1.6 线段垂直平分线的性质-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 1.6 线段垂直平分线的性质 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线交 5.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分 边AC于点E,交边AB于点D,若AC的长 BD,垂足为E,下列结论中，不一定成立的是 为16cm,BE的长为12cm,则E℃的长为 () ( ) A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.12 cm (第5题) D A.AB-AD B.AC平分∠BCD (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别 C.BD垂直平分AC D.△BEC≌△DEC 以点B,C为圆心，大于2BC的长为半径作 6.如图，在△ABC中，以点A为圆心， 弧，两弧相交于点M,N;②作直线MN交 AC长为半径作弧交BC于点D,再 AB于点D,连结CD.下列结论中，正确的是 分别以点B,D为圆心，大于BD ( A.CD+DB-AB B.CD+AD-AB 的长为半径作弧，两弧分别交于点M,N,连 C.CD+AC=AB D.AD+AC=AB 结MN交AB于点E.已知△ADE的周长为 3.如图，AD是线段BC的垂直平分 13,AC=5,则AB的长为 () 线.已知△ABC的周长为14cm, M BC=4cm,则AB= cm. 4.如图，在四边形ABCD中，E是BDC BC的中点，F是CD的中点，且 （第3) 米N (第6题)》 AE⊥BC,AF⊥CD.求证：AB=AD, A.7 B.8 C.9 D.10 7.如图，在△ABE中，AD⊥BE于点D,C是 R BE上一点，BD=DC,且点C在AE的垂直 (第4题) 平分线上.若△ABC的周长为30，则DE的 长为 D (第7题) 24 第1章三角形的初步知识 8.如图，△ABC是锐角三角形 思维拓展 (1)用尺规过点A作BC的垂线，垂足为D; 10.如图，在四边形ABCD中，AD∥ 过点A作AB的垂线，交BC的延长线于点 BC,E为CD的中点，连结AE E(不写作法，保留作图痕迹). BE,BE⊥AE,延长AE交BC的 (2)在所画图中，AD是哪些三角形的高线？ 延长线于点F, (1)求证：FC=AD. (2)试判断AB,BC,AD之间的数量关系， 并说明理由、 (第8题) (第10题) 9.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别 与边AB,AC交于点D,E,若△ABC与 △BCE的周长分别是36cm,22cm,求AD 的长 (第9题) 25因为AB=AC,AF=AG, 所以AB-AE=AC-AF,即BE=CF. B D ② (第4题) 5.(1)因为AE⊥直线1，BD⊥ 直线1， 所以∠AEC=∠CDB=90°. 所以∠EAC+∠ACE=90. 因为∠ACB=90°， 所以∠DCB+∠ACE=90°. 所以∠EAC=∠DCB. 在△AEC和△CDB中， ∠AEC=∠CDB, 因为∠EAC=∠DCB, AC=CB, 所以△AEC≌△CDB(AAS) (2)如图①，过点B'作B'D⊥AC于 点D,则∠ADB'=90. 因为斜边AB绕，点A按逆时针方向 旋转90°至AB′， 所以AB'=AB,∠B'AB=90°，即 ∠B'AC+∠BAC=90°. 因为∠ACB=90°， 所以∠ABC+∠BAC=90°. 所以∠ABC=∠B'AC. 在△B'AD和△ABC中， ∠ADB'=∠BCA=90, 因为∠B'AD=∠ABC, AB'=BA, 所以△B'AD≌△ABC(AAS. 所以B'D=AC=6. 所以SAt=2AC·BD=2X 6×6=18. (3)根据题意，画出图形如图②所示. 因为△BCE是等边三角形， 所以BC=EC=BE=4cm,∠CBE= ∠BCE=60° 所以OB=BC-OC=4-3=1(cm), ∠OBF=∠PCO=120°. 所以∠2+∠3=180°-∠PCO=60. 因为线段OP绕，点O按逆时针方向旋 转120得到线段OF, 所以∠FOP=120°，OP=OF 所以∠1+∠2=180°-∠FOP=60°. 所以∠1=∠3. 在△BOF和△CPO中， 「∠OBF=∠PCO, 因为∠1=∠3， OF=PO. 所以△BOF≌△CPO(AAS). 所以OB=PC=1cm. 所以EP=EC+PC=4+1=5(cm). 所以点P运动的时间为5÷2号（®. 0 B (第5题) 易错警示 未画出符合题意的图形 而导致错误 解决这类探究题时，要了解条 件中“动点”的真正含义，画出符合 题意的图形，不要受题中原有图形 的影响而直接解答，这样的结果往 往是错误的.因此，解题时我们要 认真审题，在原有思路的基础上让 图形中的“动点”真正动起来，寻求 正确的结论 1.6线段垂直平分线的性质 1.C2.B3.5 4.连结AC 因为E是BC的中点，AE⊥BC, 所以AE是线段BC的垂直平分线！ 所以AB=AC. 11 同理，可得AC=AD, 所以AB=AD. 5.C解析：因为AC垂直平分BD, 所以AB=AD,CB=CD,BE=DE, AE⊥BD.故A正确.在△BEC和 BE=DE, △DEC中，因为CB=CD,所以 EC=EC, △BEC≌△DEC(SSS).所以∠BCE= ∠DCE,即AC平分∠BCD.故BD正 确.因为AE与EC不一定相等，所以 BD不一定垂直平分AC.故C错误. 6.B解析：由作图可知，AD=AC= 5,直线MN垂直平分BD,所以BE= DE.因为△ADE的周长为13，所以 AE+DE+AD-AE+BE+AD- AB+AD=13.所以AB=13-5=8. 7.15解析：因为BD=DC,AD BE,所以AB=AC.因为点C在AE 的垂直平分线上，所以AC=CE.因为 △ABC的周长是30，所以AC+AB+ BD+CD=30.所以AC+CD=15. 所以DE=CD+CE=CD+AC=15: 8.(1)如图，AD,AE即为所求作. (2)AD为△ABD,△ABC,△ADC, △ABE,△ADE,△ACE的高线. B (第8题) 9.因为DE是AB的垂直平分线， 所以AE=BE,AD=BD=号AB. 因为△BCE的周长是22cm, 所以BC+BE+EC=22cm. 所以BC+AE+EC=22cm,即AC+ BC=22 cm. 因为△ABC的周长是36cm, 所以AB+AC+BC=36cm. 所以AB=36-22=14(cm). 所以AD=号AB=号×X14=7(cm. 10.(1)因为AD∥BC, 所以∠ADC=∠ECF. 因为E是CD的中点， 所以DE=EC. 在△ADE和△FCE中， ∠ADE=∠FCE 因为DE=CE, ∠AED=∠FEC, 所以△ADE2△FCE(ASA). 所以FC=AD. (2)AB=BC+AD 理由：因为△ADE≌△FCE, 所以AE=FE,AD=FC. 又因为BE⊥AF, 所以BE是线段AF的垂直平分线 所以AB=BF=BC+CF」 因为AD=FC 所以AB=BC+AD. 1.7角平分线的性质 1.B2.15 3.因为AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, 所以DE=DF,∠BED=∠CFD=90 在△BED和△CFD中， (BE=CE 因为∠BED=∠CFD, DE=DE, 所以△BED≌△CFD(SAS) 所以BD=CD,即D是BC的中点！ 4.B解析：因为角平分线上的点到 角两边的距离相等，所以△ABC三条 角平分线的交，点到△ABC三边的距 离相等.所以凉亭的位置应选在 △ABC三条角平分线的交点！ 5.C解析：如图，过点P作PF⊥ AC于点F,PG⊥BC于点G,PH⊥ AB于点H.因为△ABC的外角平分 线BD与CE相交于点P,点P到AC 的距离为3，所以PH=PG=PF=3. 所以，点P到AB的距离为3. D B H (第5题) 6.C解析：当PE⊥BC时，PE的长 取得最小值.因为AB∥CD,AD过，点 E,且DA⊥AB,所以AD⊥CD.因为 BE和CE分别平分∠ABC和 ∠BCD,所以PE=AE,PE=DE,即 PE=专AD.因为AD=8,所以 PE=4,即PE长的最小值为4. 7.2解析：过点D作DF⊥BC,交 BC的延长线于点F.因为BD是 ∠ABC的平分线，DE⊥AB,所以 DE=DF.因为△ABC的面积是 15cm2,AB=9cm,BC=6cm,所以 3AB·DE+·DF=15.所以 9DE+6DE=30.所以DE=2cm. 8.(1)如图，射线AM即为所求作： (2)因为∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠B=30°，∠C=90°， 所以∠BAC=180°-30°-90°=60°. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=合∠BAC=号X 1 60°=30° 所以∠ADC=∠BAD+∠B=30°+ 30°=60°. M (第8题) 9.因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， (AB=CB, 因为∠ABD=∠CBD, BD=BD, 所以△ABD≌△CBD(SAS) 所以∠ADB=∠CDB 又因为PM⊥AD,PN⊥CD, 所以PM=PN. 12 方法归纳 运用角平分线的 性质的两点注意 (1)运用角平分线的性质时 角平分线、角平分线上的点到角两 边的距离两个条件缺一不可，不能 错用为角平分线上的点到角两边 任意点的距离相等. (2)由角平分线的性质不用证 全等可以直接得到线段相等，这是 证线段相等的一个简便方法。 10.6:5:3解析：过点O作OD AB于点D,OE⊥BC于点E,OF1 AC于点F.因为AO,BO,CO分别位 于△ABC的角平分线上，所以OD= OE=OF.所以S△Ao：S△D· Saco=(号AB·OD):(2BC· OE):(2CA·OP)=AB:BC: CA=12:10:6=6:5:3. 1L.过点D作DM⊥AB于点M, DN⊥AC于点N,则∠EMD= ∠FND=90. 因为AD平分∠BAC,DM⊥AB, DN⊥AC, 所以DM=DN. 因为∠EDF+∠EAF=180°， 所以∠MED+∠AFD=180°X2 180°=180. 因为∠AFD+∠NFD=180°， 所以∠MED=∠NFD. 在△EMD和△FND中， 1∠MED=∠NFD, 因为{∠EMD=∠FND, DM-DN, 所以△EMD≌△FND(AAS). 所以DE=DF. 第1章整合拔尖 [高频考点突破] 典例12解析：若分长度为4cm 的木棒，则分得的两段木棒的长度之 和为4cm<6cm,不能做成三角形： 若分长度为6cm的木棒，则可分为 1cm和5cm,2cm和4cm,3cm 和3cm,因为1+4=5，所以长度为