2.8 直角三角形全等的判定-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拓展与培优 50 2.8 直角三角形全等的判定 一、旋转中运用“HL” 例1 把正方形ABCD 绕着点A,按顺时针方向旋 转得到正方形AEFG,边FG 与BC 交于点 H,如 图,试问线段 HG 与线段HB 相等吗? 请先观察猜 想,然后再说明你的猜想. 点拨:利用旋转的特性找到对应的边,再利用 “HL”定理证全等即可得证. 二、下滑中运用“HL” 例2 有一个Rt△ABC,∠C=90°,AC=16,BC= 8,一条线段MN=AB,点M,N 分别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线AP 上运动,问点 M 运动到 什么位置,才能使△ABC 和△AMN 全等? 点拨:由于题目中没有告知全等三角形确定对 应关系,再加上点的运动的不确定性,所以解答本 题需分类讨论. 变式练习 如图,一根长为2a 的木棍AB 斜靠在与 地面OM 垂直的墙ON 上,设木棍的中点为点P.若 木棍的A 端沿墙下滑,且B 端沿地面向右滑行,请 问木棍在滑动过程中,点P 到点O 的距离是否发生 变化? 并说明理由. 一、夯实基础 1.如图,AC⊥BC,DB⊥BC,垂足分别为点C, B,AB=DC,则判定△ABC≌△DCB 的依据是 ( ) A.SAS B.AAS C.SSS D.HL 2.使两个直角三角形全等的条件是 ( ) A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.斜边和一条直角边对应相等 3.如图,在△ABC 和△ABD 中,∠C=∠D= 90°,若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则可以添 加的条件是 . 4.如图,在等边三角形ABC 中,DE⊥BC,EF ⊥AC,FD⊥AB,垂足分别是点E,F,D.若AD= BE=CF.求证:△DEF 是等边三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数学 八年级上册 51 二、拓展提升 5.如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点, ∠CAD=∠CBD=15°,E 为AD 延长线上的一点, 且CE=CA. (1)求证:DE 平分∠BDC; (2)若点M 在DE 上,且DC=DM,求证:ME =BD. 6.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=CF,求证: AE=AF. 7.如图,CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直 线,CA=CB,点E,F 是直线CD 上两点,且∠BEC =∠CFA=∠α.若直线CD 经过∠BCA 的内部,且 点E,F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: (1)如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,问EF= BE-AF,成立吗? 说明理由. (2)如图2,将(1)中的已知条件改成∠BCA= 60°,∠α=120°,问EF=BE-AF 仍成立吗? 说明 理由. 图1 图2 8.小刚设计了一个玩具模型,如图所示,其中 AB=AC,CD⊥AB 于点D,BE⊥AC 于点E,CD, BE 相交于点O,为了使图形美观,小刚希望AO 恰 好平分∠BAC,他的这个愿望能实现吗? 请你帮他 说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8.(1)a2+b2<c2 (2)略 9.(1)6 (2) 75 16 10.(1)△ABC 的面积为 7 2. (2)① ②8 (3)31 2.7 探索勾股定理(2) 【典型例题】 例1 90° 变式练习1 90° 例2 略 变式练习2 160 3 例3 6.5 变式练习3 135° 【巩固练习】 1.D 2.D 3.D 4.D 5.45° 6.3 7. 48 5 8.13800m 2 9.(1)n2-1 2n n2+1 (2)是直角三 角形,因为(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2 10.2 11.150° 12.(1)6 12 (2)6秒或 12 5 秒 13.(1)证明:∵∠DBE= 1 2∠ABC , ∴∠ABD+∠CBE=∠DBE= 1 2∠ABC , ∵△ABE'由△CBE 旋转而成, ∴BE=BE',∠ABE'=∠CBE, ∴∠DBE'=∠DBE, 在△DBE 与△DBE'中, BE=BE' ∠DBE=∠DBE' BD=BD ì î í ï ï ïï , ∴△DBE≌△DBE'. ∴DE=DE'. (2)证明:如图所示,把△CBE 逆时针旋 转90°,连结DE', ∵BA=BC,∠ABC=90°, ∴∠BAC=∠BCE=45°, ∴图形旋转后点C 与点A 重合,CE 与 AE 重合, ∴AE'=EC, ∴∠E'AB=∠BCE=45°, ∴∠DAE'=90°, 在Rt△ADE'中, DE'2=AE'2+AD2. ∵AE'=EC, ∴DE'2=EC2+AD2. 同(1)可得DE=DE'. ∴DE'2=AD2+EC2. ∴DE2=AD2+EC2. 2.8 直角三角形全等的判定 【典型例题】 例1 解:通过观察与分析,可以判断 HG =HB. 理由如下: 连结AH, ∵四边形ABCD,AEFG 都是正方形, ∴∠B=∠G=90°. 由题意知AG=AB, 而AH=AH, ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL). ∴HG=HB. 例2 解:①当点M 运动到AC 的中点时, 即AM=8时,如图①, 由AM=8=CB,MN=BA, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·61· ∴Rt△MAN≌Rt△BCA(HL); 图① 图② ②当点M 运动到与C 点重合时, 即AM=16时, 如图②,由AM=16=CA,MN=AB, ∴Rt△MAN≌Rt△ACB(HL). 变式练习 OP 的长度没有发生变化.理由: 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半. 【巩固练习】 1.D 2.D 3.AC=AD 或BC=BD 4.证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°. 又∵DE⊥BC,EF⊥AC, ∴∠DEB=∠EFC=90°, 且∠FEC=∠EDB=30°, ∴∠DEF=60°. 在Rt△BDE 和Rt△CEF 中, ∵ ∠B = ∠C,BE = CF,∠DEB =∠EFC, ∴Rt△BDE≌Rt△CEF,∴DE=EF. ∴△DEF 是等边三角形(有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形). 5.证明:(1)∵△ABC 为等腰直角三角 形,∠CAD=∠CBD=15°, ∴AC=BC, ∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°. ∴DA=DB,∠ADB=120°, 又DC=DC, ∴△ACD≌△BCD. ∴∠ACD=∠BCD=45°. ∴∠CDB=∠CDA=∠180°-15°-45° =120°=∠ADB. ∴∠BDE=∠CDE=180°-120°=60°. ∴DE 平分∠BDC. (2)连结CM,如图. ∵DC=DM, ∠CDM=60°. ∴△CDM 为等边三角形. ∴∠BDC=∠EMC=120°. ∵EC=CA,∠CAD=∠CBD, ∴∠E=∠DBC, ∴△BDC≌△EMC, ∴ME=BD. 6.连结 AD,先证△BED≌△CFD,再 证△AED≌△AFD. 7.(1)成立,证明如下: ∵∠BCA=90°, ∴∠BCE+∠ACF=90°, ∵∠BEC=∠CFA=α=90°, ∴∠ACF+∠CAF=90°, ∴∠BCE=∠CAF, ∵ ∠BEC=∠CFA=90°, ∠BCE=∠CAF, BC=CA, ì î í ï ï ïï ∴△BEC≌△CFA, ∴BE=CF,CE=AF, ∴EF=CF-CE=BE-AF. (2)成立,证明如下: ∵∠BCA=60°, ∴∠BCE+∠FCA=60°, ∵∠BEC=∠CFA=120°, ∴∠FCA+∠FAC=60°, ∴∠BCE=∠CAF. ∵∠BEC=∠CFA, ∠BCE=∠CAF,BC=CA, ∴△BCE≌△CAF, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·71· ∴BE=CF,CE=AF, ∴EF=CF-CE=BE-AF. 8.能实现. 理由:∵AB=AC, ∠AEB=∠ADC=90°, ∠BAE=∠CAD, ∴△ABE≌△ACD. ∴AD=AE. ∵AO=AO, ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), ∴∠DAO=∠EAO. 专题拓展 勾股定理的实际应用 【夯实基础】 1.B 2.A 3.15 4.13 5.540 【典型例题】 例1 能装进行李箱,理由略 变式练习1 11≤a≤12 例2 15厘米 变式练习2 6 13厘米 变式练习3 A 例3 7200元 变式练习4 OM=15米 MN=2米 【巩固练习】 1.A 2.B 3.B 4.15 5.30 6.30cm 或10 41cm 7.180m2 8.8m 9.10km 10.7米 420元 11.(1)能,办法略 (2) 垂直 微探究 角平分线的性质 【典型例题】 例1 提示:证△CDF≌△EDB(SAS). 变式练习1 提示:过点D 作DG⊥BC,垂足 为G,作 DH⊥AB,垂足为 H,证△DGC≌ △DHA(HL). 变式练习2 提示:过点D 作DF⊥AB,垂足 为F,作DG⊥BC,垂足为G,过点E 作EH ⊥AB,垂足为 H,先证△AEH≌△CDG,再 证△EHK≌△DFK. 例2 提示:过点P 分别作PD⊥BC,PE⊥ AC,PF⊥AB,先说明 PE=PF,进而说明 AP 平分∠BAC. 变式练习3 50° 变式练习4 45° 【巩固练习】 1.D 2.A 3.B 4.B 5.2 6.2 7.(1)4cm (2)略 8.(1)AB=AC+CD,提示:在AB 上截 取AE=AC. (2)CD=AB+AC,提示:在AE 上截取 AG=AC. 9.(1)∠1=90°- 1 2 ∠EDC=90°- 1 2 (180°-∠1-∠2)= 1 2∠1+ 1 2∠2 ,化简 可得∠1=∠2. (2)提示:延长DB 至F,使得BF=BD, 连结 AF.证△ADB≌△AFB,再证△AED ≌△ACF. 10.(1)120° (2)成立,证明略 (3)EF =DF,提示:在 AC 上截取AG=AE,连结 FG,先 证 △AEF ≌ △AGF,再 证 △FGC ≌△FDC. 专题拓展 与角平分线和垂直平 分线相关的问题 【夯实基础】 1.C 2.B 3.45° 4.①③ 【典型例题】 例1 证明:连结BD,CD, ∵点D 是∠BAC 的平分线上的一点, DG⊥AB,DH⊥AC, ∴DG=DH. ∵点D 是BC 的垂直平分线上的一点, ∴DB=DC. ∴Rt△BGD≌Rt△CHD, ∴BG=CH. 变式练习1 提示:延长DB 至E,使得BE= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·81·