 由，得，且，， 由，得，且，， 由，得，且． 下面讨论集合中剩余元素11和13． 情形一：，但，与矛盾； 情形二：，但，与矛盾； 情形三：，且，与矛盾； 情形四：，且，经检验符合题意． 同理可得，且． 综上可得． 解法二：将已知条件，，填入如图所示的Venn图， 由图可知，． 故答案为：， 【练习】（多选）已知全集，，，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的不同子集的个数为 【答案】ACD 【分析】解不等式可求得全集，作出图后，依次判断各个选项即可. 【详解】由得：，； 根据已知可作出图如下图所示， ，A正确；，B错误；，C正确； 中有个元素，的不同子集有个，D正确. 故选：ACD. 【题型二 容斥原理】 11．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人． 【答案】21和8 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用Venn图列方程求解x即可． 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 设对事件、都赞成的学生人数为，则对、都不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为，作出Venn图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对、都赞成的学生有21人，都不赞成的有人． 故答案为：21和8 12．某班学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社.已知参加机器人社的有30人，参加编程社的有25人，参加航模社的有20人；同时参加机器人社和编程社的有12人，同时参加机器人社和航模社的有10人，同时参加编程社和航模社的有8人；三个社团都参加的有5人.则至少参加一个社团的学生有 人. 【答案】50 【分析】根据题意，利用容斥原理结合集合的运算概念和运算方法，即可求解 【详解】由题意，用分别表示参加机器人社的学生、参加编程社的学生和参加航模社的学生形成的集合，则， ， 因此 . 所以至少参加一个社团的学生有50人. 故答案为：50. 【变式】某单位为丰富职工的业余生活，举办了一届职工运动会．已知该单位共有245名职工，参加乒乓球、篮球、羽毛球比赛的人数分别为140，120，108，同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为72，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数为50，同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数为30．三项比赛都不参加的人数为36，则只参加羽毛球比赛的人数为（    ） A．21 B．26 C．31 D．37 【答案】A 【分析】先设出参加不同比赛的人数，再利用容斥原理列出等式，进行求解. 【详解】设该单位共有职工人数为，， 参加比赛的人数为， 设参加乒乓球的人数为，参加篮球的人数为，参加羽毛球的人数为， 则，，， 设同时参加乒乓球、篮球比赛的人数为，同时参加篮球、羽毛球比赛的人数， 同时参加乒乓球、羽毛球比赛的人数， 则，， 设同时参加乒乓球、篮球、羽毛球三项比赛的人数，三项比赛都不参加的人数为， 则，， 则由容斥原理得， 代入相应数值得， 解得， 设只参加羽毛球比赛的人数为， 则由容斥原理得. 故选：A 【考点四 充分必要条件】典例剖析 【题型一 充分必要条件的判断】 （定义法） 13．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市重点高中协作校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【分析】先解不等式，得出两个命题所表示的解的集合的关系，再分别判断命题的充分性和必要性是否成立. 【详解】解不等式，得；解不等式，得或。 设集合，。 充分性：因为，故充分性成立； 必要性：当时，不一定成立，故必要性不成立； 综上可得“”是“”的充分而不必要条件。 故选：A。 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，注意需从充分性和必要性两个方面分别判断，属于基础题。 【变式】已知 且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考（10月）数学试题 【分析】求出命题q的等价命题，后判断命题p与q的关系即可. 【详解】因为关于x的方程有两个不相等实数解 且， 所以p是q的充要条件， 故选：C. （特值法） 14．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分，必要条件的定义判定即可. 【详解】因为，即充分性成立， 当，可知，此时不成立，即必要性不成立， 故“”是“”的是充分不必要条件. 故选：B （传递法） 15．若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【详解】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【题型二 充分必要条件的选择】 16．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 17．（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 【练习】已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $