安徽省华师联盟2026届高三上学期9月开学质量检测数学试题

绝密★启用前 2026届高三第一学期开学质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答 题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A=1.3,4.5,B=x安∈A,则AnB= A.{1,3} B.{1,5} C.{1,3,4》 D.{1,4,5} 2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(X≥3)=0.3，则P(1<X≤2)= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 A.i B.-i C.1 D.-1 4.已知双曲线C若-芳-1的渐近线方程为y=士，点(6w5)在C上则C的焦距为 A.23 B.25 C.2√6 D.2√10 5.学习小组对某水域捕鱼活动的活动量、成本和收益进行建模研究.研究发现，若捕鱼活动 量为x(>1)个单位，则捕鱼活动的收益P(r)=Y+37一36，捕鱼活动的成本Q()= kx,其中k为单位捕鱼活动的成本.捕鱼活动的利润为收益与成本之差.已知初始状态下 k=2,且当x=x。时捕鱼活动的利润最大.为改善初始状态下该水域存在的过度捕捞问 题，现通过人为干预将单位捕鱼活动的成本增加到k',使得x=x。时捕鱼活动的利润减 少到0，则k'约为 A.4.6 B.5.4 C.6.2 D.7.0 高三数学试题第1页（共4页） 6.在正方体ABCD-A1B,C1D1中，E,F分别为AB,B1C1的中点，则 A.DE⊥平面AB1C B.DE⊥平面AA1F C.DE⊥平面ACF D.DE⊥平面AD1F .已知椭圆C:置+苦-1的左焦点为E,不经过F且斜率为5的直线交C于A,B两点. 当△F1AB的周长最大时，AB= A. B.83 16 5 C. D.163 5 8.已知a=1og99100+log1o1100,b=1g(6+8a),则 A.a<2 B.b<2 C.b>a D.b<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在△ABC中，B=否，BC=2AB.向量a,b满足a十b=AC,a-b=AB,则 A.A B.a=b C.a·b=0 D.(2a-b)·BC=0 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3一x2一x,则 A.当x<0时，f(x)=x3十x2-x B.f(x)在区间（一1,1）上单调递减 C.当且仅当x>2时，f(x)>2 D.f(f(x))在区间（一1,1）上单调递减 11.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=√3，A1B1=2√3，侧面与底面A1B1C1所成二面角的 大小为日9∈(0，)小设正三棱台的各个顶点都位于球0的表面上，则 A.若tan0=2√3，则正三棱台的高为√3 B.若tan0=2√3，则球O的表面积为16π C.点O到平面ABC的距离随0的增大而增大 D.点O到平面A,B,C,的距离随0的增大先减小后增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.记等差数列{am}的前n项和为Sm,若a2十a4=6,a3十a5=2,则Sg= 13.过点(4,4)与圆x2+y2一4x=0相切的直线方程为 14.有4个相同的球，分别标有数字2,0,2,5，从中有放回地随机取4次，每次取1个球，并 记录每次取出的球上的数字作为结果.记X为结果中数字2,0,5各出现次数中的最大 值，则X的数学期望E(X)= 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤， 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=sin(ox十p)(w>0,0<g<x),直线x=于和点（爱0是f(x)图象的一 组相邻的对称轴和对称中心. (1)求f(x); (2)设函数g(x)=f(x)f(x+石，求g(x)的最小正周期、最值和单调区间. 16.(本小题满分15分) 如图所示，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，△PAB是正三角形，点C,D在⊙O上，且 CD∥AB,CD=AB. (1)证明：OC∥平面PBD; (2)设Q为PC的中点，求直线AQ与平面PBD所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(1一x2)[1+1n(1十x)],x∈[0，+oo),f(x)为f(x)的导函数. (1)讨论f(x)的单调性： (2)证明：f(x)≤x+1; (3)若f(x)≤a.x十1，求a的取值范围. 高三数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 对某热敏元件的性能进行实验测量，实验过程如下： 共进行m次实验，每次实验均测量该热敏元件的两项指标A,B.对正整数n≤m,在第n 次实验中，实验仪器显示该次实验中指标A的数值αm,以及前n次实验中指标B数值 b:(i=1,2,…,n)的总和Tm,将an,Tm作为第n次实验的记录值 用m次实验中a,b,的总和作为该热敏元件性能的度量参数，记该参数为Rm. (1)证明：R.=空(a,-a+1)T.+unT.； (2)对每次实验的记录值进行拟合，得到如下结果：，=（十1D,T。= ()利用(1)和拟合结果，求数列{Rm}的通项公式； ()判断{Rm}是递增数列还是递减数列，并说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知抛物线E:r=2py(p>0)的雅线方程为y=一点A,B,C均在E上，且直线BC 由直线AB绕点B顺时针旋转60°得到 (1)设直线AB,BC的斜率分别为k1,k2,求。 1十k1k2 (2)设点A,B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,并记m=√J3（x2十x3),证明：x3十mx2= (1-m)·x1-√3； (3)已知各项系数均为实数的一元三次方程至少有一个实数解.证明：对任意给定的点 A,存在点B,C,使得△ABC为正三角形. 高三数学试题第4页（共4页）2026届高三第一学期开学质量检测·数学 参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B B A D C B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 ABD ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一9(5分，其他结果均不得分) 13.x=4或3x-4十4=0(y=子x+1)(5分，只写出一条直线方程不得分) 1.(2引)6分，其他结果均不得分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)f(x)=sn(2x+）(2)最小正周期为受，最大值为子，最小值为-子，单调递增区间为 [经，2+D]k∈2，单调递减区间为[2牛D,生x]k∈z 4 4 2 【命题意图】本题主要考查了三角函数的图象、对称轴、对称中心、最小正周期、最值、单调区间和三角恒等变换等知识 点.将以上知识点结合考查，要求学生能够综合运用三角函数基本概念分析问题，有助于培养学生的逻辑推理能力和 运算求解能力. 【试题解析11)由题意得，4X(号一是)=二解得w=2, 所以f(x)=sin(2x十g),… …2分 所以2X号十9=变十k元，即p=-晋十km(k∈0，…4分 又因为0<g<,所以9=晋，所以f(x)=sin(2x+): …………………6分 (2)gx)=sim(2x+g）·sin(2x+2)=(-sin2x+3os2z)(-sin2x-合os2x） sim2x-子cos22x= 3 4-2c0s4x. …8分 gx)的最小正周期为经-受 …………9分 由于名cos4x∈[-，2]，所以g()的最大值为子，最小值为一子 ……11分 g(x)的单调递增区间是y=cos4x的单调递减区间，令2kπ≤4x≤(2k十1)π(k∈Z),得到g(x)的单调递增区间为 「Ξ，2+1匹](kZ.同理可得，g(x)的单调递减区间为厂2+1D江，士1Dr](kED.…13分 4 2 16.【答案】(1)详见解析(2)3@ 10 【命题意图】本题考查了立体几何中线面平行的判定定理、线面角的正弦值和空间向量在立体儿何中的应用.本题意在 考查学生的推理证明能力、空间思维、空间向量运算能力 高三数学试题参考答案第1页（共3页） 【试题解析】(1)如图，连接OD,由条件：CD=OC=OD,所以∠CDO=60°，结合CD∥AB得到∠BOD=60°，因此∠BDO =∠COD=60°，故OC∥BD,……3分 因为OC吐平面PBD,BD∈平面PBD,所以OC∥平面PBD;…5分 (2)取CD的中点E,以O为原点，O元，O店，OP的方向为x,y,之轴正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系O-xyz,设OB=1,…7分 由题设得，à-（停，是号），店=01，-).前-（停，0） 2， ………9分 设平面PBD的法向量n=(x,y,z),则 31 即x-zy=0 n·BD=0, 可取n=(1,w5,1). …11分 n·PB=0, y-√5x=0, 所以cos(A,n)=A0·n=3四 …14分 lAQ1·ln 10 因此直线AQ与平面PBD所成角的正弦值为3四 10 ……15分 17.【答案】(1)f(x)在[0，十∞)上单调递减(2)详见解析(3)[1，十∞) 【命题意图】本题考查了函数的单调性、导数运算、导数与函数的综合应用和含参数不等式的证明.强调逻辑推理能力， 要求学生能通过导数分析函数的变化趋势，推理函数性质，注重运算求解能力和转化化归能力， 【试题解析】(1)f/(x)=-2z士于2zln0+z)=1-3x一2ln1十x.…….2 记gx）=f(）,则g()=-3-2(f十h1+)小.…3分 当x∈[0，十o∞)时千十n1十)≥0，所以g(x)<0,因此f(x)在[0，十∞)上单调递减：…4分 (2)下面证明当x∈[0，十o∞)时，(1-x)(1十l(1十x)≤1.……5分 记A(x)=(1-x)1+la(1十》，则A)=-2+子三一h1十，容易看出x)在[0，十o)上单调递减，所以( ≤h'(0)=0,因此h(x)在[0，十∞)上单调递减，h(x)≤h(0)=1,…8分 又因为当x∈[0，十∞)时，1十x>0,所以f(x)=(1十x)(1-x)(1十ln(1十x)≤x十1；…9分 (3)当a≥1时，由(2)可知，f(x)≤1十x≤1十Qx,符合题意.…10分 当a≤0时，因为f(0)=1,了（号）=-号1n号<0，且由(1)有∫(x)在[0，十∞)上单调递减，因此存在∈ (0,号)使得f(x)=0,且当0≤x<时f(x)>0,当x>时f(x)<0,所以f(x)在[0，x]上单调递增，在(x, 十o)上单调递减.因此f(x0)>f(0)=1≥ax0十1，不符合题意.……………………………………………………12分 当0<a<1时，设u(x)=ln(x十1)千，则i(x)=(z中)，因此u(x)在区间[0，+o)上单调递增，故u(x)≥u(0) =0,即ln(x+1)≥ 克等号成立当且仅当x=0.记=号，则0<<分，所以fa)>0-)(1+）= (1-x1)(2x1十1)=ax1十1，不符合题意.…………14分 综上所述，Q的取值范围为[门，十∞)，…………15分 18.【答案】(1)详见解析(2)（①R。=m十6m+1山-7(i)递减数列，理由见解析 2m 【命题意图】本题考查了数列的通项公式和数列的单调性，本题难点在于根据新实际应用问题信息推理出相关数列的 通项公式，强调较强的逻辑推理能力和信息分析能力，体现出综合性、创新性和推理性. (T,n=1 【试题解析】(1)由题意得：b= 1分 Tm-Tm-1,n≥2 因此R=2a.b。=a1T十2a.(T.-Tn-)=a1T十2a.T。-2aT-1…2分 别=1 别=2 =2 别=2 高三数学试题参考答案第2页（共3页） =aT-a:T+Za,T,-SaniT. …3分 =2 =2 =a1T-a2T十aTn+∑T（ag-@t)）……………4s分 =(a,-a1)T.十aTn9…5分 (2)(dam-a+1=-2n-3,Rn=-'2n十3+m+1)2 =12 2m …6分 记s1=空22》.则8+子+2+++中， =12” 2m2 2m1, …8分 1=是++是++20+2 1 5 2m-1 2m ,…9分 两式相减得到号5.1=多+2（分+是十十2）-2”士1，化简得S.1=7-2+中， 2m 2m-1 …11分 所以Rn=m十6m十117；………………………………………………12分 (m对m∈N,R1-R。=m+1)+6(m十1)十业_m2十6m+1卫=-m-4m-4 2m+1 2 2m+1 …15分 由于-m2一4m-4=一(1十2)2<0，因此Rm+1<Rm,所以{Rm}是递减数列.…17分 19.【答案】(1)√3(2)详见解析(3)详见解析 【命题意图】本题考查了抛物线方程的求解、旋转的性质与三角恒等变换综合，考查几何问题与代数问题之间的转化和 化归能力，通过方程实根推论去分析证明问题，体现数形结合思想和逻辑的严谨性， 【试题解析】(1)设直线AB和直线BC的倾斜角分别为81,02，其中8，∈[0,90)U(90°，180)，且k,=tan8,i=1,2.… …2分 若0∈[60°，90)U(90°，150)U(150°，180°)，则9=0+60°， 所以tam(0.-)=an9二1anA=2=5。 1+tan 0 tan 0,1kk2 ………………4分 若a∈0.60).则0=a+120,所以1ama-g)=m品-=年法- 综上所述有-何6分 (2)由条件：号=，即=分，E:江2=火.7分 设A,B,C三点坐标分别为(x1y1),(x2y2),(xy),因为点A,B,C均在E上， 因此直线AB的斜率k1=二业=十，直线BC的斜率k=当二业=x十1.…9分 x1一xg x2一x3 代入(1)的结果得到x1-x3=√3十√3(x2十x3)x1十√3(x2十x3)x2=√3十mx1十m.x2,即x3十mx2=(1-m)x1-√3； ……………………………………………………………………11分 (3)若△ABC为正三角形，则直线AC由直线BC绕点C顺时针旋转60°得到，设直线BC,AC的斜率分别为k2,k:进行 与12)类似的分析，可以得到午会-疗，仍记m5十).则同理有，=十m十。…2分 x3十mx2=(1-m)x1一√5 [=千mV51-m)+x(一m+2m+1D门 由 ,解得 ,………14分 x2-mx3=(1十m)x1十√3 =中m/6(-1-m)+-m-2m+1 因此m=V5(十)=十m[-25m十（一2m+2)x],整理得到关于m的三次实系数方程： n3十23无1m2十7-25x1=0.………16分 由题意得该方程至少有一个实数根=。，代入x2,x?的表达式即可得到相应的值.因此，对于E上任意给定的点A, 存在E上的点B,C,使得△ABC为正三角形。………17分 高三数学试题参考答案第3页（共3页）2026届高三第一学期开学质量检测·数学 参考答案 题号 1 2 3 A 5 8 答案 B B A 0 C B C 0 题号 9 10 11 答案 ABD ABC ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案B 【解析】由题意得：B={1,5,7,9},故A∩B={1,5}.故选B. 2.【答案】B 【解析】由u=2得P(X≥3)=P(X≤1)，故P(1<X≤2)=P(X≤2)-P(X≤1)=0,5-0.3=0.2.故选B. 3.【答案】A 【解折1原式=（-)’-1十=i故选A 22 4.【答案】D 【解析】不妨设>0.6>0，由题有名=号，且5-是-1，解得a=3,6=1,所以半焦距c=V公于8=而，故焦距为 2√10.故选D. 5.【答案C 【解析】初始状态下，捕鱼活动的利润w()=P()一Q()=37-(x+36),由基本不等式：当x=6时W(x)取得最大 值25，即=6，人为干预后，依题意得，P()=,解得收=智≈6.2故选C 6.【答案】B 【解析】因为D2=DA+号A店，A方=AE+BC,所以D定.A市=号(AB:-|AD1)=0,即DE⊥AR.由AA ⊥平面ABCD得DE⊥AA,故DE⊥平面AAF,选项B正确.由于DE与AC不垂直，所以DE与平面AB,C和平面 ACF都不垂直，选项A,C错误.由于DE与D1F不垂直，所以DE与平面AD1F不垂直，选项D错误.故选B. 7.【答案】C 【解析】△F,AB的周长=|FA|十|F1B|十|AB引≤|FA|十FB|+|F2A|+|F2B|=8,等号成立当且仅当点A,B,F, 共线，因此当△RAB的周长最大时，直线AB的方程为y=5(x-1).联立直线AB与C的方程解得1=0，=g,所 以AB=21x-n=5.故选C 8.【答案】D 【解折】抽对数换底公式a=长四+授189=2餐918由基木不等式：e91g101<(k910)广.所以a 1g99 2 >g99+1g10>1g100=2,选项A错误.由条件得：6+8=10，结合Q>2得到6+8>6°+82=10，即10>102， 8 因此6>2，选项B错误.因为（品）广十（号》广<（品）》'+（是）》=1，所以6+8<10，即10<10，因此6<a,选项C错 误，选项D正确，故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 【解析】在△ABC中，由余弦定理：0sB=A2BCAC-令，代人BC=2AB得到AC=5AB,所以AB:十AC 2AB·BC 高三数学试题参考答案第1页（共5页） BC,即A=乏，选项A正确. 由AC.A访=0得到1a=b,选项B正确 因为A亡-AB=2b=BC,取BC的中点0，则O心=b,Aò=AC-O元=a,容易得到(a,b)=否，a·b≠0，选项C错误. (2a-b)·BC=(2a-D·2b=4a·b-2b=4a·b×号-2bP=0,选项D正确，故选ABD. 10.【答案】ABC 【解析】当x<0时，f(-x)=(-x)3-(一x)2-(-x)=-x3一x2十x,由于f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)= x3十x2一x,选项A正确. 当x>0时，f'(x)=3x2-2x-1=(3x十1)(x-1),因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增，由奇函数 的对称性知，f(x)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1,0）上单调递减，又因为f(0)=0,可得f(x)在区间(-1,1)上单调 递减，选项B正确。 由上分析可知，f(x)在(-∞，0)上的最大值为f(-1)=1<2,结合f(2)=2和f(x)在(1，十∞)上单调递增可得f(x) >2当且仅当x>2,选项C正确. 由于f(x)在区间（一1,1）上单调递减，且f(x)在(-1,1)上的值域为（一1,1），因此f(f(x)在区间(-1,1)上单调递 增，选项D错误.故选ABC. 11.【答案】ABD 【解析】设正三棱台上、下底面的中心分别为O,O2,高为h. E 过O,作AB的垂线，垂足为E,过O2作AB,的垂线，垂足为F.在直角梯形EFO2O 中，E0=,F0,=1,所以h=0O=(F0-EB0)an0=万，选项A正确， 9 对于给定的0，由上述分析可知h=anQ.容易看出点0在射线O,0,上.设0到平面 B ABC的距离为x,球O的半径为R.在△AO,O中，R=1十x2,在△AO2O中，R=4十 -,因此1+=4十-)，解得x=号(+)=+品g当an0=2厅时==疗，此时0与0，重 合，R=A1O2=2,球O的表面积为4πR=16π，选项B正确. 当tan∈(0,2√3)时，x随tan日的增大而减小，即点O到平面ABC的距离随0的增大 而减小.此时x>h,所以点0到平面ABC的距离为x一h。士an0,其随0的 增大而减小.当tan0∈[25，十o∞)时，x随tan9的增大而增大，即点0到平面ABC的A,& 距离随9的增大而增大.此时<h,所以点O到平面A,BC的距离为A一x=子an0 品。其随9的增大而增大。 综上所述，点O到平面ABC的距离随9的增大先减小后增大，点O到平面A1BC的距离同样随B的增大先减小后增 大，选项C错误，选项D正确，故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】-9 【解析】由于a十as=a2十d十a4十d=2,a2十a4=6,得到d=-2,代入a1十d十a1十3d=6得到a1=7,所以Sm=9a十 94=- 13.【答案】x=4或3x-4y+4=0 【解析】圆的标准方程为(x一2)2十y=4.若直线斜率不存在，x=4满足题意.若直线斜率存在，设为：y=k(x一4)十 4,由圆心到1的距离等于半径2可得：4二=2，解得太=子，即1：3江一4十4=0， /1+k 14.【答案)2 【解析】X的所有可能取值为2,3,4. 高三数学试题参考答案第2页（共5页） 当X=4时，若出现四次0，所有可能的取法只有1种；若出现四次5，所有可能的取法也只有1种；若出现四次2，所有 可能的取法有1+C+C+C+1=16种.所以P(X=4)=1+1+16=,9 41 =1281 当X=3时，若出现三次0，所有可能的取法有C×C=12种；若出现三次5，所有可能的取法也有12种；若出现三次 2,所有可能的取法有C×C×(1+C+C+1)=64种. 所以P(X=3)=12十12+64=1业 44 Γ32 由此得到PX=2》=1-P(X=3)-P(X=0=高 所以E0X)=2×亮+3×是+4×品-架 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案】(1)f(x)=sim(2x+)(2)最小正周期为受，最大值为是，最小值为-子，单调递增区间为 [=,②D]∈2，单调遥减区间为[2中D,+》]∈刀 4 2 【解析】1)由题意得，4X(号一登)-红，解得w=2, 所以f(x)=sin(2x十g),… …2分 所以2X牙十g=受十m,即p=-石十k(k∈Z,…4分 又因为0<g<,所以9=晋，所以)=sin(2x+要)： …6分 (2gr)=sim(2x+g）·sm(2z+）=(-sin2x+cos2x)（- 2sin2x-cos2x =im2x-cos2x=-0os2x=}-号 42C0s4.x. …8分 gx)的最小正周期为牙=受 …9分 由于分os4x∈[-之，]，所以g()的最大值为子，最小值为-十 …11分 g(x)的单调递增区间是y=cos4x的单调递减区间，令2kπ≤4x≤(2k十1)π(k∈Z),得到g(x)的单调递增区间为 -，2十1D匹](kEZ.同理可得，g()的单调递减区间为[2k+1D匹，k1Dx](kZD.…13分 2 4 4 2 16.【答案】1)详见解析(2)3 10 【解析】(1)如图，连接OD,由条件：CD=OC=OD,所以∠CDO=60°，结合CD∥AB得到∠BOD=60°，因此∠BDO= ∠COD=60,故OC∥BD.…3分 因为OC过平面PBD,BD∈平面PBD,所以OC∥平面PBD;…5分 (2)取CD的中点E,以O为原点，O龙，O,OP的方向为x,y,之轴正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系O-xy之，设OB=1,……7分 由题设得Aà-(，，)P成=01，-).励-（停，-之0）片 …9分 设平面PBD的法向量n=(x,y,z),则 n·Bd=0, 即2x2y=0, 可取n=(1W3,1). …11分 n·PB=0, y-√3x=0, 所以cos(AQ,n) AQ.n3/10 ………………14分 AQ·n 10 因此直线AQ与平面PBD所成角的正孩值为3 …15分 17.【答案】(1)f(x)在[0，十∞)上单调递减(2)详见解析(3)[1，+∞) 高三数学试题参考答案第3页（共5页） 解析】(1)f(x）=-2z士，2zn1十)三1-3x-2zn+x).…………………2分 记g(x）=f(x),则g'(x)=-3-2(千十ln(1十x)）…3分 当x∈[0，+o∞)时千十h(1十)≥0，所以g()<0,因此f（)在[0，十oo)止单调递减：…4分 (2)下面证明当x∈[0，十o∞)时，(1-x)(1十l(1十x)≤1.……5分 记4()=(1-)1+ln(1+》.则)=-2+异h1十)，容易看出x)在[0，十e)上单调递减，所以) ≤h'(0)=0,因此h(x)在[0，十o∞)上单调递减，h(x)≤h(0)=1.…8分 又因为当x∈[0，十o∞)时，1十x>0,所以f(x)=(1十x)(1一x)(1十ln(1十x)≤x十1：…9分 (3)当a≥1时，由(2)可知，f(x)≤1十x≤1十ax,符合题意.…10分 当a<0时.因为了(0)=1，了（兮）=-号n专<0，且由(1）有f(x)在[0，十∞)上单调递减，因此存在∈ (0,号)使得∫()=0，且当0≤x<时f(x)>0,当x>x时f(x)<0,所以f(x)在[0，x]上单调递增，在(x, 十∞)上单调递减.因此f(x6)>f(0)=1≥ax0十1，不符合题意.……………12分 当0<a<1时，设ax)=ln(x+1)一千则()=千，因此ux)在区间[0，+o)上单调递增，故x)≥u0) =0,即(x+1≥克等号成立当且仅当=0，记=号，则0<<分所以)>1-(+） (1一x1)(2x1十1)=ax1十1，不符合题意.…14分 综上所述，的取值范围为[1，十0∞)，……15分 18.【答案】(1)详见解析(2)(R。=m+5m+1-7(i)递减数列，理由见解析 2m (T1,n=1 【解析】(1)由题意得：bn= ……1分 （T.-Tm-1,n≥2 因此Rn=2ab.=a1T+2a.(T,-T-i)=a1T+2a.T。-2aT-1…2分 n=2 1=2 别2 =a1T-gT十2anTn-yat1T………………… =2 =2 m二 =a1T-a2T十amTn十∑Tn(an-am+1)…4分 =(am-am+1)Tm十amTm;…5分 别三1 (2)(①a.-a+1=-2m-3,R=-'2m+3)+m十1)2 =12别 2m ……6分 记51-空2n》,则51=哥+宝+号十…叶→+0中， m12” 2m1, …8分 2m-1 ,…9分 两式相减得到宁5。=会十（分+安+十）21，化简得=7-票。 1 2m-1厂 ……11分 所以尺=n十6n十11-7；……………………………12分 2分 ()对m∈N,R+1-R.=m+1)+6(m+1)+1卫-m+6m十11=二-4m-4 2m+1 2m+1 ……15分 2m 由于-m2-4m-4=-(m十2)2<0，因此Rm+1<Rnm,所以{Rm}是递减数列.…17分 19.【答案】(1)√3(2)详见解析(3)详见解析 【解析】(1)设直线AB和直线BC的倾斜角分别为01,02，其中0∈[0,90)U(90°，180)，且k:=tan0,i=1,2.… ………2分 若8∈[60°，90°)U(90°，150)U(150°，180)，则1=0十60°， 所以m一)=御品==6. …4分 高三数学试题参考答案第4页（共5页） 若0∈[0,60)，则9，=0，+120，所以tan(8-,)=an9tan=2=5. 1+tan 0 tan 1kk2 综上所述年套-何：6分 （2)由条件号即p=,E:=少…7分 设A,B,C三点坐标分别为(x1,y1),(x2y2),(xy),因为点A,B,C均在E上， 因此直线AB的斜率k1=二出=x十，直线BC的斜率k,=二出=x,十x. …9分 x1一x2 x2一T3 代入(1)的结果得到x1-x3=√3十√3(x2十x3)x1十√3(x2十x3)x2=√3十m.x1十m.x2,即x3十mx2=(1-m)x1-√3； ………1门分 (3)若△ABC为正三角形，则直线AC由直线BC绕点C顺时针旋转60得到，设直线BC,AC的斜率分别为k2,k:进行 与12)类似的分析，可以得到年会=5，仍记m=,十).则同理有-m=(1十mx+。…12分 x十mz2=(1-m)x1-√3 =5-m)+(-m+2m+1门 由 解得 ,……14分 x2-m.z3=(1+m)x1+√5 =n/5(-1-m)+(-m-2m+1 因此m=厅a,十)=[一2a十（一2m十2）]，整理得到关于加的三次实系数方程： n3十2/5x1m2十7-23x1=0.…16分 由题意得该方程至少有一个实数根=。，代入x2,x的表达式即可得到相应的值.因此，对于E上任意给定的点A, 存在E上的点B,C,使得△ABC为正三角形.…………17分 高三数学试题参考答案第5页（共5页）