5.5 一次函数的简单应用-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 5.5一次函数的简单应用 第1课时构建一次函数模型解决问题 ☑基础进阶 (2)当水池的水位达到5m时，求进水时间. 1.大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离 y/m 称为指距.根据最新人体构造学的研究成果 表明，一般情况下人的身高h(cm)是指距 d(cm)的一次函数.下表是测得的指距与身 高的一组数据： 0 1 23456x/h 指距d/cm (第3题) 20 21 22 23 身高h/cm 160 169 178 187 根据上表解决实际问题：某人的身高是 226cm,则他的指距约为 A.26.8cm 幻素能攀升 B.26.9cm 4.易错题小明参加100m短跑训练，今年1~4月 C.27.5cm 的训练成绩如下表： D.27.3cm 月 份 1 2 4 2.在某个容器内有一个小水杯，小水杯内有部 成绩/s 15.6 15.4 15.2 15 分水.现在匀速地向小水杯内注水，注满小水 杯后，继续注水，小水杯内水的高度y(cm)与 预测小明5年(60个月)后100m短跑的成 注水时间x(s)之间的关系如图所示，则至少 绩为（提示：目前100m短跑的世界纪录为 需要 9.58s) s才能把小水杯注满。 A.14.8s B.3.8s v/cm C.3s D.预测结果不可靠 5.某地旱情严重，该地的日人均用水 02 x/s (第2题) 量的变化情况如图所示.若该地当 3.一个深为6m的水池积存了少量水，现在打 月10日、15日的人均用水量分别为 开水阀进水，下表记录了2h内5个时刻的 18kg和15kg,并一直按此趋势下降.当日人 水位，其中x(h)表示进水时间，y(m)表示 均用水量低于10kg时，政府将向当地居民 水位 送水，那么政府开始送水的时间为( x/h 0 个日人均用水量/kg 0.5 1.5 2 y/m 1.5 2 2.5 3 o (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表 051015202530日期 中数据对应的点，画出这个函数的图象，构建 (第5题) 函数模型，并求出该函数的表达式 A.23日B.24日C.25日D.26日 106 第5章一次函数 6.如图所示为反映某网约车平台收取费用思维拓展 y(元)与所行驶的路程x(千米)之间的函数 8.*某工厂生产一种产品，该产品每件 关系.某次小明通过该网约车平台打车从家 的出厂价为1万元，其原料成本价 到机场共付费64元，根据图中的信息，若车 (含设备损耗等)为0.55万元，同时 速始终保持60千米/时，不考虑其他因素（红 在生产过程中平均生产一件产品会产生1吨 绿灯、堵车等)，则他从家到机场需要 废渣.为达到国家环保要求，需要对废渣进行 小时. 脱硫、脱氨等处理.现有两种方案可供选择： ↑y/元 34- 方案一：由工厂对废渣进行直接处理，每处理 1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每 13 月的设备维护及损耗费为20万元： 03 10x/千米 方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一 (第6题) 7.新考向·传统文化漏刻是我国古代的一种计 进行处理，每处理1吨废渣需付0.1万元的 时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了 处理费， 漏刻，这是我国古代人民对函数思想的创造 该产品每件的出厂价和原料成本价都相同， 性使用.小明依据漏刻的原理制作了一个简 只需根据每月的废渣处理费的高低来判断哪 单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 种方案更合适.若设工厂每月生产产品x件： h(cm)是时间t(min)的一次函数，下表是小 (1)求每种方案每月的废渣处理费y(万元) 明记录的部分数据，其中有一个h的值记录 与x(件)之间的函数表达式， 错误 (2)若300≤x≤600，则你会如何进行选择？ (3)若工厂某月生产产品500件，且选择每 t/min 1 2 月的废渣处理费低的方案，求工厂这个月生 h/cm 2.42.83.4 产这批产品的利润 (1)试判断哪一个h的值记录错误，并确定h 与t之间的函数表达式. (2)当h为8时，求t的值 107 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第2课时 一次函数与二元一次方程组 自基础进阶 (2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间 ax-y+b=0, 及客车离甲地的距离， 1.已知二元一次方程组 的解为 kx-y=0 (3)相遇后，当两车相距200km时，求客车 又行驶了多长时间. y=1, 则一次函数y=ax十b和y=kx的 图象的交点坐标为 A.(3,-1) B.(-3,1) C.(1,-3) D.(-1,3) 2.在同一平面直角坐标系中，直线y=一x十4 与y=2x十m相交于点P(3,n),则关于x, x+y-4=0, y的方程组 的解为 () 2x-y+m=0 x=-1, x=1, A. B. y=5 y=3 x=3, x=9, 幻素能攀升 C. D. y=1 y=-5 5.如图，直线y=k.x(k≠0)与直线y= 3.如果直线y=2x十3与直线y=3x一2b的交 点在x轴上，那么b的值为 3x十2在第二象限内相交于点A,直 4.一辆客车从甲地开往乙地， y/km 600轿车 线y=号r+2分别交r轴y销于5.C两点 一辆轿车从乙地开往甲地， 客车 两车同时出发，行驶xh 若3SAA0=S△c,则方程组 kx一y=0, 的 后，记客车离甲地的距离为 610x/h 2x-3y=-6 (第4题) 解为 () y1km,轿车离甲地的距离 2 为y2km,y1,y2关于x的函数图象如图 3+2 所示. 0 (1)根据图象求出y1,y2与x之间的函数表 1=kx(k≠0) 达式. (第5题) =一1 2 3 -2 4 2 D. y一3 108 第5章一次函数 6.直线y=k1x十b1(k1>0)与y=kx十b2思维拓展 (k2<0)相交于点A(一2,0)，且两直线与 8.在一条笔直的公路旁依次有A,B y轴围成的三角形的面积为4，则b1一b2的 C三个村，甲、乙两人分别从A,B 值为 两村同时出发，甲骑摩托车，乙骑 7.某校组织学生从学校出发，乘坐大巴 电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C 前往基地进行研学活动.大巴出发 村并会合.设甲、乙两人到C村的距离y 1h后，学校因事派人乘坐轿车沿相 (km),y2(km)与行驶时间x(h)之间的函数 同路线追赶.大巴行驶的速度是40km/h,轿 关系如图所示，请回答下列问题： 车行驶的速度是60km/h. (1)A,C两村间的距离为 km,a= (1)轿车出发后多少小时追上大巴？此时两 车与学校相距多少千米？ (2)求出图中点P的坐标，并解释该点所表 (2)如图，OB,AB分别表示大巴、轿车离学 示的实际意义， 校的路程s(km)与大巴行驶的时间t(h)之 (3)当乙行驶 h时，距甲10km. 间的函数关系.试求点B的坐标和AB所在 ↑y/km 12 甲 直线对应的函数表达式. 90 乙 (3)若将题干中“大巴出发1h后”改为“大 巴出发ah后”，且轿车行驶1.5h后追上大 00.5 a 3 x/h 巴，求a的值 (第8题) As/km t/h (第7题) 109限，所以<0，b≤0.所以y随x的增 大而减小.当x=一1时，y=一k+b: 当x=3时，y=3k+b.因为当一1 x3时，y的最大值与最小值的差为 5,所以一k+b一(3k+b)=5,解得 12.1把(73)代入y=ax 1 a+1,得-2a-a+1=3,解得 (2)①当a>0时，y随x的增大而增 大，则当x=2时，y有最大值2. 把x=2,y=2代人函数表达式，得 2=2a-a十1，解得a=1. ②当a<0时，y随x的增大而减小， 则当x=-1时，y有最大值2 把x=-1,y=2代人函数表达式，得 2=一a-a十1，解得a=-之 1 所以a的值为-2或1. 易错警示 忽略比例系数k的取值范围 一次函数的增减性是由比例 系数k决定的，但如果比例系数 不确定，我们要注意分类讨论：当 >0时，y随x的增大而增大，当 x取最大值时，y有最大值：当k< 0时，y随x的增大而减小，当x取 最小值时，y有最大值.切忌因不分 类讨论而出现丢解的现象， 13.(1)设1辆大货车和1辆小货车 一次可以分别运货xt和yt 3.x+4y=18, 根据题意，得 2x+6y=17, 解得4， y=1.5. 所以1辆大货车和1辆小货车一次可 以分别运货4t和1.5t. (2)设货运公司安排大货车m辆，则 安排小货车(10一m)辆. 根据题意，得4m十1.5(10-m)≥33， 解得m≥7.2. 又因为10-m≥0， 所以m≤10. 所以7.2≤m≤10. 因为m为整数， 所以m=8或9或10. 设这次运输货物的总费用为W元，则 W=130m+100(10-m)=30m+ 1000. 因为k=30>0, 所以W随m的增大而增大. 所以当m=8时，W取得最小值， 所以10-m=2. 所以当货运公司安排大货车8辆，小 货车2辆时，最节省费用. 14.(1)设购进一件A种纪念品需要 a元，购进一件B种纪念品需要b元 10a+5b=1000, 由题意，得 解得 5a+3b=550, （a=50, b=100 所以购进一件A种纪念品需要50元， 购进一件B种纪念品需要100元. (2)设该商店购进A种纪念品x件， B种纪念品y件. 由题意，得50.x+100y=4000,即x= 80-2y. 因为6y≤x≤8y, 所以8≤y≤10. 因为y为正整数， 所以y=8,9,10. 所以该商店共有3种进货方案」 (3)设总利润为W元 由题意，得W=20.x+30y=20(80一 2y)+30y=-10y+1600(8y10). 因为-100， 所以W随y的增大而减小。 所以当y=8时，W有最大值，W最大值= -10×8+1600=1520,此时x=64. 所以当购进A种纪念品64件，B种 纪念品8件时，获利最大，最大利润 是1520元. 5.5 一次函数的简单应用 第1课时构建一次函数模型 解决问题 1.D2.5 49 3.(1)函数的图象如图所示 由题意，设函数的表达式为y= kx+b. b=1, 将(0,1)，(1,2)代入，得 k+b=2, k=1, 解得 b=1. 所以该函数的表达式为y=x十1(0≤ x5). (2)因为水位达到5m, 所以y=5. 将y=5代人y=x+1,得x+1=5, 解得x=4. 所以当水位达到5m时，进水时间为 4h. ↑y/m 6 5 3 2 01 23456x/h (第3题) 4.D解析：设训练的月数为x,成绩 为ys.由表格中的数据可知，每多训 练1个月，成绩减少0.2s,所以y与 x之间是一次函数的关系.设y= k.x十b(k≠0).将x=1,y=15.6和 x=2,y=15.4分别代人，得 k+b=15.6, k=一0.2， 解得 所以 2k+b=15.4, b=15.8. y=-0.2x+15.8.当x=60时， y=一0.2×60+15.8=3.8.因为目 前100m短跑的世界纪录为9.58s, 显然答案不符合实际意义，所以预测 结果不可靠 易错警示 预测时忽视实际情况 建立函数模型对变量的变化 情况进行预测时，有时仅仅是当自 变量在某一范围内才有这种变化 规律，其相应的函数值才有意义 超出这一范围后，其预测结果往往 就不具有可靠性了，如本题易忽视 世界纪录，仅凭计算误选B. 5.B解析：设日期为x,用水量为 ykg,y与x之间的函数表达式为y= 18=10k+b, kx十b.根据题意，得 解 15=15k+b, k=-3 得 5’所以y与x之间的函数 b=24. 表达式为y=一 5x+24.当y=10 时，-子x十24=10，解得=23 根据实际情况，政府开始送水的时间 为24日 6.3 解析：当x>3时，设y与x 之间的函数表达式为y=kx十b.把 (3k+b=13, (3,13),(10,34)代人，得 (10k+b=34, 解得么=3”所以y与r之间的函数 b=4. 表达式为y=3x十4(x>3).因为 64>13,所以x>3.所以当y=64时， 3x十4=64，解得x=20.所以小明家 到机场的距离为20千米.因为车速始 终保持60千米/时，不考虑其他因素 (红绿灯、堵车等)，所以他从家到机场需 要20÷60=号小时， 7.(1)设一次函数的表达式为h= ki+b. 易知t的值每增加1，h的值就增 加0.4， 所以当t=3时，h的值记录错误. 将(1,2.4)，(2,2.8)代入h=t+b, 2.4=k+b, k=0.4, 得 解得 2.8=2k+b, b=2. 所以h=0.4t+2. (2)对于h=0.4t十2，当h=8时，8= 0.4t+2,解得t=15. 8.(1)根据题意，得方案一每月的废 渣处理费y,(万元)与x(件)之间的 函数表达式为y1=0.05.x十20. 方案二每月的废渣处理费y2(万元) 与x(件)之间的函数表达式为 y2=0.1x. (2)若y1>y2,则0.05.x+20> 0.1x,解得x<400. 所以当300≤x<400时，选择方 案二 若y1=y2,则0.05x+20=0.1x,解 得x=400. 所以当x=400时，选择哪种方案都 一样 若y1<y2,则0.05.x+20<0.1x,解 得x>400. 所以当400<x≤600时，选择方 案一 综上所述，当300≤x<400时，选择 方案二；当x=400时，选择哪种方案 都一样：当400<x≤600时，选择方 案一 (3)由(2)，可得当工厂某月生产产品 500件时，选择方案一利润较大. 因为500×(1一0.55)一(0.05× 500+20)=500×0.45-(25+20)= 180(万元)， 所以工厂这个月生产这批产品的利润 是180万元. 一方法归纳 利用一次函数解决方案 选择问题的一般步骤 (1)析：分析题意，厘清数量 关系 (2)列：列出函数表达式、不等 式（组）或方程（组） (3)求：求出不同取值时，自变 量对应的函数值的大小或函数的 最大值（最小值）. (4)选：结合实际需要选择最 佳方案.注意选择方案时，要考虑 实际问题中自变量的取值范围，尤 其要看是否为某些特殊解（如正整 数解) 第2课时一次函数与二元 一次方程组 9 1.B2.C3.-4 4.(1)设y1=kx. 将(10,600)代入，得600=10k,解得 k=60. 50 所以y1=60x(0≤x≤10). 设y2=a.x十b. 1600=b, 将(0,600)，(6,0)代入，得 0=6a+b, a=-100, 解得 b=600. 所以y2=-100x+600(0≤x≤6). {y=60z, (2)联立 (y=-100x+600, 15 解得=4 y=225. 所以当两车相遇时，此时客车行驶了 h,客车离甲地25km 4 (3)由题意，得60x一（一100x+ 600)=200,解得x=5. 因为5早-子， 所以相遇后，当两车相距200km时， 客车又行驶了k 5.C解析：由y 号x十2，可得 B(一3,0)，C(0,2),所以BO=3, OC=2.因为3S△Ao=S△，所以 3X2×3Xya=2 ×3×2,解得 以=士子又因为点A在第二象限， 所以⅓=子当y=号时，号 一 x十2，解得x=一2.所以方程组 2 (kx-y=0, x=-2, 的解为 2.x-3y=-6 y=3 6.4解析：如图，设直线y=k1x十 b,(k1>0)与y轴相交于点B,直线 y=k2x十b2(k2<0)与y轴相交于点 C,则OB=b1,OC=-b2.因为点A 的坐标为（一2,0），所以OA=2.因为 △ABC的面积为4，所以0A· OB+20A·0C=4.所以2×2· 6十×2·（一6：）=4，整理，得 b1-b2=4. y kx+b y=hx+b2 B 、A C (第6题) 7.(1)设轿车追上大巴时，轿车行驶 的时间为xh,则大巴行驶的时间为 (x+1)h 根据题意，得60.x=40(x十1)，解得 x=2. 所以60x=60×2=120. 所以轿车出发后2h追上大巴，此时 两车与学校相距120km. (2)因为轿车追上大巴时，大巴行驶 了1+2=3(h),与学校相距120km, 所以点B的坐标为(3,120). 由题意，得点A的坐标为(1,0). 设AB所在直线对应的函数表达式为 s=kt+b. 将A(1,0),B(3,120)代入，得 k+b=0, 解得 k=60, 3k+b=120, b=-60. 所以AB所在直线对应的函数表达式 为s=60t一60 (3)由题意，得40(a+1.5)=60× 1.5,解得a=4 3 8.(1)120:2.解析：由题图，易得 A,C两村间的距离为120km,甲的速 度为(120-90)÷0.5=60(km/h),则 a=120÷60=2. (2)设y1=k1x十b1(k1≠0). 将(0,120)，(0.5,90)代人， b1=120, k1=一60， 得 解得 0.5k1+b1=90, 61=120. 所以y1=-60.x+120. 设y2=k2x十b2(k2≠0). 将(0,90)，(3,0)代人， b2=90, k2=一30， 得 解得 3k2十b2=0, b2=90. 所以y2=-30.x+90. y=-60x+120, x=1, 联立 解得 y=-30x+90, (y=60. 所以点P的坐标为(1,60) 点P(1,60)表示经过1h,甲、乙两人 相遇且距C村60km. 8)号或号或. .8 解析：当0x 1时，令y1-y2=10,即-60x+ 120一（一30x+90)=10,解得x= 2 当1≤x≤2时，令y2-y1=10, 即-30.x+90-(-60.x+120)=10, 解得x=专当2<<3时，甲到达C 村，令y2=10,即-30x+90=10,解 得x=号综上所述，当乙行驶号h 或号h或号h时距甲10km 专题特训七运用分段函数 解决实际问题 1.(1)当0x100时，设y与x之 间的函数表达式为y=kx 把(100,65)代入，得65=100k, 解得k=0.65. 所以y与x之间的函数表达式为 y=0.65x. 当x>100时，设y与x之间的函数 表达式为y=a.x十b. 把(100,65)，(130,89)代人，得 100a+b=65, a=0.8, 解得 130a+b=89, b=-15 所以y与x之间的函数表达式为y 0.8x-15. (2)当x=72时，y=0.65×72=46.8, 所以若该用户某月用了72千瓦时电， 则应缴费46.8元， (3)因为该用户某月缴费105元， 所以该用户当月的用电量超过100千 瓦时. 将y=105代人y=0.8x-15, 得105=0.8x-15,解得x=150. 所以该用户当月用了150千瓦时电。 2.(1)60;4:90.解析：根据题意，得 货车的速度为60÷1=60(km/h).因 为货车行驶的时间为600÷60= 10(h),轿车往返的时间相等，所以 51 1=(10一1一1)÷2=4.所以轿车的速 度为360÷4=90(km/h): (2)当0x4时，设y=kx(k≠0). 由题图，知点(4,360)在该函数图 象上， 所以4k=360,解得k=90. 所以y=90x(0≤x≤4). 当4<x≤5时，由题图，得y= 360(4<x5). 当5<x≤9时，设y=mx十n(m≠0). 由题图，知点(5,360)，(9,0)在该函数 图象上， 5m+n=360: m=-90, 所以《 解得 (9m+n=0, =810. 所以y=-90x十810(5<x≤9). 所以轿车距其出发地的距离y(km) 与所用时间x(h)之间的函数表达式 90x(0x4), 为y=360(4<x≤5)， -90x+810(5<x9). (3)设货车出发ah时两车相距 120km. 分四种情况讨论： ①若两车相遇前相距120km,则 60a+90(a-1)=600-120,解得 a=3.8. 因为3.8一1=2.84， 所以a=3.8符合题意. ②若两车相遇后且轿车维修之前相 距120km,则60a+90(a一1)= 600+120,解得a=5.4. 因为5.4一1=4.4>4， 所以a=5.4不符合题意 ③若在轿车维修期间两车相距 120km,则60a+90×4=600+120, 解得a=6. 当a=6时，6一1=5，此时轿车刚刚维 修好，符合题意。 ④由③，知轿车刚刚维修好时，两车 相距120km. 因为轿车速度大于货车速度， 所以轿车维修好后，两车越来越近，距 离不可能是120km. 综上所述，当货车出发3.8h或6h