2.8 《直角三角形全等的判定》小节复习题 2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

2.8 《直角三角形全等的判定》小节复习题 【题型1 添加条件使三角形全等】 1.如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2.如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 3.如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 4.如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【题型2 证明直角三角形全等】 1.如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 2.如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 3.如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 4.如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】 1.如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 2.如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 3.如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 4.如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】 1.如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 2.如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 3.如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】 1.如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 2.如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 3.如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 4.如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】 1.如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 2.如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 3.如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 4.如图，于点D，于，交于，,求证： 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 1.如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 2.如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 3.如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 4.将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 1.如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 2.已知：如图，，，，垂足分别为，，且．求证：． 3.已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 4.如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 参考答案 【题型1 添加条件使三角形全等】 1.D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 2. 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在 和中， ， ， 故答案为： ． 3.A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 4. 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 【题型2 证明直角三角形全等】 1.证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 2.证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ． 3.证明：、， 在和中， ， 4.证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型3 利用HL及全等的性质求线段长度】 1.（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 2.解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 3.2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 4.（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 【题型4 利用HL及全等的性质求角度】 1.（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 2.C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 【详解】解： ，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 3.B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 4.（1）解：证明： ，， ， 在和中 ； （2）解：， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， ． 【题型5 利用HL及全等的性质证明线段相等】 1.证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 2.证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3.证明：， ， 即， 在和中，，， ， ， ． 4.（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴． 【题型6 利用HL及全等的性质证明角度相等】 1.证明：、分别是两个钝角和的高， 且，， ， ， ， ． 2.证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3.（1）证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 4.证明：于，于， ， ∵， ， ， ， ， ． 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 1.（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 3.（1）补全图形如图所示： （2），理由如下： 如图，连接，并延长交于点，过点作于，于， ， ， 是的中点， ， 又， ， ，， 将线段沿所在直线翻折， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， ． 4.证明：（1）如图，连接BF， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下： 如图，连接BF， 由旋转和全等可知：，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【题型8 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 1.（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 2.证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3.（1）证明： 是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 4.解：． 理由如下： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $