第1章 专题特训2 全等三角形的开放探究-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 专题特训二全等 类型一条件开放型 1.新考法·条件开放题已知一个三角形的两边 长分别是1cm和3cm,一个内角为30°.根 据下列要求分别作图，并在图上标出相应的 数据。 (1)如图，请你在图中画出一个满足题设条 件的三角形. (2)你是否还能画出既满足题设条件又与 (1)中画出的三角形不全等的三角形？若能， 画出所有满足上述条件的三角形；若不能，请 说明理由， (3)如果将题设条件改为“三角形的两边长分 别是3cm和4cm,一个内角为30°”，那么满足 条件且彼此不全等的三角形共有 个， 请画出所有满足上述条件的三角形 30 (第1题) 类型二结论开放型 2.如图，AB=AC.在第1个图形中，D,E为 ∠BAC的平分线上的两点，连结BD,CD, BE,CE;在第2个图形中，D,E,F为 ∠BAC的平分线上的三点，连结BD,CD, 22 三角形的开放探究 BE,CE,BF,CF;在第3个图形中，D,E,F, G为∠BAC的平分线上的四点，连结BD, CD,BE,CE,BF,CF,BG,CG…以此类 推，在第17个图形中，全等三角形的对数是 第1个图形 第2个图形 第3个图形 (第2题) A.17 B.54C.153D.171 3.如图，在△ABC中，∠A=60°，如果BD,CE 分别是∠ABC,∠ACB的平分线，且它们相 交于点P,试探究BC,BE,CD之间的数量 关系，并证明你的结论 (第3题) 4.(1)如图①，D为△ABC外一点.若 AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E ∠B+∠D=180°，求证：CB=CD 琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F,使 得AD=AF,连结CF,先证明△ADC≌ △AFC,得到CD=CF,再证明CB=CF,从 而得出结论；宸宸同学：我的思路是过点C 作CG⊥AD,交AD的延长线于点G,由角平 分线的性质得出CG=CE,再证明△GDC≌ △EBC,从而得出结论.请根据两名同学的思 路选择一种写出证明过程 (2)如图②，D,E,F分别是等边三角形ABC 的边BC,AB,AC上的动点（点D不与点B, C重合).若三点在运动过程中始终满足DA 平分∠EDF,∠EDF=120°，请探索线段BE 与CF之间的数量关系，并证明你的结论， E ② (第4题) 第1章三角形的初步知识 类型三图形开放型 5.易错题(1)观察推理：如图①，在 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC 直线L过点C,点A,B在直线L的 同侧，BD⊥直线l,AE⊥直线l,垂足分别为 D,E.求证：△AEC≌△CDB (2)类比探究：如图②，在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=6.将斜边AB绕点A按逆时针方 向旋转90°至AB',连结B'C,求△ABC的 面积 (3)拓展提升：如图③，在等边三角形BCE 中，BE=4cm,点O在BC上，且OC=3cm. 动点P从点E开始沿射线EC以2cm/s的 速度运动，连结OP,将线段OP绕点O按逆 时针方向旋转120°得到线段OF.要使点F 恰好落在射线EB上，求点P运动的时间. B ① ② ③ (第5题) 23所以△BDE≌△ACB(AAS) 所以DE=BC. 5.D解析：因为∠BAD=∠CAE, 所以∠BAD-∠CAD=∠CAE- ∠CAD,即∠BAC=∠DAE.故BC 错误.在△ABC和△ADE中，因为 |∠BAC=∠DAE, AB=AD, 所以△ABC≌ ∠B=∠D, △ADE(ASA).所以AC=AE,BC= DE.故A错误，D正确. 6.D解析：因为CE⊥AD,BF⊥ AD,所以∠AFB=∠CED=90°.所 以∠C+∠D=180°-∠CED=90°. 因为AB⊥CD,所以易得∠A+ ∠D=90°.所以∠A=∠C.在△ABF ∠AFB=∠CED, 和△CDE中，因为∠A=∠C, AB=CD, 所以△ABF≌△CDE(AAS).所以 AF=CE=a,BF=DE=b.因为 EF=c,所以DF=DE-EF=b-c. 所以AD=AF+DF=a+(b-c)= a+b-c. 7.18解析：因为∠BED=∠BAE十 ∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF, ∠BED=∠BAC,所以∠ABE= ∠CAF.又因为∠CFD=∠ACF+ ∠CAF,∠CFD=∠BAC,所以∠BAE= ∠ACF.在△ABE和△CAF中，因为 ∠ABE=∠CAF, AB=CA, 所以△ABE≌ ∠BAE=∠ACF, △CAF(ASA).所以S△AE=S△cAF. 所以S△ABE+S△DF=S△cAF十 S△cF=S△AD.因为CD=2BD,所以 CD=号BC,所以Sm=号Sa, 因为S4=27,所以Saw=号× 27=18,即S△ABR+S△DF=18. 8.因为∠MCF=∠F,∠MCF= ∠ACB, 所以∠ACB=∠F. 因为AE=CF, 所以AE+EC=CF+EC,即AC=EF. 在△ABC和△EDF中， ∠B=∠D, 因为∠ACB=∠F, AC=EF, 所以△ABC≌△EDF(AAS). 所以BC=DF. 9.因为ABCD, 所以∠ABO=∠CDO. 因为OD⊥CD, 所以∠CDO=90°. 所以∠ABO=90°. 因为AB//OH//CD,且相邻的平行线 间的距离相等， 所以OD=OB. 在△ABO和△CDO中， I∠ABO=∠CDO, 因为{OB=OD, ∠AOB=∠COD, 所以△ABO≌△CDO(ASA). 所以CD=AB=18m. 10.AM=2AN. 理由：连结PA 因为PN∥AC,EFBC, 所以∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP. 在△APC和△PAN中 I∠CPA=∠NAP, 因为PA=AP, ∠CAP=∠NPA, 所以△APC≌△PAN(ASA). 所以PC=AN. 同理，可得△APB≌△PAM, 所以BP=MA. 因为BP=2PC, 所以AM=2AN 一方法归纳 证明角或线段相等的方法 (1)观察要证明的线段或角 (或通过等量代换得到的线段或 角)在哪两个可能全等的三角形 中，当待证角或线段不在这两个全 等三角形中时，常常添加辅助线构 造全等三角形.(2)分析需要证明 全等的两个三角形，确定已知条件 (包含图形中的隐含条件)是什么， 还缺什么条件.(3)设法证明所缺 条件.(4)写出证明过程. 9 11.(1)AB=AF+BD. 因为BE⊥CD, 所以∠FEC=90°. 所以∠F+∠DCA=90°. 因为∠BAC=90°， 所以∠FAB=90°. 所以∠FAB=∠DAC,∠F+ ∠FBA=90. 所以∠FBA=∠DCA. 在△AFB和△ADC中， ∠FAB=∠DAC, 因为AB=AC, ∠FBA=∠DCA, 所以△AFB≌△ADC(ASA)」 所以AF=AD 所以AB=AD+BD=AF+BD. (2)(1)中的结论不成立. 当点D在AB的延长线上时，AB= AF一BD:当点D在AB的反向延长 线上时，AB=BD一AF.解析：如图 ①，当点D在AB的延长线上时，同 (1),可得AD=AF,所以AB=AD BD=AF一BD.如图②，当点D在 AB的反向延长线上时，同(1)，可得 AF=AD,所以AB=BD-AD= BD-AF. B DE ① ③ (第11题) 专题特训二全等三角 形的开放探究 1.(1)答案不唯一，如图①所示. (2)能.如图②所示. (3)4.如图③④⑤⑥所示 3cm ① ② 3cm 130 4cm ③ 3cm 4cm 130 ④ 4cm 3cm 30 ⑤ 4cm 3cm 30° ⑥ (第1题) 2.D解析：运用“SAS“SSS”可证明 每个图形中直线AD上方和下方对应 的三角形都是全等三角形，故第1个 图形中有1十2=3（对）全等三角形： 第2个图形中有1+2+3=6（对）全 等三角形：第3个图形中有1十2十 3十4=10（对）全等三角形…第n个 图形中有1+2+3+·+(m+1)= (n十1)(n十2)对全等三角形.所以第 2 17个图形中，全等三角形的对数是 18×19=171 2 3.BC=BE+CD 如图，在线段BC上取一点G,使得 BG=BE,连结GP. 因为BD,CE分别是∠ABC,∠ACB 的平分线， 所以∠EBP=∠GBP= 2∠ABC, ∠PCG=∠PCD-2∠ACB. 所以∠BPC=180°-∠GBP ∠PCG=180°- .1 (∠ABC+ 1 ∠ACB)=180°-2(180°-∠A)= 90+∠A. 因为∠A=60°， 所以∠BPC=120° 所以∠BPE=∠CPD=180°- ∠BPC=60°. 在△BPE和△BPG中， (BE=BG. 因为∠EBP=∠GBP, BP=BP 所以△BPE≌△BPG(SAS). 所以∠BPE=∠BPG=6O. 所以∠CPG=∠BPC-∠BPG= 120°-60°=60° 因为∠CPD=60°， 所以∠CPG=∠CPD. 在△CGP和△CDP中， ∠CPG=∠CPD, 因为CP=CP, ∠PCG=∠PCD, 所以△CGP≌△CDP(ASA). 所以CG=CD. 所以BC=BG+CG=BE+CD. E D G (第3题) 4.(1)答案不唯一，如选琮踪同学的 思路. 如图①，在AB上取一点F,使AF= AD,连结CF」 因为AC平分∠BAD, 所以∠DAC=∠FAC. 在△ADC和△AFC中， 10 AD-AF, 因为 ∠DAC=∠FAC, AC-AC, 所以△ADC2△AFC(SAS). 所以CD=CF,∠D=∠AFC. 因为∠B+∠D=180°，∠CFE十 ∠AFC=180°， 所以∠B=∠CFE, 因为CE⊥AB, 所以∠CEB=∠CEF=90. 在△CEB和△CEF中， ∠B=∠CFE, 因为 ∠CEB=∠CEF, CE=CE, 所以△CEB≌△CEF(AAS). 所以CB=CF」 又因为CD=CF, 所以CB=CD. (2)BE=CF. 如图②，在DE上截取DG=DF,连 结AG,过点A作AH⊥EG于点H. 因为DA平分∠EDF,∠EDF=120°， 所以∠ADF=∠ADG=60°. 在△ADF和△ADG中， (AD-AD, 因为∠ADF=∠ADG, DF=DG, 所以△ADF≌△ADG(SAS) 所以AF=AG,∠AFD=∠AGD. 因为△ABC是等边三角形， 所以AB=AC,∠BAC=60°. 所以∠AEH+∠AFD=360° ∠BAC-∠EDF=360°-60°- 120°=180° 又因为∠AGD+∠AGH=180°， 所以∠AEH=∠AGH. 因为AH⊥EG, 所以∠AHE=∠AHG=90°. 在△AEH和△AGH中， ∠AEH=∠AGH, 因为∠AHE=∠AHG, AH-AH, 所以△AEH≌△AGH(AAS). 所以AE=AG. 因为AB=AC,AF=AG, 所以AB-AE=AC-AF,即BE=CF. B D ② (第4题) 5.(1)因为AE⊥直线1，BD⊥ 直线1， 所以∠AEC=∠CDB=90°. 所以∠EAC+∠ACE=90. 因为∠ACB=90°， 所以∠DCB+∠ACE=90°. 所以∠EAC=∠DCB. 在△AEC和△CDB中， ∠AEC=∠CDB, 因为∠EAC=∠DCB, AC=CB, 所以△AEC≌△CDB(AAS) (2)如图①，过点B'作B'D⊥AC于 点D,则∠ADB'=90. 因为斜边AB绕，点A按逆时针方向 旋转90°至AB′， 所以AB'=AB,∠B'AB=90°，即 ∠B'AC+∠BAC=90°. 因为∠ACB=90°， 所以∠ABC+∠BAC=90°. 所以∠ABC=∠B'AC. 在△B'AD和△ABC中， ∠ADB'=∠BCA=90, 因为∠B'AD=∠ABC, AB'=BA, 所以△B'AD≌△ABC(AAS. 所以B'D=AC=6. 所以SAt=2AC·BD=2X 6×6=18. (3)根据题意，画出图形如图②所示. 因为△BCE是等边三角形， 所以BC=EC=BE=4cm,∠CBE= ∠BCE=60° 所以OB=BC-OC=4-3=1(cm), ∠OBF=∠PCO=120°. 所以∠2+∠3=180°-∠PCO=60. 因为线段OP绕，点O按逆时针方向旋 转120得到线段OF, 所以∠FOP=120°，OP=OF 所以∠1+∠2=180°-∠FOP=60°. 所以∠1=∠3. 在△BOF和△CPO中， 「∠OBF=∠PCO, 因为∠1=∠3， OF=PO. 所以△BOF≌△CPO(AAS). 所以OB=PC=1cm. 所以EP=EC+PC=4+1=5(cm). 所以点P运动的时间为5÷2号（®. 0 B (第5题) 易错警示 未画出符合题意的图形 而导致错误 解决这类探究题时，要了解条 件中“动点”的真正含义，画出符合 题意的图形，不要受题中原有图形 的影响而直接解答，这样的结果往 往是错误的.因此，解题时我们要 认真审题，在原有思路的基础上让 图形中的“动点”真正动起来，寻求 正确的结论 1.6线段垂直平分线的性质 1.C2.B3.5 4.连结AC 因为E是BC的中点，AE⊥BC, 所以AE是线段BC的垂直平分线！ 所以AB=AC. 11 同理，可得AC=AD, 所以AB=AD. 5.C解析：因为AC垂直平分BD, 所以AB=AD,CB=CD,BE=DE, AE⊥BD.故A正确.在△BEC和 BE=DE, △DEC中，因为CB=CD,所以 EC=EC, △BEC≌△DEC(SSS).所以∠BCE= ∠DCE,即AC平分∠BCD.故BD正 确.因为AE与EC不一定相等，所以 BD不一定垂直平分AC.故C错误. 6.B解析：由作图可知，AD=AC= 5,直线MN垂直平分BD,所以BE= DE.因为△ADE的周长为13，所以 AE+DE+AD-AE+BE+AD- AB+AD=13.所以AB=13-5=8. 7.15解析：因为BD=DC,AD BE,所以AB=AC.因为点C在AE 的垂直平分线上，所以AC=CE.因为 △ABC的周长是30，所以AC+AB+ BD+CD=30.所以AC+CD=15. 所以DE=CD+CE=CD+AC=15: 8.(1)如图，AD,AE即为所求作. (2)AD为△ABD,△ABC,△ADC, △ABE,△ADE,△ACE的高线. B (第8题) 9.因为DE是AB的垂直平分线， 所以AE=BE,AD=BD=号AB. 因为△BCE的周长是22cm, 所以BC+BE+EC=22cm. 所以BC+AE+EC=22cm,即AC+ BC=22 cm. 因为△ABC的周长是36cm, 所以AB+AC+BC=36cm. 所以AB=36-22=14(cm). 所以AD=号AB=号×X14=7(cm. 10.(1)因为AD∥BC,