2.7 探索勾股定理-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.7探索 自基础进阶 1.如图，涂色部分是一个长方形，则它的面积是 () A.14 cm2 B.16 cm2 C.18 cm2 D.20 cm2 A B 8cm 入2cm 6cm E K---D (第1题) (第3题) 2.以下列各组线段为边，则能构成直角三角形 的是 () A.1 cm,2 cm,3 cm B.2 cm,6 cm,3 cm C.1 cm,2 cm,3 cm D.2 cm,3 cm,4 cm 3.如图，笑笑将一张白纸（尺寸为210mm× 297mm,AC>AB)剪去一个直角三角形后， 量得CF=90mm,BE=137mm,则剪去的 直角三角形的斜边长为 4.如图，每个小正方形的边长均是1，我们可以 得到小正方形的面积为1. (1)如图①，求涂色正方形的面积，并根据面 积求正方形的边长. (2)如图②，在4×4的正方形网格中，由(1) 中的解题思路和方法，设计一个画出长为 √10的线段的方案，并说明理由 ① ② (第4题) 50 勾股定理 幻素能攀升 5.如图，在四边形ABCD中，∠DAB ∠BCD=90°，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，面 积分别为S1,S2,S3,S4.若S1=48,S2十S3= 135,则S4的值为 () S C S S2 4 5. B (第5题) A.183 B.87 C.119D.81 6.★新情境·日常生活如图，有一只摆钟，将摆锤 看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直 高度DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时， 它离底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与 静止位置时的水平距离BC=l0cm,则钟摆 AD的长度是 () (第6题) A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm 7.如图，在一块四边形空地ABCD中植草皮， 测得AB=3m,BC=4m,AD=13m,CD= 12m,且∠B=90°.若每平方米草皮需要200元， 则需要投入 () B (第7题) A.16800元 B.7200元 C.5100元 D.无法确定 8.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均 为1.如果网格内的△PAB的顶点均在格点 上，那么∠PAB+∠PBA的度数是 (第8题) 9.如图所示为一个推车的简化结构示意图.质 检人员测得AB=2dm,BC=8dm,CD= 16dm,AD=18dm,其中AC与CD之间由 一个固定为90°的零件连结（即∠ACD 90°).按照设计要求需满足AB⊥BC,请你帮 质检人员判断该推车是否符合设计要求，并 说明理由 D A B (第9题) 第2章特殊三角形 10.*如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10, D是线段AB上一点，BD=6,CD=8. (1)求证：CD⊥AB. (2)求△ABC的周长 D (第10题) 思维拓展 11.(2023·金华东阳期中)如图，在四 边形ABCD中，AB⊥BC,AB= BC,CD2+AD2=2AB2. (1)求证：AD⊥CD (2)已知AB=√50，AD=8.求： ①四边形ABCD的面积 ②点B到AD的距离. B D (第11题) 5厨理由：如图②，延长FD至点F',使 DF'=DF,连结BF',EF' 因为D为Rt△ABC的斜边BC的 中点， 所以BD=CD 在△BDF'和△CDF中， BD=CD, 因为∠BDF'=∠CDF, DF'=DF, 所以△BDF'≌△CDF(SAS). 所以BF'=CF,∠DBF'=∠C. 又因为∠CBA+∠C=90°， 所以∠CBA+∠DBF'=90°，即 ∠EBF'=90. 所以△EBF'是以EF‘为斜边的直角 三角形，即BE,EF',BF这三条线段 能构成直角三角形 因为DE⊥DF,DF=DF',即DE垂 直平分FF', 所以EF'=EF. 又因为BF'=CF, 所以BE,EF,CF这三条线段能构成 直角三角形. ① ② (第12题) 2.7探索勾股定理 1.D2.C3.200mm 4.(1)如图①. 根据勾股定理，得AB2=AE2+ BE2=12+22=5. 所以涂色正方形的面积=AB2=5,则 正方形的边长为5 (2)作法不唯一，如图②，线段GH即 为所求作。 理由：如图②，根据勾股定理，得 GH2=MH+GM=12+32=10. 因为GH>0, 所以GH=√/10. M H ① ② (第4题) 5.B解析：连结BD.因为∠DAB= ∠BCD=90°，所以AB2+AD2 BD,BC2+CD=BD.所以AB+ AD2=BC2十CD2.所以S1+S4= S2+S3.所以S4=135-48=87. 6.C解析：设AB=AD=xcm.根 据题意可知，BC∥EF,CE⊥EF, BF⊥EF,BF=8cm,所以CE= BF=8cm.所以AC=AD+DE CE=x+6-8=(x-2)cm.在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以 AB2=AC2+BC2,即x2=(x-2)2+ 10,解得x=26.所以钟摆AD的长 度是26cm. 方法归纳 利用勾股定理构建方程模型 勾股定理中含有等量关系，在 几何问题的求解过程中，可以利 用勾股定理构建方程模型，通过解 方程求线段的长度，从而使问题得 到解决。 7.B解析：连结AC.因为AB= 3 m,BC =4 m,AD=13 m,CD= 12m,∠B=90°，所以AC2=AB2+ BC2=32+42=25(m).因为AC>0, 所以AC=5m.因为AD2-CD2= 132-122=25(m2),所以AD2 CD=AC2.所以△DAC为直角三角 形，且∠ACD=90°.所以S国边无AxD S△Ae+Sae-=号AB·BC十 2CD·AC=7×3×4+×12× 25 5=36(m2).所以需要投入200×36= 7200(元) 8.45°解析：如图，延长AP到点C, 使AP=PC,连结BC,易知，点C在网 格的格点上.因为AP2=PC2=1十 2=5,BC2=12+22=5,BP2=12+ 3=10,所以PC=BC,PC2+BC2= BP.所以△PCB是等腰直角三角 形，且∠PCB=90°.所以∠CPB= ∠CBP=45°.所以∠PAB+∠PBA= ∠CPB=45 (第8题) 9.该推车符合设计要求 理由：因为∠ACD=90°，CD=16dm, AD=18 dm, 所以AC2=AD2-CD2=68dm2. 因为AB=2dm,BC=8dm, 所以AB2+BC2=68dm2. 所以AB2+BC2=AC2. 所以△ABC是直角三角形，且 ∠ABC=90°. 所以AB⊥BC: 所以该推车符合设计要求， 10.(1)因为在△BDC中，BC=10, BD=6,CD=8, 所以BD2+CD2=62+82=100=BC2. 所以△BDC是直角三角形，且 ∠BDC=90°. 所以CD⊥AB. (2)因为CD⊥AB 所以△ADC是直角三角形 所以AD2+CD2=AC. 因为AC=AB=AD+6, 所以AD+82=(AD+6)2. 以A0-子 所以AC=6+号-罗 所以△ABC的周长为AB+AC+ c-++10- 方法制归纳 判断三角形为直角三角形的方法 (1)利用定义从角上判断，即 如果已知条件与角度有关，那么判 断是否有一个角为90°.若有，则是 直角三角形：若没有，则不是直角 三角形 (2)利用勾股定理的逆定理从 边上判断，即如果已知条件与边有 关，那么一般通过计算得出三边的 数量关系，看是否符合较短两边长 的平方和等于最长边长的平方.若 相等，则是直角三角形；若不相等， 则不是直角三角形。 11.(1)因为AB⊥BC, 所以AC2=AB2+BC2. 因为AB=BC, 所以AC2=2AB2 因为CD2+AD2=2AB2, 所以CD2+AD2=AC2. 所以△ACD是直角三角形，且 ∠ADC=90. 所以AD⊥CD. (2)①因为在Rt△ABC中，BC= AB=√/50， 所以AC2=100. 因为在Rt△ACD中，AD=8,CD2= AC2-AD2, 所以CD=6. 所以四边形ABCD的面积=△ABC 的面积十△AC的面积=2AB· BC+名AD·CD=2×V× V50+2×8×6=25+24=40. ②如图，过，点B作BE⊥AD,垂足为 E,过，点B作BF⊥DC,交DC的延长 线于点F,连结BD. 所以∠BEA=∠BED=∠BFC=9O°. 因为∠ADC=90°， 所以∠FBE=360°-∠ADC- ∠BED-∠BFC=90 因为∠ABC=90°， 所以∠ABC一∠CBE=∠FBE ∠CBE,即∠ABE=∠CBF 在△ABE和△CBF中， ∠ABE=∠CBF, 因为∠BEA=∠BFC, AB=CB, 所以△ABE≌△CBF(AAS). 所以BE=BF. 因为四边形ABCD的面积为49， 所以△ABD的面积+△CBD的面 积=49. 所以2AD·BE+2CD·BF=49. 1 所以2×8BE+号×6BE=40. 所以BE=7. 所以点B到AD的距离是7. B (第11题) 专题特训四三角形中的 折叠问题 1.B解析：因为AB=AC,∠A= 50,所以∠ABC=∠C=180°-50 2 65°.由折叠的性质可知，DA=DB,所 以∠DBA=∠A=50°.所以∠DBC= 65°-50°=15. 2.68° 解析：因为四边形ADFE是 长方形，所以AE∥DF,A'BD'C.所 以∠1=∠BD'C=∠D'CF=44°.由 折叠的性质可知，∠DCB=∠D'CB, 所以2∠DCB+∠D'CF=180°.所以 ∠DCB=68. 3.20°解析：设∠A=x°.因为点E 在AD的垂直平分线上，所以AE= DE.所以∠ADE=∠A=x°.因为 ∠BED是△ADE的一个外角，所以 ∠BED=∠A+∠ADE=x°+x°= 2x°.由折叠的性质，得∠C= ∠BED=2.x°.因为∠A+∠ABC+ ∠C=180°，所以x+120+2x=180, 解得x=20.所以∠A=20. 26 4.47°解析：由折叠的性质，得 ∠ADE=∠ODE,∠AED=∠OED, ∠OFE=∠BFE,∠OEF=∠BEF. 因为∠AED+∠OED+∠OEF+ ∠BEPF=18O°，所以∠AED+∠BEP= 90°.因为∠ADE+∠ODE+∠CDO= 180°，∠OFE+∠BFE+∠CFO= 180°，∠CD0+∠CFO=86°，所以 ∠ADE+∠ODE+∠OFE+∠BFE= 360°-86°=274°.所以∠ADE+ ∠BFE=137°.因为∠A+∠ADE+ ∠AED=180°，∠B+∠BFE+ ∠BEF=180°，所以∠A+∠B= 360°-90°-137°=133°.所以∠C= 180°-（∠A+∠B)=180°-133°=47. 5.如图，连结OB. 因为∠BAC=54°，AB的垂直平分线 DO交∠BAC的平分线AO于点O, 所以0A=OB,∠0AB=2∠BAC=2T. 所以∠ABO=∠OAB=27°. 因为AB=AC, 所以∠ABC=∠ACB=7(180 ∠BAC)=63. 所以∠1=∠ABC-∠ABO=63°- 27=36. 因为AB=AC,AO平分∠BAC, 所以易得OA垂直平分BC. 所以OB=OC. 所以∠1=∠2=36. 由折叠的性质，得EO=EC 所以∠2=∠3=36， 所以∠OEC=180°-∠2-∠3= 180°-36°-36°=108° .2C E (第5题) 6.C解析：由折叠的性质可知， DE=AD,∠A=∠E,∠ACD= ∠ECD.因为CD是Rt△ABC斜边