2.8 直角三角形全等的判定-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.8直角三角形全等的判定 自基础进阶 5.如图，CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,且 1.如图，∠C=∠D=90°，添加下列条件： CF,BE相交于点D,BD=CD,连结AD.求 ①AC=AD;②∠ABC=∠ABD;③BC= 证：AD平分∠BAC. BD.其中，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全 等的条件的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 (第5题) D (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB,交 AB,BC于点D,E,且AD=AC,连结AE, 若∠B=28°，则∠AEC的度数为 () A.28 B.59° C.60° D.62 3.新情境·日常生活如图，有两个长度相同的滑 梯靠在一面竖直的墙上.已知左边滑梯BC 竖直方向上的高度AC与右边滑梯EF水平 方向上的长度DF相等，滑梯BC与地面的 幻素能攀升 夹角∠ABC=35°，测滑梯EF与地面的夹角 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 ∠DFE的度数为 D,E为AC上一点，连结BE,交 AD于点F.若BF=AC,DF= DC,则∠1与∠2的度数之和为 B D A35° B.409 C.45°D.50° (第3题) 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD 平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E 若AB=10cm,则△DEB的周长是 (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，高线AE交BC于点E. 若？∠ABE+∠ACB=45,CE=8,△ABC (第4题) 的面积为20，则AB的长为 54 第2章特殊三角形 8.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与思维拓展 △ABC的外角∠ACE的平分线交于点P, 10.学习了全等三角形的判定方法后 PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线 我们知道“已知两边和其中一边所 于点H,连结AP.求证：AP平分∠HAD. 对的角分别相等的两个三角形不 一定全等”，但在下列两种情形下还是可以 得出两个三角形全等的 D月 (1)第一种情形（如图①）：在△ABC和 E △DEF中，若∠C=∠F=90°，AC=DF, (第8题) AB=DE,则根据 ,即可得出 △ABC≌△DEF. (2)第二种情形（如图②）：在△ABC和 △DEF中，∠C=∠F(∠C和∠F均为钝 角)，AC=DF,AB=DE.求证：△ABC≌ △DEF. ① ② 9.*如图，AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E, (第10题) CF⊥AD,交AD的延长线于点F,BC=CD. (1)求证：△BCE≌△DCF. (2)若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求 AC的长. (第9题) 55上的中线，所以CD=BD=AD.所以 ∠A=∠ACD=∠ECD.因为 ∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°. 所以∠E+∠B=90°.因为CE恰好 与BD垂直，所以∠ECB+∠B=90°. 所以∠ECB=∠E=∠A.所以 ∠ECB=∠ACD=∠ECD.所以 ∠ECB=∠ACD=∠ECD=9 3 30°.所以易得∠B=∠CDB ∠DCB=60°.所以△BCD是等边三 角形.所以BD=BC=AD=2.所以 DE=AD=2. 7.B解析：因为在△ACB中， ∠ACB=90°，所以AC2+BC2= AB2.所以AB=√82+62=10(cm). 由折叠的性质，得BD=AB=10cm, 所以CD=BD-BC=2cm. 8.A解析：连结AC.因为四边形 ABCD是长方形，AD=3,所以∠B= 90°，BC=AD=3.因为AB=2,所以 AC=AB2+BC2=2+32=13.因为 AC>0,所以AC=√13.由折叠的性 质，得AB=AB=2.易知当A,B',C 三点在同一条直线上时，CB'的长取 得最小值，此时CB'=AC-AB'= √3-2，即CB长的最小值为√3-2. 9.(1)因为BE=x,BC=8, 所以EC=8一x. 因为，点E在边AB的垂直平分线上， 所以AE=BE=x. 因为AC=6, 所以在Rt△AEC中，由勾股定理，得 AE2=EC2+AC2,即x2=(8-x)2+ 6,解得x=25 41 (2)如图，因为AC=6,BC=8,∠C 90°， 所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=62+82=100. 又因为AB>0, 所以AB=10. 由折叠的性质，可知△AFC2△AE℃， 所以∠AC'E=∠ACE=90°，AC'= AC=6,EC'=EC=8-z. 所以BC'=AB-AC'=10-6=4. 所以在Rt△BEC'中，由勾股定理，得 BE2=BC2+EC2,即x2=42+(8- x)2,解得x=5. B (第9题) 一方法归纳 解决折叠问题的一般方法 解决折叠问题时，可以根据轴 对称的性质，寻找在折叠图形的过 程中所形成的相等的角和相等的 边，挖掘出图形中的全等三角形， 得出其他相等的边或角，再根据勾 股定理建立等量关系式，用含有 表示待求线段的长的未知数来表 示相关线段的长，列出方程即可解 决问题」 10.36解析：连结BF.由折叠的性 质可知，BE=EF.因为BE=EC,所 以BE=EC=EF.所以∠EBF= ∠EFB,∠EFC=∠C.所以易得 ∠EFB+∠EFC=∠EBF+∠C= 90°，即∠BFC=90°.所以BF⊥AC. 因为BE=EC=5,CF=6,所以BC= 10.所以BF=√10-6=8.因为 AF=3,所以AC=3+6=9.所以 Sar=专AC·BF=号×9X8=36, 11.设AE=x,则DE=4一x. 由折叠的性质，得∠EBD=∠DBC. 因为四边形ABCD为长方形， 所以AB=CD=2,AD∥BC 所以∠EDB=∠DBC. 所以∠EDB=∠EBD. 所以BE=DE=4一x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 BE2=AB2+AE2,即(4一x)2=22+ 3 x2,解得x= 27 所以A迟=多 所以△ABE的面积=？AB·AE= 2-21 2.8直角三角形全等的判定 1.D2.B3.55°4.10cm 5.因为BE⊥AC,CF⊥AB, 所以∠BFD=∠CED=90°. 在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, 因为∠BDF=∠CDE, BD=CD, 所以△BDF≌△CDE(AAS). 所以DF=DE. 又因为CF⊥AB,BE⊥AC, 所以AD平分∠BAC. 6.C解析：因为AD⊥BC,所以 ∠BDF=∠ADC=90°.在Rt△BDF (BF=AC, 和Rt△ADC中，因为 所 DF=DC, 以Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).所以 ∠DBF=∠2，BD=AD.因为∠ADB= 90°，所以∠DBA=∠DAB=45°.所 以∠1+∠2=∠1+∠DBF= ∠DBA=45,即∠1与∠2的度数之 和为45° 7.5解析：如图，以AC为边，C为 顶点作∠ACD=∠ACB,延长BA与 CD交于点D,则∠BCD=2∠ACB. 因为3∠ABE十∠ACB=45,所以 ∠ABE+2∠ACB=90°，即∠ABE+ ∠BCD=90°.所以∠D=90°.所以 AD⊥DC.又因为AE⊥BC,CA平分 ∠BCD,所以AE=AD.在Rt△AEC AC=AC, 和Rt△ADC中，因为{ 所以 AE-AD, Rt△AEC≌Rt△ADC(HL,).所以 CD=CE=8.因为Sa=2AB· CD=7ABX8=20,所以AB=5 B E (第7题) 8.过点P作PF⊥BE于点F. 因为BP平分∠ABC,PH⊥BA, PF⊥BE, 所以PH=PF. 因为CP平分∠ACE,PD⊥AC, PF⊥CE, 所以PD=PF. 所以PD=PH. 又因为PH⊥BA,PD⊥AC, 所以AP平分∠HAD. 9.(1)因为AC平分∠BAD,CE⊥ AB,CF⊥AD, 所以∠CEB=∠F=90°，CE=CF. 在Rt△BCE和Rt△DCF中， BC=DC, 因为 CE=CF, 所以Rt△BCE≌Rt△DCF(HL). (2)由(1)，得Rt△BCE≌Rt△DCF, 所以BE=DF. 设BE=DF=x. 在Rt△AFC和Rt△AEC中， AC=AC, 因为 CF=CE, 所以Rt△AFC≌Rt△AEC(HI). 所以AF=AE,即AD+DF= AB-BE. 因为AB=21,AD=9,BE=DF=x, 所以9十x=21一x,解得x=6. 所以DF=6,则AF=9+6=15. 因为在Rt△DCF中，DF=6, CD=10, 所以CF2=CD2-DF2=64. 又因为CF>0, 所以CF=8. 所以在Rt△AFC中，AC2=CF2+ AF2=82+152=289. 又因为AC>0, 所以AC=17. 方法归纳 判定直角三角形全等的 “四种思路” (1)若已知条件中有一组斜边 和一组直角边分别相等，则用 “HL”来判定 (2)若有一组锐角和一组斜边 分别相等，则用“AAS”来判定. (3)若有一组锐角和一组直角 边分别相等，①直角边是锐角的对 边，则用“AAS”来判定：②直角边 是锐角的邻边，则用“ASA”来 判定 (4)若有两组直角边分别相 等，则用“SAS”来判定. 10.(1)HL (2)如图，过，点A作AG⊥BC,交BC 的延长线于点G,过点D作DH⊥ EF,交EF的延长线于点H,则 ∠G=∠H=90°. 因为∠BCA=∠EFD, 所以∠ACG=∠DFH. 在△ACG和△DFH中， ∠G=∠H, 因为{∠ACG=∠DFH, AC=DF, 所以△ACG≌△DFH(AAS). 所以AG=DH. 在Rt△ABG和Rt△DEH中， (AB=DE, 因为 AG=DH, 所以Rt△ABG≌Rt△DEH(HL). 所以∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中， |∠ACB=∠DFE, 因为{∠B=∠E AB=DE, 所以△ABC≌△DEF(AAS). D B C GE H (第10题) 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例172解析：因为△AOB与 28 △COB关于边OB所在的直线成轴 对称，所以∠A=∠C=20°，∠ABO= ∠CBO.因为∠BOD=∠A+∠ABO, 所以∠ABO=∠BOD-∠A=46° 20°=26°.所以∠ABD=2∠ABO= 52°.所以∠ADC=∠A十∠ABD= 20°+52°=72. 方法归纳 利用轴对称的性质 求角度的方法 如果一个图形与另一个图形 关于某一条直线成轴对称，那么根 据轴对称的性质，可知这两个图形 全等，故它们的对应元素都相等， 利用这个结论可得对应角、对应边 相等，再结合等腰三角形的性质、 三角形的内角和定理、三角形的外 角性质等知识就可求出未知角的 度数 [变式]D解析：因为四边形 BEFD是以DE所在直线为对称轴的 轴对称图形，所以∠BED=∠DEF. 因为四边形CFDE是以FE所在直线 为对称轴的轴对称图形，所以∠EDF= ∠C=40°，∠DEF=∠CEF.所以 ∠BED=∠DEF=∠CEF.因为点E 在BC上，所以∠BED+∠DEF+ ∠CEP=180.所以∠DpF=180=60 3 在△DEF中，∠DFE=18O°-∠DEF ∠EDF=180°-60°-40°=80°. 典例2(1)因为ADBC, 所以∠ADC=∠DCB. 因为CD平分∠ACB, 所以∠ACD=∠DCB. 所以∠ADC=∠ACD. 所以AD=AC. 因为AB=AC, 所以AD=AB, 所以△ABD是等腰三角形 (2)设∠ADC=x,则∠ADC= ∠ACD=∠DCB=x. 所以∠ACB=2.x. 因为AB=AC,