第12讲 勾股定理逆定理（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂））讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第12讲 勾股定理逆定理（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断三边能否构成直角三角形 典型例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 典型例题三 在网格中判断直角三角形 典型例题四 利用勾股定理的逆定理求长度 典型例题五 利用勾股定理的逆定理求角度 典型例题六 利用勾股定理的逆定理求面积 典型例题七 勾股定理逆定理的实际应用 典型例题八 勾股定理逆定理的拓展问题 知识点01 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法． 利用勾股定理的逆定理判断选项的正确性． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，可以构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】解：如图： ，， △ABC形状为直角三角形 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了在网格中判断直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【即时训练】 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【典型例题一 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·河南许昌·期末）下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（   ） A．1.5，2，3 B．，2， C．4，5，6 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足两较短边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解∶A．∵，不符合构成直角三角形的条件， ∴选项A不符合题意； B．∵，不符合构成直角三角形的条件， ∴选项B不符合题意； C．∵，不符合构成直角三角形的条件， ∴选项C不符合题意； D．∵，符合构成直角三角形的条件， ∴选项D符合题意； 故选∶D． 【例2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是超市的儿童玩具购物车侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，点到直线的距离，根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，设点C到的距离是，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解： 在中，， ∴为直角三角形，边所对的角是直角； 设点C到的距离是， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：D． 【例3】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，即可得出边上的高． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∵， ， 是直角三角形， ， ∴边上的高为8． 故答案为：8． 【例4】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 【答案】20 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， 在中，由勾股定理得， ∴的长度为． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，） 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)48厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）在中，根据正切的定义求出，结合三角形外角的性质求出，过H作于M，在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：在中，， 又， ∴， ∵， ∴， 过H作于M， ∴（厘米）， 即点H到地面的高度为48厘米． 【典型例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理．根据题意，画出图即可，见详解． 【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是， A.点时，，此项不符合题意； B.点时，，此项不符合题意； C.点时，如图，不是直角三角，符合题意； D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意； 故选：C．    【例2】（2025·河北承德·模拟预测）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答． 【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图 符合条件的格点C的个数是6个 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【例3】（24-25八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 1．（24-25八年级上·天津南开·阶段练习）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ∴是直角三角形， 如图，设内切圆的半径为r，则， ∴， ∴，解得：， ∴的面积为，内切圆的面积为， ∴小鸟落在花圃上的概率为． 故选A． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，根据直角三角形和等腰三角形的定义作图即可． （1）根据题意作符合要求的直角三角形即可； （2）根据题意作符合要求的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：即为所求（答案不唯一）； （2）解：即为所求（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，． ①当时，则 ； ②在图中的网格区域内找一点，使，且四边形被过点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则点坐标为 （要求：写出点坐标，画出过点的分割线并指出分割线，不必说明理由，不写画法） 【答案】 ，见解析 【分析】①先利用勾股定理分别计算三边长，再利用勾股定理的逆定理可得∠FGE＝90°； ②利用网格、勾股定理及其逆定理先找出符合∠FPE＝90°的点P，然后作直线PM，证明△PFB≌△PME（SSS），可得直线PM将四边形分割成两部分后，可以拼成一个正方形，进而得出答案． 【详解】解：①如图1，连接EF， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴∠FGE＝90°， 故答案为：90°； ②点P位置如图2，根据勾股定理得：，， ∴， ∴∠FPE＝90°， 过点P作PM⊥OE于M，PB⊥y轴于点B， 由网格可得PB＝PM＝7，BF＝ME＝1，PF＝EF＝， ∴△PFB≌△PME（SSS）， ∵PB＝BO＝OM＝MP＝7，∠BOM＝90°， ∴四边形PBOM是正方形， ∴直线PM将四边形分割成两部分后，可以拼成一个正方形，P 点坐标为（7，7），PM是分割线； 故答案为：（7，7）． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键． 【典型例题三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过平行线的性质可得，，则，通过勾股定理的求得、、的长度，再根据勾股定理的逆定理确定的形状，即可求解． 【详解】解：连接，找到格点，连接，如下图：    由题意可得： ∴， ∴ 由勾股定理可得：，， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴即 故选A 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据题意画出符合条件的图形即可求解． 【详解】解：如图所示： 则满足条件的格点Q有4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是根据题意画出正确的图形． 【例3】（2025·北京石景山·模拟预测）如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为 ． 【答案】90 【分析】连，通过计算三边、、长度，得到三边满足勾股定理，得到即为旋转角． 【详解】连接， ，， 中 为直角三角形，为旋转角， 故答案为． 【点睛】本题考查通过勾股逆定理求目标角度，找准旋转角，找到疑似直角三角形进行边长关系的计算是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．） 【答案】能 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】由题意得 ∴ ∴能构成直角三角形 故答案为：能． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，四边形的顶点均在格点上． (1)求线段的长； (2)请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，熟练运用股沟定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）取格点，则点即为所作，利用勾股定理逆定理说明即可． 【详解】（1）解：如图，取格点 则， 在中：； （2）解：如图， 取格点，则在中：， 在中：， ， 又， ， ， 同理可得：． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）； (2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理和勾股定理 逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题． （1）利用勾股定理，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造直角边为和的直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∴，即为三边长分别为，，的直角三角形； （2）解：如图乙中，即为所求： ∵， ∴， ∴， 此时． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）按要求画出图形： (1)在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． ①在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； ②在图2中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4、；请你判断这个三角形 直角三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图3，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．直接写出点B的坐标为 ． 【答案】(1)①图见解析，②图见解析，不是； (2)． 【分析】本题主要考查在网格中作正方形，三角形和平行四边形，勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据面积为8的正方形的边长画出正方形即可；根据，画出三角形，根据勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形即可； （2）根据勾股定理可知也是两直角边长分别为1和3的斜边，再结合点B是第二象限内的整点即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， 如图1所示，正方形即为所求； 为所求作的三角形，如图2所示： ，，， ∵， ∴这个三角形不是直角三角形； （2）解：∵是两直角边长分别为1和3的斜边，， ∴也是两直角边长分别为1和3的斜边， ∴， 故答案为：； 【典型例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）已知，在中，，，D为BC边上的点，，，则DC的长是（    ）． A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°，再根据勾股定理求出DC即可． 【详解】解：如图所示： ∵AB＝13，AD＝12，BD＝5， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC9， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADB＝90°是解此题的关键． 【例2】 （2025·山东日照·模拟预测）如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长． 【详解】解：由作法得平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理． 【例3】 （2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点D为边上的中点，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课前预习）（1）已知任意两条边的长度，求第3条边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度，斜边上的高线，周长面积…… （3）判定三角形形状∶ 当a2+b2=c2时，是 三角形；当 a2+b2>c2时，是 三角形；当 a2+b2<c2时，是 三角形； （4）构建 三角形解题． （5）立体图形中两点之间的最短距离． 【答案】 直角， 锐角， 钝角， 直角 【解析】略 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，． (1)请你判断的形状，并说明理由： (2)求三角形腰的长度． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理； （1）依据勾股定理的逆定理，即可得到，即可得到； （2）设腰长为，则，由（1）可知，解方程，即可得到腰长． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ，，， ，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知，为直角三角形； （2）设腰长为，则， 由（1）可知， ∴由勾股定理可知，， 即：， 解得， 腰长为． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数； (3)作图，在数轴上找到长度对应的点，并标注为点P．（要求保留作图痕迹）    【答案】(1)； (2)； (3)图见解析． 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，即可求解； （3）分别以1，3两个点为圆心，以适当长（大于1）为半径画弧，交于两点，连接，必过点2这个点，再以2这一点为圆心，以2长为半径画弧，交于一点，连接，以为圆心，以为半径画弧，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如下图：    在中， （2）∵，即 ∴为直角三角形， ∵， ∴ ∴ （3）如图，点即为所求    【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，无理数与数轴，以及尺规作图（作垂直平分线），解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【原题初探】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的，连接．若，，，求的长和正方形的边长． 　　　　 　　　 【变式猜想】（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展应用】（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，请求出的长度． 【答案】（1），；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）首先证明∠PP′C=90°，求出PP′，P′C，利用勾股定理可求得PC的长，作AE⊥BP，证明△APE为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得正方形的边长； （2）将△BAP绕点B顺时针旋转60°后得到△BCD，连接PD，判断出△PBD为等边三角形，然后根据勾股定理的逆定理可证明△PCD为直角三角形，∠PDC=90°，即可求得∠BDC=∠APB=150°； （3）将△ABD绕点A顺时针旋转90°后AB落在AC处，得到△ACE，连结DE，如图，根据旋转的性质得AD=AE=3，BD=CE，∠DAE=90°，则可判断△ADE为等腰直角三角形，得到∠CDE=90°，则可利用勾股定理计算出CE，从而得到BD的长． 【详解】（1）根据旋转的性质可知： BP=BP′=3，∠PBP′=90°，P′C=AP=， 即：△PBP′为等腰直角三角形， ∴PP′=，∠BP′P=45°， ∵∠BP′C=∠APB=135°， ∴∠PP′C=90°， 在Rt△PP′C中，PP′，P′C =AP=， 根据勾股定理可得：PC=； 过A作AE⊥BP交BP延长线于点E，如图： ∵∠APB=135°， ∴∠APE=45°， ∴△APE为等腰直角三角形， ∵AP=， ∴AE= PE=1， 在Rt△ABE中，AE =1，BE =BP+PE=， 根据勾股定理可得：AB=； 答：PC的长和正方形ABCD的边长分别为：和； （2）将△BAP绕点B顺时针旋转60°后得到△BCD，连接PD， 根据旋转的性质得： BP=BD=4，∠PBD=∠ABC=60°，CD=AP=3，∠APB=∠CDB， ∴△PBD为等边三角形； ∴PD=PB=4，∠PDB=60°， 在△PCD中，PD=4，CD =3，PC =5， ∴， ∴△PCD为直角三角形，∠PDC=90°， ∴∠APB=∠CDB=∠PDB+∠PDC=60°+90°=150°； （3）∵， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， 将△ABD绕点A顺时针旋转90°后AB落在AC处，得到△ACE，连结DE，如图， 根据旋转的性质得： AD=AE=3，BD=CE，∠DAE=90°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴DE=，∠ADE=45°， ∵∠ADC=45°， ∴∠CDE=90°， 在Rt△CDE中，CE=， ∴BD的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键． 【典型例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）在四边形中，，， ， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长，根据等边对等角可得，根据勾股定理的逆定理求得是直角三角形，，即可求解． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴，， ∵， ， ∴ ∴是直角三角形， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角等知识，掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（    ） A．130 B．140 C．135 D．145 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解，设每个小方格的长为1 由勾股定理可得，， ∵，即， ∴为等腰直角三角形 ∴， ∴ 故选C 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，得到为等腰直角三角形． 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为 ． 【答案】90°或270° 【分析】根据勾股定理的逆定理可知， 的弦与弦的端点两条长为1半径的围成的三角形是直角三角形． 【详解】解：由题意可知：半径 ，弦长为 ， 根据勾股定理的逆定理可知：所对的角为直角． ∴长度等于 的弦所对的圆心角为90°， ∵长度等于 的弦所对的弧有优弧、劣弧， 长度等于 的弦所对的弧的度数为 或者 故答案为： 或者 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；涉及勾股定理的逆定理、分类讨论的思想． 【例4】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】135 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理的应用，连接，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理的逆定理判断，计算即可 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形，    ∴，，   在中，，， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴． ∴的度数为． 2．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （）利用勾股定理计算即可求解； （）利用勾股定理的逆定理可得到，又由等腰直角三角形的性质可得，利用角的和差关系即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，点O是内一点，连接，，． (1)如图1，是等边三角形，且，，．将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 旋转角是____°； 线段的长为____； 求的度数； (2)如图2，是等腰直角三角形（），，，，求的长．小聪借用了图1的方法，将绕点B顺时针旋转后得到，请你继续用小聪的思路解答． 【答案】(1)；； (2)6 【分析】本题主要考查几何图形旋转性质、等边三角形性质、直角三角形性质，熟练掌握旋转的性质对应的边角之间关系是解题的关键． （1）①由题意可知旋转角是结合是等边三角形可得旋转角为； ②由旋转的性质可知，由此可得是等边三角形，从而可得； ③由旋转的性质可得，结合可证得是直角三角形，，结合是等边三角形可得； （2）由旋转的性质易得，，，由此可得是等腰直角三角形，从而可得，则，这样在中，由勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：（1）①由题意可知，旋转角是， ∵是等边三角形， ∴， ∴旋转角的度数为； 故答案为： ②由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：8 ③∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴， 在中，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴； 故答案为： （2）解：． 理由如下： ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴， ∴， ∴． 【典型例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例1】（24-25八年级上·天津滨海新·期末）已知的三边长分别是5，12，13，则的面积是（    ） A．24 B．30 C．40 D．48 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后再计算面积即可． 【详解】∵△ABC的三边长分别为5，12，13，且 ∴△ABC是直角三角形． △ABC的面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是用三角形较小两条边的平方和是否等于最长边的平方来验证． 【例2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 ．    【答案】/ 【分析】连接，判定是等腰直角三角形，再根据勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，且，依据三角形面积计算公式，即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出是等腰直角三角形，再求出． 【例4】（23-24八年级上·湖北随州·阶段练习）如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了求扇形面积，正方形的性质与判定，切线长定理，先得出是直角三角形，进而证明四边形是正方形，根据阴影部分面积等于正方形的面积减去个圆的面积，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， ∵的内切圆与、、、分别相切于点、、， ∴ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形，则， 如图所示，连接，，，    ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），根据勾股定理计算即可； 对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可. 【详解】（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)菜园的面积扩大了 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理可得，进而求出的差值即可． 【详解】（1）解：垂直，理由如下： ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， ， 即菜园的面积扩大了． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理和∠BCD=90°，，，可以先求出的长；再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 【典型例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（23-24八年级上·山西晋城·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（　） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可． 【详解】解：A． 因为，所以，为直角三角形，故本选项不符合题意； B． 因为，所以，所以，为直角三角形，故本选项不符合题意； C． 因为 ，所以，为直角三角形，故本选项不符合题意； D． 因为，，，但是，所以不为直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（   ）    A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】连接，利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块菜地的面积为， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理的实际应用，熟练掌握定理及灵活运用是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：连接，      在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形空地的面积； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形． 【例4】（2025·江西赣州·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺）则该沙田的面积为 平方丈． 【答案】84 【分析】根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下： ∵ ∴, ∴ ∴ ∴（平方丈） 故答案为：84 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出相关示意图，按照逆定理内容证明并计算即可． 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．连接，由勾股定理求出米，从而得出，推出，再根据这块地的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 米，米， 米，平方米， 米，米， ， ， 平方米， 这块地的面积平方米． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 3．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站，米，米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：； ，， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， （米）； （米）， （米）， 米米， 方案一所修的管道较短． 【典型例题八 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（  ） A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6 【答案】D 【分析】先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°， ∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点， ∴ME、NE是△ABP的中位线， ∴ME∥BP，NE∥AP， ∴四边形PMEN是平行四边形， 当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形， 设DP＝x，CP＝10﹣x， 由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2， ∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102， AD2+x2﹣10x＝0， ①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0， x＝1或x＝9，符合题意； ②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0， x＝2或x＝8，符合题意； ③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0， x＝5，符合题意； ④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 【例4】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 【答案】60 【分析】根据勾股定理求出AB,求出△ACB△BOG ，△MHG△GOB，求出AC= OB= HG = 4，BC= OG = MH=3，分别求出长方形FHNR，正方形BCDE，正方形ACQP，正方形ABGM的面积，即可求出答案． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，BC= 3，AC= 4 ， 则根据勾股定理得到AB=， 延长CB交FH于O， ∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形， ∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB= 90°，BC//DE， ∴∠BOG=∠F= 90°， ∴∠CAB+∠ABC= 90°， ∠ABC+∠GBO= 180°- 90°= 90°， ∴∠CAB=∠GBO， 在△ACB和△BOG中， ∴△ACB△BOG(AAS)， ∴AC= OB= 4，OG= BC= 3， 同理可证△MHG△GOB， ∴MH = OG=3，HG=OB= 4， ∴FR=4 +3+4= 11，FH=3+3+4= 10， ∴ ； 故答案为：60． 【点睛】本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出长方形HFRN的边长． 1．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？ 【答案】方便，见解析 【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可 【详解】用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个人同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形 【点睛】本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图1, △ABC中，CD⊥AB于D,且BD: AD:CD=2:3:4． (1)试说明△ABC是等腰三角形; (2)已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒)，若△DMN的边与BC平行，求t的值． 【答案】（1）见解析（2）5或6. 【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论； （2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可. 【详解】(1)证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x， 则AB=5x， 在Rt△ACD中,AC= =5x， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； (2)S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x>0， ∴x=2cm， 则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm. ①当MN∥BC时，AM=AN， 即10−t=t， ∴t=5； 当DN∥BC时，AD=AN， 得：t=6； ∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理的应用及等腰三角形的性质． 1．（24-25八年级上·江西宜春·期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．1，4， C．3，4，6 D．1，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴1，4，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴3，4，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴1，3，4不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 3．（24-25八年级上·广东汕尾·期末）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，则是（    ）    A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在正方形中，E为的中点，是上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，设正方形的边长为，先求出，则，再利用勾股定理得到，，，则，据此利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形． 【详解】证明：设正方形的边长为， ∵E为的中点，是上一点，且， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理可得，， ∴， ∴是直角三角形．. 故选C． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（    ） A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接AC， ∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m， ∴， ∴AC=5m， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积=（）， ∴要投入资金为：（元）； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出△ACD是直角三角形是解题关键． 6．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 7．（24-25八年级·浙江温州·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短．连接，先根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得当时，有最小值，即有最小值，最后利用等积法进行计算，可求出的长，即可解答．熟练掌握矩形的判定与性质，以及垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向B点以每秒的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则过7秒时，点B到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及等积法求线段的长．通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，是解题的关键． 先求出的长，，利用勾股定理逆定理得到，根据题意，求出，的长，勾股定理求出的长，利用等积法进行求解即可． 【详解】解：设，则，， ∵周长为， ∴， 解得：， ∴，，， 过7秒时，，， ∴，Q运动到C点停止运动，即， 连接，过B作，交于点D， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， ∵，， ∴=． 10．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】如图，连接、、、，根据勾股定理的逆定理确定，即的度数为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据题意得，即，推出当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：，进一步得出点为的中点，如图，根据弧的度数的意义确定，证明为等边三角形，得到，由等腰三角形三线合一得，求出，，再代入即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵每个小正方形的边长为，点为弧的三等分点（靠近点）， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即的度数为， ∴是直角三角形， ∵点为的中点，， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点，点为的中点， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：， 此时点为的中点，如图， ∵点为弧的三等分点（靠近点），的度数为， ∴的度数为：，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规律图形的面积，考查了勾股定理及逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，弧的度数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点．确定点、、三点共线时求出的最小值是解题的关键． 11．（24-25八年级上·安徽池州·期中）已知，，． (1)当时，若a，b，c为三角形的三边长，求这个三角形的面积． (2)小敏发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小敏的发现正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)24 (2)正确，见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． （1）根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据勾股数的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， 当时，，，． ∵，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且a是斜边长， ∴． （2）小敏的发现是正确的． 理由：∵， ， ∴． ∵n为大于1的整数， ∴a，b，c为正整数，此时a，b，c为一组勾股数，即当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数． 12．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形 【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB， ∴BD2＋CD2＝BC2 ∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144． ∴CD＝12． （2）在△ACD中，∵CD⊥AB， ∴CD2＋AD2＝AC2 ∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256． ∴AD＝16． ∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25． （3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625， ∴AB2＝BC2＋AC2 ∴△ABC是直角三角形． 13．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作 图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段，使． (2)在图2中，作直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理画出线段，使即可； （2）根据勾股定理先画出长为，然后再画直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， ； （2）解：如图，即为所求作的三角形． ，，， ∴，， ∴为直角三角形，为斜边． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，是等边内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ； ②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当时，求之间的数量关系． 【答案】（1）①，②；（2） 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，加上，则可判断为等边三角形，所以； ②由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，，，则，进一步由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点B顺时针旋转后得到，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：4； ②由旋转的性质可得，， 在中，，，， ∵，即， ∴为直角三角形，且， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）当时，，证明如下： ∵绕点B顺时针旋转后得到， ∴，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． ∵， ∴是直角三角形， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∴当，，满足时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 15．（24-25八年级上·广东惠州·期末）跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 【答案】（）是从村庄到河边的最近路，理由见解析；（）千米 【分析】（）利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，， 再根据垂线段最短即可说明； （）设千米，则千米，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：（）是从村庄到河边的最近路，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵垂线段最短， ∴是从村庄到河边的最近路； （）设千米，则千米， ∴千米， 在中，由勾股定理得：， . ∴， 解得， ∴千米， ∴千米， 答：新路相比原路缩短千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 勾股定理逆定理（1大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断三边能否构成直角三角形 典型例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 典型例题三 在网格中判断直角三角形 典型例题四 利用勾股定理的逆定理求长度 典型例题五 利用勾股定理的逆定理求角度 典型例题六 利用勾股定理的逆定理求面积 典型例题七 勾股定理逆定理的实际应用 典型例题八 勾股定理逆定理的拓展问题 知识点01 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南三门峡·期中）下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形． 【即时训练】 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【典型例题一 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·河南许昌·期末）下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（   ） A．1.5，2，3 B．，2， C．4，5，6 D．6，8，10 【例2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，是超市的儿童玩具购物车侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）在中，，，，则边上的高为 ． 【例4】（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ． 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，） 【典型例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北承德·模拟预测）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【例3】（24-25八年级上·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【例4】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 1．（24-25八年级上·天津南开·阶段练习）如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，A，B，P是方格纸中的格点．请按要求画以为边的格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个直角三角形，使点P在的内部（不包括边界）． (2)在图2中画一个等腰三角形，使点P在一边的中垂线上． 3．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，，． ①当时，则 ； ②在图中的网格区域内找一点，使，且四边形被过点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则点坐标为 （要求：写出点坐标，画出过点的分割线并指出分割线，不必说明理由，不写画法） 【典型例题三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3】（2025·北京石景山·模拟预测）如图，点、、都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点、的对应点、也在格点上，则旋转角（）的度数为 ． 【例4】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在单位为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： ．（填“能”或“不能”．） 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，四边形的顶点均在格点上． (1)求线段的长； (2)请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得，并简单说明理由． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)使三角形的三边长分别为，，（在图甲中画一个即可）； (2)使三角形为直角三角形，且面积为，要求至少有两条边不与网格线重合（在图乙中画一个即可）． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）按要求画出图形： (1)在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，按下列要求在网格中画出图形． ①在图1中，以格点为顶点画一个面积为8的正方形； ②在图2中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为4、；请你判断这个三角形 直角三角形（填“是”或“不是”）； (2)如图3，已知点，B为第二象限内的一个整点（即横纵坐标都为整数的点），且．直接写出点B的坐标为 ． 【典型例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）已知，在中，，，D为BC边上的点，，，则DC的长是（    ）． A．6 B．9 C．12 D．15 【例2】 （2025·山东日照·模拟预测）如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【例3】 （2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江温州·课前预习）（1）已知任意两条边的长度，求第3条边/斜边上的高线/周长/面积…… （2）已知任意一条边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度，斜边上的高线，周长面积…… （3）判定三角形形状∶ 当a2+b2=c2时，是 三角形；当 a2+b2>c2时，是 三角形；当 a2+b2<c2时，是 三角形； （4）构建 三角形解题． （5）立体图形中两点之间的最短距离． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，． (1)请你判断的形状，并说明理由： (2)求三角形腰的长度． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在四边形中，已知，，，．    (1)求的长度； (2)求的度数； (3)作图，在数轴上找到长度对应的点，并标注为点P．（要求保留作图痕迹）    3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）【原题初探】（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，是正方形内一点，连结，，现将绕点顺时针旋转得到的，连接．若，，，求的长和正方形的边长． 　　　　 　　　 【变式猜想】（2）如图2，若点是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展应用】（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形中，，，，请求出的长度． 【典型例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）在四边形中，，， ， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）在如图的方格中， ABC的顶点 A、 B、 C都是方格线的交点，则三角形 ABC的外角ACD的度数等于（    ） A．130 B．140 C．135 D．145 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在半径为的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为 ． 【例4】（23-24八年级上·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）如图，在四边形中，，，，．求的度数．       2．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的度数． 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）如图，点O是内一点，连接，，． (1)如图1，是等边三角形，且，，．将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 旋转角是____°； 线段的长为____； 求的度数； (2)如图2，是等腰直角三角形（），，，，求的长．小聪借用了图1的方法，将绕点B顺时针旋转后得到，请你继续用小聪的思路解答． 【典型例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例1】（24-25八年级上·天津滨海新·期末）已知的三边长分别是5，12，13，则的面积是（    ） A．24 B．30 C．40 D．48 【例2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 【例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 ．    【例4】（23-24八年级上·湖北随州·阶段练习）如图，的内切圆与、、、分别相切于点、、，且，，，则图中由线段、及组成的阴影部分的面积是 ．    1．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 2．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长上找一点D，使边的长为，求菜园的面积大了多少． 3．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【典型例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（23-24八年级上·山西晋城·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（　） A． B． C． D．，， 【例2】（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（   ）    A．24 B．30 C．32 D．36 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为 ．    【例4】（2025·江西赣州·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为7丈，24丈，25丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺）则该沙田的面积为 平方丈． 1．（24-25八年级上·湖北咸宁·阶段练习）学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知米，米，，米，米，求这块地的面积． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 3．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站，米，米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 【典型例题八 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（  ） A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【例4】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则长方形内空白部分的面积之和是 ． 1．（24-25八年级上·浙江温州·课后作业）给你一根长绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？ 2．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图1, △ABC中，CD⊥AB于D,且BD: AD:CD=2:3:4． (1)试说明△ABC是等腰三角形; (2)已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t(秒)，若△DMN的边与BC平行，求t的值． 1．（24-25八年级上·江西宜春·期中）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，1， B．1，4， C．3，4，6 D．1，3，4 2．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 3．（24-25八年级上·广东汕尾·期末）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，则是（    ）    A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 4．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在正方形中，E为的中点，是上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（    ） A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定 6．（24-25八年级上·山东济宁·期中）已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 7．（24-25八年级·浙江温州·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在中，，且周长为，点P从点A开始沿边向B点以每秒的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则过7秒时，点B到的距离为 ． 10．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是 ． 11．（24-25八年级上·安徽池州·期中）已知，，． (1)当时，若a，b，c为三角形的三边长，求这个三角形的面积． (2)小敏发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小敏的发现正确吗？请判断并说明理由． 12．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20． (1)求CD的长； (2)求AB的长； (3)判断△ABC的形状． 13．（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作 图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段，使． (2)在图2中，作直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）如图1，是等边内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，完成下列各题． ①线段的长 ； ②求的度数． （2）如图2，是等腰直角内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当时，求之间的数量关系． 15．（24-25八年级上·广东惠州·期末）跨学科融合——项目式学习 供水路线设计 背景 在惠州东江流域，有一个依山傍水的传统村落——青溪村（图中点处）．过去，村民们一直依赖河边原有的两个取水点、获取生活用水，且．但由于东江流域季节性洪水冲刷，从村庄到取水点的道路被严重损毁，已无法通行． 测量数据 为保障村民日常用水，青溪村与地理科研团队合作开展“智慧供水”项目，决定在河边新建取水点（、、在一条直线上），并修建一条新路．经地理勘测团队测量，千米，千米，千米． 任务一 最佳路线评估地理团队在进行供水路线规划时，需要确定是否为从村庄到河边的最近路． （）请你结合数学知识，通过计算加以说明：是否为从村庄到河边的最近路？ 任务二 工程成本分析在项目成本核算阶段，施工团队需要了解新路比原路少多少千米，从而估算节省的材料与人力成本． （）请运用数学方法，结合地理实际测量数据，求出新路相比原路缩短多少千米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$