第2章 专题特训3 等腰三角形的分类讨论及有关的计算与证明-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

6.B解析：因为△ABC是等边三角 形，所以∠BAE=60°，AB=AC.在 [AB=AC, △ABE和△ACD中，因为∠1=∠2， BE=CD, 所以△ABE≌△ACD(SAS).所以 AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°.所 以△ADE是等边三角形. 7.18解析：因为BD平分∠ABC, CD平分∠ACB,所以∠ABD= ∠DBC,∠ACD=∠DCB.因为EF∥ BC,所以∠EDB=∠DBC,∠FDC= ∠DCB.所以∠ABD=∠EDB, ∠ACD=∠FDC.所以EB=ED, DF=CF.所以△AEF的周长为 AE+EF+AF=AE+ED+DF+ AF-AE+EB+CF+AF=AB+ AC.因为△ABC的周长为25，所以 AC=25-AB-BC=25-10-7=8. 所以△AEF的周长为AB+AC= 10+8=18. 8.过点D作DG∥AC,交BC于 点G 所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. 在△GDF和△CEF中， ∠GDF=∠E, 因为DF=EF, ∠DFG=∠EFC 所以△GDF≌△CEF(ASA). 所以GD=CE. 因为BD=CE, 所以BD=GD. 所以∠B=∠DGB. 所以∠B=∠ACB. 所以AB=AC. 所以△ABC是等腰三角形. 9.BE=EF+CF 理由：因为BP平分∠ABC,CP平分 ∠ACD, 所以∠ABP=∠PBD,∠ACP= ∠PCD. 因为EF∥BC, 所以∠EPB=∠PBD,∠EPC= ∠PCD 所以∠ABP=∠EPB,∠ACP= ∠EPC. 所以BE=PE,CF=PF」 因为PE=EF+PF, 所以BE=EF+CF. 10.(1)因为BD=BC,∠DBC=60°， 所以△DBC是等边三角形. 所以∠BDC=6O°，DB=DC=BC. 在△ADB和△ADC中， AB=AC. 因为AD=AD, DB=DC, 所以△ADB≌△ADC(SSS) 所以∠ADB=∠ADC: 1 所以∠ADC=∠ADB=2(360°- ∠BDC)=150° (2)△ABE是等边三角形 因为∠ABE=∠DBC=60°， 所以易得∠ABD=∠EBC. 在△ABD和△EBC中 ∠ADB=∠ECB=150°， 因为BD=BC, ∠ABD=∠EBC, 所以△ABD≌△EBC(ASA) 所以AB=EB. 因为∠ABE=60°， 所以△ABE是等边三角形. 11.(1)因为△ADE和△ABC都是 等边三角形， 所以AE=AD,AB=AC,∠EAD= ∠BAC=60°. 所以∠EAD-∠BAD=∠BAC- ∠BAD,即∠EAB=∠DAC. 在△AEB和△ADC中， (AE=AD, 因为∠EAB=∠DAC, AB-AC, 所以△AEB≌△ADC(SAS). 所以BE=CD. (2)△AMN是等边三角形， 因为△AEB≌△ADC, 所以∠AEM=∠ADN,BE=CD. 因为M,N分别是BE,CD的中点， 19 所以EM=2BE,DN=2CD. 所以EM=DN 在△AEM和△ADN中， AE-AD, 因为∠AEM=∠ADN, EM-DN, 所以△AEM≌△ADN(SAS) 所以AM=AN,∠EAM=∠DAN. 因为∠EAD=60°， 所以∠EAM+∠MAD=60° 所以∠DAN+∠MAD=∠MAN=6O°. 所以△AMN是等边三角形， 方法归纳 等边三角形判定方法的选择 (1)若已知三边关系，则考虑 用“三条边都相等的三角形是等边 三角形”来判定 (2)若已知三角关系，则考虑 用“三个角都相等的三角形是等边 三角形”来判定 (3)若已知该三角形是等腰三 角形，则考虑用“有一个角是60°的 等腰三角形是等边三角形”来判定 专题特训三等腰 三角形的分类讨论 及有关的计算与证明 1.D解析：因为2a一3b+5+ (2a+3b-13)2=0,|2a-36+5|≥ 0,(2a+3b-13)2≥0，所以 2a-3b+5=0, a=2, 解得 分两种 2a+3b-13=0, b=3. 情况讨论：①当a为底边长时，三角 形的三边长为2,3,3.因为2+3>3， 所以能构成三角形，此时周长为2+ 3+3=8.②当b为底边长时，三角形 的三边长为2,2,3.因为2+2>3，所 以能构成三角形，此时周长为2+2+ 3=7.综上所述，此等腰三角形的周长 为7或8. 2.(1)设底边长为a,则腰长为 2.5a. 因为等腰三角形的周长为30， 所以2.5a+2.5a+a=30,解得 a=5. 所以2.5a=12.5. 所以等腰三角形的三边长分别为5， 12.5,12.5. (2)分两种情况讨论： ①当等腰三角形的底边长为6时，腰 长=(30-6)÷2=12. 因为6+12>12， 所以能构成三角形 ②当等腰三角形的腰长为6时，底边 长=30-2×6=18. 因为6+6<18， 所以不能构成三角形 综上所述，等腰三角形其他两边的长 分别为12,12. 3.AB=AC=2x cm,BC=y cm. 因为BD是边AC上的中线， 所以AD-CD=7AC=xm 由边AC上的中线BD将△ABC的 周长分为24cm和30cm的两部分可 知，分两种情况讨论： 2.x+x=24, x=8, ① 解得 x+y=30, {y=22. 所以AB=AC=16cm,BC=22cm, 能构成三角形 (2x+x=30, x=10, ② 解得 x+y=24, y=14. 所以AB=AC=20cm,BC=14cm, 能构成三角形 综上所述，△ABC的三边长分别是 16 cm,16 cm,22 cm20 cm,20 cm, 14cm. 方法归纳 解决求等腰三角形边长 问题的一般方法 解决求等腰三角形边长的问 题时，若未明确腰长和底边长，则 常需要先分情况讨论，然后看它们 是否满足三边关系，如果不满足三 边关系，那么需将结果舍去， 4.D解析：分两种情况讨论：如图 ①，当∠A为锐角时，因为AB=AC, CD为边AB上的高线，所以∠B ∠ACB,∠CDB=90°.又因为△ADC 是等腰三角形，所以∠DAC= ∠DCA=45°.所以∠B=∠ACB 2×(180°-45)=67,5，所吻 ∠BCD=∠ACB-∠DCA=67.5° 45°=22.5°.如图②，当∠BAC为钝角 时，因为AB=AC,CD为边AB上的 高线，所以∠B=∠ACB,∠CDB= 90°.又因为△ADC是等腰三角形，所 以∠DAC=∠DCA=45°.因为∠B+ ∠ACB=∠DAC,所以∠B= ∠ACB=∠DAC=X45- 22.5°.所以∠BCD=∠ACB+ ∠DCA=22.5°十45°=67.5°.综上所 述，∠BCD的度数为22.5或67.5. ① D B∠ ② (第4题) 5.20或120°解析：因为两个内角 的度数之比为1：4，所以可设一个角 的度数为x°，则另一个角的度数为 4x°.分两种情况讨论：①若最小的角 是顶角，即顶角的度数为x°，则x十 4x+4x=180,解得x=20.所以顶角 的度数为20°.②若最小的角为底角， 即底角的度数为x,顶角的度数为 4x°，所以x十x+4x=180,解得x= 30.所以4x=120.所以顶角的度数为 120°.综上所述，顶角的度数为20° 或120°， 6.70或20°解析：如图①，当∠A 为锐角时，因为边AB的垂直平分线 与边AC所在的直线相交所得的锐角 的度数为50°，所以∠A=40°.因为 AB=AC,所以∠B=7(180 20 ∠A)=号×(180-40)=70.如图 ②，当∠BAC为钝角时，因为边AB 的垂直平分线与边AC所在的直线相 交所得的锐角的度数为50°，所以 ∠1=40°.因为AB=AC,所以∠B= ∠C.因为∠B+∠C=∠1，所以 ∠B=∠C=7∠1=20，综上所述， ∠B的度数为70或20° ① ② (第6题) 7.因为等腰三角形ABC为“特异三 角形”， 所以被“特异线”分割成的两个等腰三 角形中有一个必须以△ABC的一腰 为底边，不妨设被这条“特异线”分割 成的一个等腰三角形以AB为底边. 因为等腰三角形ABC顶角的大小不 确定， 所以分三种情况讨论： ①当顶角∠BAC为锐角时，设 ∠BAC=x°. 易知“特异线”不可能经过△ABC的 顶点A, 所以不妨设这条“特异线”为BD,此时 AD=BD,则∠ABD=∠BAC=x°. 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD=2.x. 因为等腰三角形BCD的底边不可能 为BC, 所以底边为CD或BD 如图①，若CD为底边，则BC=BD. 所以∠C=∠BDC=2x°. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C=2.x」 所以x+2.x+2.x=180,解得x=36. 所以∠A=36. 如图②，若BD为底边，则BC=CD 所以∠CBD=∠BDC=2.x 所以∠C=∠ABC=∠ABD+ ∠CBD=3.x 所以z十3x十x=180,解得x-1 所以∠BAC ( ②如图③，当顶角∠BAC为直角时， ∠C=∠B=45°，“特异线”为斜边上 的高线AD,符合题意. ③当顶角∠BAC为钝角时，设∠B= ∠C=y°. 易知“特异线”必须经过△ABC的顶 点A, 如图④，不妨设AD为△ABC的“特 异线”，此时AD=BD,则∠B= ∠BAD=y°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD= 2y°≠∠C. 因为△ADC为等腰三角形， 所以∠DAC=∠ADC或∠DAC=∠C. 若∠DAC=∠ADC=2y°，则 ∠BAC=∠BAD+∠DAC=3y. 所以y+3y+y=180,解得y=36. 所以∠BAC=3X36=108°. 若∠DAC=∠C=y°，则∠BAC ∠BAD+∠DAC=2y°. 所以y+2y+y=180,解得y=45. 所以∠BAC=2×45°=90°（不合题 意，舍去 综上所述，∠BAC的度数为36°或 (1)或90或108. D ④ (第7题) 8.由题意，得AP=2tcm,OQ= t cm. 如图①，当点P在线段AO上，即0< t<5时， 因为∠BOC=60, 所以∠AOC=180°-60°=120°」 所以当△POQ是等腰三角形时，只能 有OP=OQ. 因为AO=10cm, 所以OP=AO-AP=(10-2t)cm. 所以10-2=1，解得1=3 10 如图②，当点P在射线OB上，即t> 5时， 因为∠BO℃=60°，△POQ是等腰三 角形， 所以△POQ是等边三角形. 所以OQ=OP. 因为AO=10cm, 所以OP=AP-AO=(2t-10)cm. 所以2t一10=t,解得t=10 综上所述，当1=号或10时，△0Q 是等腰三角形 a 0 P60 0 60 0 ② (第8题) 9.分三种情况讨论： ①如图①，当OA=OP时， 因为∠AOB=30°，OA=OP, 1 所以∠OAP=∠OPA=2X(180°- 30°)=75° ②如图②，当AO=AP时， 21 因为∠AOB=30°，AO=AP 所以∠APO=∠AOB=30°. 所以∠OAP=180°-∠AOB ∠AP0=180°-30°-30°=120°. ③如图③，当△ABP是等腰三角 形时， 因为∠ABM=60°， 所以△ABP是等边三角形. 所以∠APB=60 因为∠AOB=30°， 所以∠OAP=180°-∠AOB ∠AP0=180°-30°-60°=90° 综上所述，当∠OAP=75°或120°或 90时，以点A,O,B中的任意两，点和 P为顶点的三角形是等腰三角形 M ③ (第9题) 方法归纳 常见的等腰三角形的 分类讨论问题 (1)当没有指明腰和底边时 必须进行分类讨论 (2)当顶角和底角不确定时 必须进行分类讨论 (3)当高线的位置不确定时 必须进行分类讨论. (4)由腰的垂直平分线引起的 分类讨论」 (5)由腰上的中线引起的分类 讨论 同时还要注意检验求出的角 度（边）必须满足三角形的内角和 定理（三角形的三边关系），拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 专题特训三 等腰三角形的分类讨论及有关的 计算与证明 类型一按边进行分类 类型二按角进行分类 1.已知a,b是等腰三角形的两边长，且a,b满 4.在△ABC中，AB=AC,CD为边AB上的高 足|2a-3b+5|+(2a+3b一13)2=0，则此 线，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD的度 等腰三角形的周长为 () 数为 () A.8B.6或8C.7 D.7或8 A.67.5 B.22.5° 2.已知一个等腰三角形的周长为30. C.45° D.22.5°或67.5 (1)若腰长是底边长的2.5倍，求各边的长. 5.已知一个等腰三角形的两个内角的度数之比 (2)若其中一边长为6，求其他两边的长。 为1：4，则这个等腰三角形的顶角的度数为 6.在△ABC中，AB=AC,边AB的垂 直平分线与边AC所在的直线相交 所得的锐角的度数为50°，则∠B= 7.新考法·新定义题先阅读材料，再解决问题： 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等 腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的 “特异线”，称这个三角形为“特异三角形”， 已知在等腰三角形ABC中，AB=AC.若 3.*如图，在△ABC中，AB=AC,边AC上的 △ABC为“特异三角形”，请求出∠BAC的 中线BD将△ABC的周长分为24cm和 度数 30cm的两部分.求△ABC的三边长， (第3题) 42 第2章特殊三角形 类型三运动过程中等腰三角形的分类讨论 9.★如图，P是射线BM上一动点（不 8.如图，∠BO℃=60°，A是BO的延长线上的 与点B重合)，点O在BM的反向 一点，AO=10cm,动点P从点A出发，沿 延长线上，∠AOB=30°，∠ABM= AB以2cm/s的速度运动，动点Q从点O出 60°.当∠OAP的度数为多少时，以点A,O, 发，沿O℃以1cm/s的速度运动.如果点P, B中的任意两点和P为顶点的三角形是等 Q同时出发，设运动的时间为ts,那么当t为 腰三角形？ 何值时，△POQ是等腰三角形？ O B P Q (第9题) P 60 A B (第8题) 43