考向2 与等腰三角形有关的探究问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 考向二与等腰三角 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC 交BC于点D,且AD=AB,过点C 作AB的平行线，交AD的延长线于 点E,CF⊥AE于点F. (1)若∠B=75°，∠BAC=60°，求∠E, ∠DCF的度数. (2)线段AF,AB,AC之间有什么样的数量 关系？请加以证明. (第1题) 118 形有关的探究问题 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC 于点D,E是BC上一点，BE=CD,EF∥AD 交AB于点F,交CA的延长线于点P,CH∥ AB交AD的延长线于点H (1)求证：△APF是等腰三角形 (2)猜想AB与PC之间有什么数量关系，并 证明你的猜想. H (第2题) 3.如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm, 现有M,N两点分别从点A,B同时出发，沿 三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s, 点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达 点B时，点M,N同时停止运动. (1)当点M,N运动几秒时，M,N两点 重合？ (2)当点M,N运动几秒时，可得到等边三角 形AMN? (3)当点M,N在BC边上运动时，是否存在 以MN为底边的等腰三角形AMN?若存 在，请求出此时点M,N运动的时间；若不存 在，请说明理由 M —NB (第3题) 期末压轴题特训 4,★新考法·探究题已知线段AB⊥直 线1于点B,点D在直线l上，分别 以AB,AD为一边作等边三角形 ABC和等边三角形ADE,直线CE交直线U 于点F (1)如图①，当点F在线段BD上时，求证： DF=CE-CF. (2)当点F在线段BD的延长线上时（如图 ②)，当点F在线段DB的延长线上时（如图 ③)，请分别写出线段DF,CE,CF之间的数 量关系，不需要说明理由 (3)若BD=2BF,EF=6,求CF的长. B B DF ① ② ③ (第4题) 119所以p-1=m(2p+1-p-2)+ n(-2p-1+3p). 所以(p-1)(1-m-n)=0. 因为p≠1， 所以p-1≠0. 所以1-m-n=0. 所以2=1-m. 所以“组合函数”y=m(x一p一2)十 n(-x+3p)=m(x-p-2)+(1- m)(-x+3p)=2m.x-x+3p- 4mp-2m. 令y=0,则2m.x-x+3p-4mp 2m=0. 整理，得(3-4m)p十[(2m-1)x一 2m]=0. 所以当3-4m=0,即m=是时，方 程的解与力无关，此时方程为 (2×-1)小-2×子=-0，即2x 3 2 =0,解得x=3. 所以当m=3时，“组合函数”y的图 4 象与x轴的交点Q的位置不变，且交 点Q的坐标为(3,0)」 10.(1)假. (2)因为AB=BC,AC>AB 所以a=c,b>c. 因为△ABC是“类勾股三角形”， 所以ac+a2=b2 所以c2+a2=b2」 所以△ABC是等腰直角三角形. 所以∠A=45. (3)①在△ABC中，∠ABC=2∠BAC, ∠BAC=32°， 所以∠ABC=64°. 所以∠ACB=180°-∠BAC ∠ABC=84 分割∠ACB: a.当∠BCD=∠BDC时， 因为∠ABC=64°， 所以∠BCD=∠BDC=58°. 所以∠ACD=∠ACB-∠BCD= 84°-58°=26≠∠BAC 所以△ACD不是等腰三角形 所以这种情况不成立 b.当∠BCD=∠ABC=64°时， ∠BDC=52°， 所以∠ACD=∠ACB-∠BCD= 20°≠∠BAC, 所以△ACD不是等腰三角形 所以这种情况不成立 C当∠BDC=∠ABC=64°时， ∠BCD=52°， 所以∠ACD=∠ACB-∠BCD= 32°=∠BAC 所以△ACD是等腰三角形， 分割线和顶角标注如图①所示 同理可证分割∠ABC和∠BAC时， 情况不成立 ②如图②，在AB边上取一点D,使 ∠ACD=∠A,则CD=AD,过点C 作CG⊥AB于点G,则∠CDB= ∠ACD+∠A=2∠A. 因为∠B=2∠A, 所以∠CDB=∠B. 所以AD=CD=CB=a. 所以DB=AB一AD=c-a. 因为CG⊥AB, 所以DG=BG -(c-a). 1 所以AG=AD+DG=a+2(c a)= 2(a+c). 在Rt△ACG中，由勾股定理，得CG= AC2-AG2=62- 「1 2(a+c). 在Rt△BCG中，由勾股定理，得CG BC2-BG2=2- 2(c-a) 所以b2 「1 2(a+c) 〔1 72 (c-a). 所以b2=ac十a2. 所以△ABC为“类勾股三角形” 52 b a 116 B D a D C ③ (第10题) 55 考向二与等腰三角形 有关的探究问题 1.(1)因为AD平分∠BAC, ∠BAC=60, 所以∠BAD=∠CAD=2 ∠BAC=30. 因为CE∥AB,∠B=75°， 所以∠E=∠BAD=30°，∠DCE= ∠B=75°. 因为CF⊥AE, 所以∠ECF=180°-90°-∠E=60°， 所以∠DCF=∠DCE-∠ECF= 75°-60°=15°. (2)AB+AC=2AF. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD 因为CE∥AB, 所以∠E=∠BAD,∠DCE=∠B. 所以∠CAD=∠E. 所以AC=EC. 因为CF⊥AE, 所以AF=EF,即AE=2AF. 因为AD=AB, 所以∠B=∠ADB. 又因为∠DCE=∠B,∠CDE=∠ADB, 所以∠DCE=∠CDE 所以EC=ED. 所以EC=ED=AC. 所以AE=AD+ED=AB+AC. 所以AB+AC=2AF 2.(1)如图，因为EFAD 所以∠1=∠4，∠2=∠P. 因为AD平分∠BAC, 所以∠1=∠2. 所以∠4=∠P. 所以AF=AP, 所以△APF是等腰三角形. (2)AB=PC. 因为CH∥AB, 所以∠5=∠B,∠H=∠1. 因为EF∥AD 所以∠1=∠3. 所以∠H=∠3. 在△BEF和△CDH中， ∠B=∠5 因为∠3=∠H, BE=CD, 所以△BEF≌△CDH(AAS) 所以BF=CH. 因为∠1=∠2， 所以∠2=∠H 所以AC=CH 所以AC=BF. 又因为AB=AF+BF,PC=AP+ AC,AF=AP, 所以AB=PC. H (第2题) 3.(1)设当点M,N运动x秒时，M, N两点重合 由题意，得x×1+12=2x,解得 x=12. 所以当点M,N运动12秒时，M,N 两，点重合 (2)设点M,N运动t秒时，可得到等 边三角形AMN,如图①. 由题意，得AM=t×1=t,AN= AB-BN=12-2. 因为△AMN是等边三角形， 所以t=12-2t,解得1=4. 所以当点M,N运动4秒时，可得到 等边三角形AMN. (3)存在. 由(1)知，12秒时M,N两点重合，恰 好在点C处 如图②，假设△AMN是以MN为底 边的等腰三角形， 所以AN=AM 所以∠AMN=∠ANM, 所以∠AMC=∠ANB. 因为AB=BC=AC, 所以△ACB是等边三角形 所以∠C=∠B 在△ACM和△ABN中， ∠AMC=∠ANB, 因为∠C=∠B, AC=AB, 所以△ACM≌△ABN(AAS). 所以CM=BN」 设当点M,N在BC边上运动，点M, N运动的时间为y秒时，△AMN是 等腰三角形 所以CM=y-12,BN=36-2y. 所以y-12=36-2y,解得y=16. 所以假设成立. 所以当点M,N在BC边上运动时， 存在以MN为底边的等腰三角形 AMN,此时点M,N运动的时间为 16秒. ① C ② (第3题) 4.(1)因为△ABC和△ADE都是等 边三角形， 所以AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE=∠ACB=∠ABC=60. 所以∠BAC-∠CAD=∠DAE ∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC. 因为 ∠BAD=∠CAE, AD-AE, 所以△ABD2△ACE(SAS)」 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE. 因为AB⊥直线1， 56 所以∠ABD=90° 所以∠ACE=90°，∠CBF=∠ABD ∠ABC=90°-60°=30. 又因为点E,C,F在同一条直线上， ∠ACB=60°， 所以∠BCF=180°-∠ACE ∠ACB=180°-90°-60°=30°. 所以∠CBF=∠BCF. 所以BF=CF 因为BD=DF+BF 所以BD=DF+CF=CE,即DF= CE-CF (2)在题图②中，DF=CF一CE:在 题图③中，DF=CE+CF. (3)分三种情况讨论： ①如题图①，当点F在线段BD 上时， 因为BD=2BF, 所以设BF=x,则BD=2x. 由(1)，知CF=BF=x,CE=BD=2x, 所以EF=CE+CF=3.x=6. 所以x=2,即CF=2. ②如题图②，当点F在线段BD的延 长线上时， 因为BD=2BF, 所以不符合题意 ③如题图③，当点F在线段DB的延 长线上时， 因为BD=2BF, 所以设BF=y,则BD=2y. 与(1)同理，可得CE=BD=2y, CF=BF=y, 所以EF=CE一CF=y=6. 所以CF=6. 综上所述，C℉的长为2或6. 方法归纳 证明线段a=b士c型等式的方法 仔细观察、合理推理、猜想验 证是几何证明常用的思维方式.在 证明线段a=b士c型的等式成立 时，一般首先利用图形中隐含的与 线段a,b,c相关的和、差关系，在 此路行不通的情况下再考虑用“截 长补短法”来证明