第2章 专题特训4 三角形中的折叠问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

方法制归纳 判断三角形为直角三角形的方法 (1)利用定义从角上判断，即 如果已知条件与角度有关，那么判 断是否有一个角为90°.若有，则是 直角三角形：若没有，则不是直角 三角形 (2)利用勾股定理的逆定理从 边上判断，即如果已知条件与边有 关，那么一般通过计算得出三边的 数量关系，看是否符合较短两边长 的平方和等于最长边长的平方.若 相等，则是直角三角形；若不相等， 则不是直角三角形。 11.(1)因为AB⊥BC, 所以AC2=AB2+BC2. 因为AB=BC, 所以AC2=2AB2 因为CD2+AD2=2AB2, 所以CD2+AD2=AC2. 所以△ACD是直角三角形，且 ∠ADC=90. 所以AD⊥CD. (2)①因为在Rt△ABC中，BC= AB=√/50， 所以AC2=100. 因为在Rt△ACD中，AD=8,CD2= AC2-AD2, 所以CD=6. 所以四边形ABCD的面积=△ABC 的面积十△AC的面积=2AB· BC+名AD·CD=2×V× V50+2×8×6=25+24=40. ②如图，过，点B作BE⊥AD,垂足为 E,过，点B作BF⊥DC,交DC的延长 线于点F,连结BD. 所以∠BEA=∠BED=∠BFC=9O°. 因为∠ADC=90°， 所以∠FBE=360°-∠ADC- ∠BED-∠BFC=90 因为∠ABC=90°， 所以∠ABC一∠CBE=∠FBE ∠CBE,即∠ABE=∠CBF 在△ABE和△CBF中， ∠ABE=∠CBF, 因为∠BEA=∠BFC, AB=CB, 所以△ABE≌△CBF(AAS). 所以BE=BF. 因为四边形ABCD的面积为49， 所以△ABD的面积+△CBD的面 积=49. 所以2AD·BE+2CD·BF=49. 1 所以2×8BE+号×6BE=40. 所以BE=7. 所以点B到AD的距离是7. B (第11题) 专题特训四三角形中的 折叠问题 1.B解析：因为AB=AC,∠A= 50,所以∠ABC=∠C=180°-50 2 65°.由折叠的性质可知，DA=DB,所 以∠DBA=∠A=50°.所以∠DBC= 65°-50°=15. 2.68° 解析：因为四边形ADFE是 长方形，所以AE∥DF,A'BD'C.所 以∠1=∠BD'C=∠D'CF=44°.由 折叠的性质可知，∠DCB=∠D'CB, 所以2∠DCB+∠D'CF=180°.所以 ∠DCB=68. 3.20°解析：设∠A=x°.因为点E 在AD的垂直平分线上，所以AE= DE.所以∠ADE=∠A=x°.因为 ∠BED是△ADE的一个外角，所以 ∠BED=∠A+∠ADE=x°+x°= 2x°.由折叠的性质，得∠C= ∠BED=2.x°.因为∠A+∠ABC+ ∠C=180°，所以x+120+2x=180, 解得x=20.所以∠A=20. 26 4.47°解析：由折叠的性质，得 ∠ADE=∠ODE,∠AED=∠OED, ∠OFE=∠BFE,∠OEF=∠BEF. 因为∠AED+∠OED+∠OEF+ ∠BEPF=18O°，所以∠AED+∠BEP= 90°.因为∠ADE+∠ODE+∠CDO= 180°，∠OFE+∠BFE+∠CFO= 180°，∠CD0+∠CFO=86°，所以 ∠ADE+∠ODE+∠OFE+∠BFE= 360°-86°=274°.所以∠ADE+ ∠BFE=137°.因为∠A+∠ADE+ ∠AED=180°，∠B+∠BFE+ ∠BEF=180°，所以∠A+∠B= 360°-90°-137°=133°.所以∠C= 180°-（∠A+∠B)=180°-133°=47. 5.如图，连结OB. 因为∠BAC=54°，AB的垂直平分线 DO交∠BAC的平分线AO于点O, 所以0A=OB,∠0AB=2∠BAC=2T. 所以∠ABO=∠OAB=27°. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB=7(180 ∠BAC)=63. 所以∠1=∠ABC-∠ABO=63°- 27=36. 因为AB=AC,AO平分∠BAC, 所以易得OA垂直平分BC. 所以OB=OC. 所以∠1=∠2=36. 由折叠的性质，得EO=EC 所以∠2=∠3=36， 所以∠OEC=180°-∠2-∠3= 180°-36°-36°=108° .2C E (第5题) 6.C解析：由折叠的性质可知， DE=AD,∠A=∠E,∠ACD= ∠ECD.因为CD是Rt△ABC斜边 上的中线，所以CD=BD=AD.所以 ∠A=∠ACD=∠ECD.因为 ∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°. 所以∠E+∠B=90°.因为CE恰好 与BD垂直，所以∠ECB+∠B=90°. 所以∠ECB=∠E=∠A.所以 ∠ECB=∠ACD=∠ECD.所以 ∠ECB=∠ACD=∠ECD=9 3 30°.所以易得∠B=∠CDB ∠DCB=60°.所以△BCD是等边三 角形.所以BD=BC=AD=2.所以 DE=AD=2. 7.B解析：因为在△ACB中， ∠ACB=90°，所以AC2+BC2= AB2.所以AB=√82+62=10(cm). 由折叠的性质，得BD=AB=10cm, 所以CD=BD-BC=2cm. 8.A解析：连结AC.因为四边形 ABCD是长方形，AD=3,所以∠B= 90°，BC=AD=3.因为AB=2,所以 AC=AB2+BC2=2+32=13.因为 AC>0,所以AC=√13.由折叠的性 质，得AB=AB=2.易知当A,B',C 三点在同一条直线上时，CB'的长取 得最小值，此时CB'=AC-AB'= √3-2，即CB长的最小值为√3-2. 9.(1)因为BE=x,BC=8, 所以EC=8一x. 因为，点E在边AB的垂直平分线上， 所以AE=BE=x. 因为AC=6, 所以在Rt△AEC中，由勾股定理，得 AE2=EC2+AC2,即x2=(8-x)2+ 6,解得x=25 41 (2)如图，因为AC=6,BC=8,∠C 90°， 所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=62+82=100. 又因为AB>0, 所以AB=10. 由折叠的性质，可知△AFC2△AE℃， 所以∠AC'E=∠ACE=90°，AC'= AC=6,EC'=EC=8-z. 所以BC'=AB-AC'=10-6=4. 所以在Rt△BEC'中，由勾股定理，得 BE2=BC2+EC2,即x2=42+(8- x)2,解得x=5. B (第9题) 一方法归纳 解决折叠问题的一般方法 解决折叠问题时，可以根据轴 对称的性质，寻找在折叠图形的过 程中所形成的相等的角和相等的 边，挖掘出图形中的全等三角形， 得出其他相等的边或角，再根据勾 股定理建立等量关系式，用含有 表示待求线段的长的未知数来表 示相关线段的长，列出方程即可解 决问题」 10.36解析：连结BF.由折叠的性 质可知，BE=EF.因为BE=EC,所 以BE=EC=EF.所以∠EBF= ∠EFB,∠EFC=∠C.所以易得 ∠EFB+∠EFC=∠EBF+∠C= 90°，即∠BFC=90°.所以BF⊥AC. 因为BE=EC=5,CF=6,所以BC= 10.所以BF=√10-6=8.因为 AF=3,所以AC=3+6=9.所以 Sar=专AC·BF=号×9X8=36, 11.设AE=x,则DE=4一x. 由折叠的性质，得∠EBD=∠DBC. 因为四边形ABCD为长方形， 所以AB=CD=2,AD∥BC 所以∠EDB=∠DBC. 所以∠EDB=∠EBD. 所以BE=DE=4一x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE2=AB2+AE2,即(4一x)2=22+ 3 x2,解得x= 27 所以A迟=多 所以△ABE的面积=？AB·AE= 2-21 2.8直角三角形全等的判定 1.D2.B3.55°4.10cm 5.因为BE⊥AC,CF⊥AB, 所以∠BFD=∠CED=90°. 在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, 因为∠BDF=∠CDE, BD=CD, 所以△BDF≌△CDE(AAS). 所以DF=DE. 又因为CF⊥AB,BE⊥AC, 所以AD平分∠BAC. 6.C解析：因为AD⊥BC,所以 ∠BDF=∠ADC=90°.在Rt△BDF (BF=AC, 和Rt△ADC中，因为 所 DF=DC, 以Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).所以 ∠DBF=∠2，BD=AD.因为∠ADB= 90°，所以∠DBA=∠DAB=45°.所 以∠1+∠2=∠1+∠DBF= ∠DBA=45,即∠1与∠2的度数之 和为45° 7.5解析：如图，以AC为边，C为 顶点作∠ACD=∠ACB,延长BA与 CD交于点D,则∠BCD=2∠ACB. 因为3∠ABE十∠ACB=45,所以 ∠ABE+2∠ACB=90°，即∠ABE+ ∠BCD=90°.所以∠D=90°.所以 AD⊥DC.又因为AE⊥BC,CA平分 ∠BCD,所以AE=AD.在Rt△AEC AC=AC, 和Rt△ADC中，因为{ 所以 AE-AD, Rt△AEC≌Rt△ADC(HL,).所以 CD=CE=8.因为Sa=2AB·拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 专题特训四！ 三角 类型一与折叠有关的角度计算 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=50°，将 其折叠，使点A与点B重合，折痕为ED,点 E,D分别在AB,AC上，那么∠DBC的度 数为 () D B4 C (第1题) A.10° B.15 C.20° D.309 2.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形， 重叠部分是一个三角形，BC为折痕.若 ∠1=44°，则∠DCB的度数为 A (第2题) 3.如图，在△ABC中，∠ABC=120°，D为AC 上一点，AD的垂直平分线交AB于点E.将 △CBD沿着BD折叠，点C恰好和，点E重 合，则∠A的度数为 C、D A B E (第3题) 4.如图，将△ABC沿DE,EF翻折，顶点A,B 均落在点O处，且EA与EB重合于线段 EO.若∠CDO+∠CFO=86°，则∠C的度数 为 A2-- --B E (第4题) 52 形中的折叠问题 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 54°，AB的垂直平分线DO交∠BAC 的平分线AO于点O,交AB于点 D.将△ABC折叠使点C与点O重合，折痕 EF分别与AC,BC相交于点F,E,连结 CO.求∠OEC的度数 (第5题) 类型二与折叠有关的线段计算 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2, ∠A<∠B,沿△ABC的中线CD将△CDA 折叠，使点A落在点E处.若CE恰好与BD 垂直，则线段DE的长为 () A.√3B.23C.2 D.1 ------3B (第6题) (第7题) 7.如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°， AC=6cm,BC=8cm,将边AB翻折，使点 A落在边BC延长线上的点D处，折痕为 BE,则CD的长为 () A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 8.如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=3, E是边BC上的一点，将△ABE沿AE折叠， 使点B落在点B'处，连结CB',则CB'长的 最小值为 (第8题) A.√/13-2 B.√/13+2 C.√13-3 D.1 9.*如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,E为边BC上的一个动点，连结AE, 设BE=x. (1)当点E在边AB的垂直平分线上时，求 x的值 (2)当将△ACE沿AE折叠，点C落在边 AB上时，求x的值 B E C (第9题) 第2章特殊三角形 类型三与折叠有关的面积计算 10.如图，在三角形纸片ABC中，点 D,E分别在边AB,BC上，把纸片 沿直线DE折叠，点B落在边AC 上的点F处，若BE=EC=5,CF=6,AF= 3,则△ABC的面积是 B -“E (第10题) 11.如图，在长方形ABCD中，BC=4,CD=2. 将△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在 点C处，BC'交AD于点E,求△ABE的 面积 C (第11题) 53