2.5 逆命题和逆定理-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.5 逆命是 自基础进阶 1.有下列命题：①两个直角的和为180°；②相 等的两个数的绝对值相等；③全等三角形的 周长相等；④能够完全重合的两个三角形全 等.其中，逆命题一定成立的是 A.①②③ B.①④ C.②④ D.④ 2.如图，AC=AD,BC=BD,连结AB,CD,则 下列说法中，正确的是 () (第2题) A.CD垂直平分AB B.AB与CD互相垂直平分 C.AB垂直平分CD D.CD平分∠ACB 3.命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命题是 ,该逆命题是 命题（填“真”或“假”） 4.给出下列三个定理：①有两个角相等的三角 形是等腰三角形；②全等三角形的周长相 等：③同位角相等，两直线平行.其中，存在 逆定理的有 (填序号)， 5.写出命题“如果两个角的两边互相垂直，那么 这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆 命题的真假.若是假命题，请举例加以说明 44 返和逆定理 幻素能攀升 6.下列命题的逆命题为真命题的是 () A.如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B.全等三角形的对应边相等 C.如果两个角是直角，那么它们相等 D.等边三角形是锐角三角形 7.有下列命题：①若分>1，则a>b;②若a十 b=0,则|a=|b;③等边三角形的三个内 角都相等；④底角相等的两个等腰三角形 全等.其中，原命题与逆命题均为真命题的 个数是 ) A.1B.2C.3 D.4 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过边AC 上一点P,作直线DE交AB于点D,交BC 的延长线于点E.若∠DPA=∠A,则点D在 A.BC的垂直平分线上 B.BE的垂直平分线上 C.AC的垂直平分线上 D.以上答案都不对 (第8题) 9.命题“当k=2时，二次三项式x2十kxy十y2 是完全平方式”的逆命题是 命题（填 “真”或“假”). 10.*利用线段垂直平分线的性质定理 及其逆定理证明以下命题， 如图，AB=AC,DB=DC,点E在 AD的延长线上，连结BE,CE.求证 BE=CE. D B (第10题) 11.在同一个三角形中，角的大小与边的大小满 足定理“在三角形中，大角所对的边较大”. 该定理有逆定理吗？如果有，请写出逆定 理，并证明；如果没有，请写出它的逆命题， 并举出一个反例说明它是假命题. 12.写出命题“等腰三角形底边上的中 点到两腰的距离相等”的逆命题 并证明该逆命题是真命题. 第2章特殊三角形 思维拓展 13.如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分 别在边BC,AB,CA的延长线上，连结DE, EF,DF. (1)若BE=AF=CD,求证：△DEF是等 边三角形. (2)写出(1)的逆命题，并判断其是否成立. 若成立，请说明理由；若不成立，请举反例 说明。 B (第13题)》 452.5逆命题和逆定理 1.D2.C3.如果3a=3b,那么 a=b真4.①③ 5.命题“如果两个角的两边互相垂 直，那么这两个角相等”的条件是“两 个角的两边互相垂直”，结论是“这两 个角相等”， 所以其逆命题是“如果两个角相等，那 么这两个角的两边互相垂直” 原命题和逆命题都是假命题 如图①，∠1与∠2的两边互相垂直， 但是∠1≠∠2， 所以原命题是假命题 如图②，OC平分∠AOB,∠AOC= ∠BOC,但是∠AOC与∠BOC的两 边不互相垂直， 所以原命题的逆命题也是假命题 B 02 (① ③ (第5题) 6.B解析：A.逆命题：如果两个实 数的平方相等，那么它们相等，是假命 题；B.逆命题：对应边相等的三角形 全等，是真命题；C.逆命题：如果两个 角相等，那么它们是直角，是假命题： D.逆命题：锐角三角形是等边三角 形，是假命题， 7.A解析：因为当6<0时若分> 1,则a<b,所以①不符合题意.因为 “若a十b=0,则|a=b”正确，其逆 命题“若|a=b,则a+b=0”错误， 所以②不符合题意.因为“等边三角形 的三个内角都相等”正确，其逆命题 “三个内角都相等的三角形是等边三 角形”也正确，所以③符合题意.因为 底角相等的两个等腰三角形不一定全 等，所以④不符合题意.所以原命题与 逆命题均为真命题的个数是1. 8.B解析：因为∠ACB=90°，所以 ∠A+∠B=180°-90°=90°，∠E+ ∠CPE=180°-90°=90°.又因为 ∠DPA=∠A,∠DPA=∠CPE,所 以∠A=∠CPE.所以∠E=∠B.所 以DE=DB.所以点D在BE的垂直 平分线上. 9.假解析：如果二次三项式x2十 kxy十y2是完全平方式，那么k=士2， 故原命题的逆命题“如果二次三项式 x2十kxy十y2是完全平方式，那么 k=2”是假命题 10.连结BC. 因为AB=AC 所以，点A在线段BC的垂直平分线上」 因为DB=DC, 所以点D在线段BC的垂直平分线上 所以AD是线段BC的垂直平分线. 又因为点E在AD的延长线上， 所以BE=CE. 一方法归纳 证明线段垂直平分线的 一般方法 (1)根据定义解答，即先证得 直线（或线段）经过这条线段的中 点，再证得该直线（或线段）垂直于 这条线段 (2)根据垂直平分线的性质定 理的逆定理解答，即证得直线（或 线段)上任意两点到这条线段两端 点的距离相等，从而说明这两，点都 在这条线段的垂直平分线上」 11.有、 逆定理：在三角形中，大边所对的角 较大. 已知：如图，在△ABC中，AC>AB 求证：∠ABC>∠ACB 证明：如图，在AC上截取AE=AB, 连结BE, 所以∠ABE=∠AEB 因为∠AEB=∠ACB+∠EBC, 所以∠AEB>∠ACB. 因为∠ABC>∠ABE, 22 所以∠ABC>∠AEB 所以∠ABC>∠ACB: E B C (第11题) 12.逆命题：如果一个三角形一边上 的中点到另外两边的距离相等，那么 这个三角形是等腰三角形 已知：如图，在△ABC中，D是BC的 中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F,且DE=DF 求证：△ABC为等腰三角形. 证明：如图，连结AD. 因为D是BC的中点， 所以S△ABD=S△D· 因为DE⊥AB,DF⊥AC, 1 所以S△n=2AB·DE,S△XD= AC DE. 又因为DE=DF, 所以AB=AC. 所以△ABC为等腰三角形. E. D (第12题) 13.(1)因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC 所以∠EAF=∠DBE=120°. 因为BE=CD, 所以BE+AB=CD+BC,即 AE=BD. 在△AEF和△BDE中， (AF-BE. 因为∠EAF=∠DBE, AE-BD, 所以△AEF≌△BDE(SAS). 所以EF=DE. 同理，可得△AEF≌△CFD, 所以EF=FD 所以EF=DE=FD 所以△DEF是等边三角形. (2)(1)的逆命题是“若△DEF是等 边三角形，则BE=AF=CD”,该命 题成立 理由：因为△ABC,△DEF都是等边 三角形， 所以∠ABC=∠ACB=∠EDF= 60°，BC=AC,ED=DF 又因为∠ABC=∠BED+∠BDE, ∠ACB=∠CDF+∠CFD,∠EDF= ∠CDF+∠BDE, 所以∠BED=∠CDF,∠BDE= ∠CFD 在△BED和△CDF中， ∠BED=∠CDF, 因为ED=DF, ∠BDE=∠CFD 所以△BED≌△CDF(ASA). 所以BD=CF. 所以BD-BC=CF-AC,即CD=AF. 同理，可得BE=CD, 所以BE=AF=CD. 2.6直角三角形 第1课时直角三角形的 性质定理 1.C2.B3.14 4.(1)因为CD为斜边AB上的 中线 所以CD=BD=子AB. 所以∠DCB=∠B. 因为∠EFD=∠B, 所以∠DCB=∠EFD. 所以EFBC. (2)因为在Rt△ABC中，∠A=65, 所以∠B=90°-∠A=25 因为EFBC 所以∠FED=∠B=25° 所以∠AEF=180°-∠FED=180° 25°=155 5.C解析：因为∠BAC=90°，所以 ∠BAD+∠CAD=90°，∠B+∠C= 90°.所以∠BAD与∠CAD互余，∠B 与∠C互余.因为AD⊥BC,所以 ∠BDA=∠CDA=90°.所以∠B+十 ∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°.所 以∠B与∠BAD互余，∠C与 ∠CAD互余.综上所述，题图中互余 的角有4对. 6.D解析：因为在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，E是AB的中点，所以 BE=CE.因为∠B=20°，所以 ∠ECB=∠B=20°.因为AD=BD, 所以∠DAB=∠B=20°.所以 ∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°= 40°.所以∠DFE=∠ADC+∠ECB= 40°+20°=60°. 7.14解析：因为BE,CF分别是 △ABC的高线，M为BC的中点， BC=10,所以在Rt△BCE中，EM= ZBC=5,在Rt△BCF中，FM= 子BC=6又因为EF=4,所以 △EFM的周长=EM+FM+EF= 5+5+4=14. 8.罗解析：过点B作BHLrX,交 直线DO于点H.因为∠ABC= ∠ADC=90°，O为AC的中，点，所以 OB=0D=2AC=2×10=5.因为 BH⊥DO,所以S△m=2OD· BH=号BH,当点O与点H重合时， BH的长取得最大值，此时BH=5,所 以5m的最大值为号X5=受 25 9.因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD是边AB上的中线， 所以CD=AD=DB=2AB. 所以∠B=∠DCB. 23 因为DE⊥AB, 所以∠A+∠AED=90°」 又因为∠A+∠B=90°， 所以∠B=∠AED. 所以∠AED=∠DCB. 10.如图， 因为∠ABC=∠ADE=90°， 所以∠EDC=90°. 因为M是CE的中点， 1 所以BM=CM=2CE,DM=CM= CE. 所以BM=DM,∠1=∠2，∠3=∠4. 因为∠BME=∠1+∠2，∠EMD= ∠3+∠4， 所以∠BMD=∠BME+∠EMD= 2(∠1+∠3)=2∠BCA. 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以∠BCA=45. 所以∠BMD=90°. 所以BM=DM,且BM⊥DM. (第10题) 11.(1)BM=DM,∠BMD=2∠BCD. (2)(1)中的结论不发生变化 因为M是Rt△BEC的斜边EC的 中点， 所以M=MC=合PC 又因为M是Rt△DEC的斜边EC的 中点， 1 所以DM=MC=2EC, 所以BM=DM. 因为BM=MC,DM=MC, 所以∠CBM=∠BCM,∠DCM= ∠CDM. 所以∠BMD=∠EMB-∠EMD= (∠CBM+∠BCM)-(∠DCM+ ∠CDM)=2∠BCM-2∠DCM=