3.1 勾股定理的探究-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 第1课时 勾股定理的发现 白基础进阶 5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC= 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°若AB 20,CD=12,BD=9.求AB与BC的长， 15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积 和为 (第5题) (第1题) A.225B.200 C.150D.180 2.某直角三角形中一直角边的长为9，另两边的 长为连续自然数，则直角三角形的周长为 ( A.121B.120C.90D.100 3.如图所示为一棵美丽的“勾股树”，其中所有 幻素能攀升 的四边形都是正方形，所有的三角形都是直 6.如图所示为由两个直角三角形和三个正方形 角三角形.若最大的正方形G的边长是 组成的图形，其中涂色部分的面积是()》 6cm,则正方形A、B、C、D、E、F、G的面积 A.50 B.16 C.25 D.41 之和是 cm". D B 12 A A S.B (第6题) (第7题) 7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD= (第3题) 90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个 4.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点 正方形.若S1+S4=135,S3=49,则S2的 A、B、C都在格点上，以点A为圆心，AB长 值为 ( 为半径画弧，交最上方的网格线于点D,则侧 A.184 B.86 C.119 D.81 CD的长为 8.某直角三角形的一条直角边的长为8，另一条 直角边与斜边的长度之和为32，则斜边的 长为 () (第4题) A.8 B.10C.15 D.17 62 第3章勾股定理 9.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边思维拓展 形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对 13.一个钝角三角形的两边长为3、4 角线AC、BD交于点O.若AD=2,BC=4, 则第三边的长可以为 则AB+CD的值为 A.4 B.5 E C.6 D.7 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5cm,BC=3cm,动点P从点A出发，沿射 D (第9题) (第10题) 线AC以1cm/s的速度运动，连接BP,设 10.如图，CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分 运动时间为ts. 别为B、E,AE、BC相交于点F, (1)当△ABP为直角三角形时，求t的值. AB=CB.若AB=8,CF=2,则 (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值. CD的长为 11.如图①②③，已知点C,请你按下列要求分 别设计一个△ABC,使∠C=90°，AC=BC. P→C (第14题)》 (1)AB的长为无理数，AC、BC的长均为 有理数. (2)AB的长为有理数，AC、BC的长均为 无理数 (3)三边的长均为无理数。 ⊙ ② 回 (第11题) 12.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于 点D,M为AC的中点，连接DM, (1)若∠A=42°，求∠DCB的度数， (2)若BD=1,CD=3,求DM的长 B D (第12题) 63 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时 勾股定理的证明 自基础进阶 面积不变证明了勾股定理.请你写出用该方 1.如图所示的三幅图中，能用于证明勾股定理 法证明勾股定理的过程 的是 a b C a B a B ① ② ② (第1题) (第5题) A.①③B.②③C.①② D.①②③ 2.如图，四个全等的直角三角形 D 围成一个大正方形ABCD, 中间涂色部分是一个小正方 形EFGH.若AB=10,AE= (第2题) 8,则正方形EFGH的面积为 ( A.4B.8 C.12 D.16 3.小明将4个全等的直角三角形拼成如图所示 的五边形，添加适当的辅助线后，用等面积法 建立等式证明勾股定理.小明用两种方法表 幻素能攀升 示五边形的面积，分别是S1 6.下列四幅图是由四个全等的直角三角形拼成 S2= 的，其中不能证明勾股定理的是 C a E b D (第3题) (第4题) 4.把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形 7.新考向·数学文化“赵爽弦图”巧妙地 状，使点A、E、D在同一条直线上，连接BC, 利用面积关系证明了勾股定理，是 利用此图的面积可以得到一个关于a、b、c的 我国古代数学的骄傲.如图所示的 代数恒等式，这个恒等式为 “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一 5.学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定 个小正方形拼成的.其中c=100,b一a=20, 理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股 则每个直角三角形的面积为 定理的方法：如图①，B是正方形ACDE边 CD上一点，连接AB,得到Rt△ACB,三边 长分别为a、b、c,将△ACB裁剪拼接至 △AEF的位置，如图②，该同学用图①②的 (第7题) 64 第3章勾股定理 8.当两个全等的直角三角形按如图①或图②所思维拓展 示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明 9.如图，E为AC上一点，AC⊥BC 勾股定理，下面是小聪利用图①证明勾股定 AC⊥AD,AB=DE,AB、DE交于 理的过程： 点F,且AB⊥DE,连接BD、BE 将两个全等的直角三角形按如图①所示的方 (1)试判断线段BC、DA、CE的数量关系，并 式摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. 说明理由. 证明：连接DB,过点D作DF⊥BC,交BC (2)若设BC=a,AC=b,AB=c,利用此图 的延长线于点F,则DF=EC=b一a. 证明勾股定理. 1 :'S四边形ADCB=S△ACD十S△ABC= 又.S四边形ADCB=S△ADB十S△DBC= 0+ 1 2a(b-a), (第9题) :+ 1 2人 2a(6-a). ∴.a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按如图②所示的方 式摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2. C B a B ① ② (第8题) 65-1.-814.9 [变式]①3%5. (2)-√35、√0.15、10、9243、 0.2020020002…(相邻的两个“2”之 间依次多一个“0”). (3)3、号、0.5、而、2 23 0.2020020002…(相邻的两个“2”之 间依次多一个“0”). (4)-√35、3一125」 6创翠 (6)3、3-125. 典例4D [变式](1)2w2-1. 解析：√T<√2<√4，∴.1<√2<2 ∴.2<2+1<3.∴.√2+1的整数部 分为2，小数部分可以表示为√2十1一 2=2-1. (2)厅<5<4， .1<5<2. .3<5+2<4. .√5+2的整数部分是3，小数部分 是5+2-3=√5-1. :√5十2的小数部分是a, ∴.a=5-1. √T<5<√4， .1<52. .-2<-5<-1. ∴.5<7-√5<6. .7一√3的整数部分是5，小数部分 是7-√5-5=2-√5. 7一√5的小数部分是b, .b=2-3 .a+b=√3-1+2-√3=1. 典例5B 「变式1D 典例6，x2-2y十√5y=10+35, ∴.(x2-2y-10)+5(y-3)=0. :x、y是有理数， .x2-2y-10、y一3也是有理数. ,√5是无理数， .∴.y-3=0,x2-2y-10=0. .y=3,x=士4. 当x=4,y=3时，x十y=4十3=7：当 x=一4，y=3时，x+y=-4十 3=-1. 综上所述，x十y的值为7或-1. 变式].m2-22-√2n=17-4W2, .(m2-2n-17)+√2(4一n)=0. m、n为有理数， .'.m2-2-17=0,4-n=0. ∴.m=±5，n=4. 当m=5,n=4时，m+n=5十4=9： 当m=-5,n=4时，m十n=-5+ 4=-1. .m十n的值是9或-1. [综合素能提升] 1.C2.A3.D4.C 5.B解析：212×23+44×22 224=[(22-1)×(22+1)]2+44× 22-22=(222-1)2+44×22- 224=224-2×222+1+2×222 224=1.T=1,∴.M=1. 6.π7.√7 8.一3解析：点B表示的数为 √5，点B关于原点O的对称点为 D,.点D表示的数为一√15..点 C在点A、D之间，.一5< m<-5.-4<-√15<-3， -3<-5<-2,.-√15< -3<-√5.m为整数，∴m的值 为-3. 9.4十π解析：由题意，可得当点A 第一次落在数轴上时，点A表示的数 为4计宁××xx4=4计 10.设小正方体的棱长为xcm,则大 正方体的棱长为3.ccm. 由题意，得x3+(3.x)3=56×32,即 28.x3=56×32, 30 '.x3=64 '.x=4. '.3x=12. ∴.这两个正方体的棱长分别为4cm 和12cm. 11.(1)√20≈4.47， ∴.√2000≈4.47×10=44.7. (2).191.8=1.918×100, .√a=√3.68X10000=√36800. ∴.a=36800. (3)1.26×10=12.6, ∴./1000m=m. ∴.10002=m,即m=1000. 第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究 第1课时勾股定理的发现 1.A2.C3.1084.3-5 5..CD⊥AB, ..∠ADC=∠BDC=90° 在Rt△CDB中，由勾股定理，得 BC2=CD2+BD2=122+92=225, .BC=15. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD2=AC2-CD2=202-122=256, .AD=16. .AB=AD+DB=16+9=25. 6.A7.B 8.D解析：设该直角三角形的斜边 长为x.由勾股定理，得x2=82十 (32一x)2,解得x=17..∴.斜边的长 为17. 9.20 10.10解析：：CB⊥AD,AE⊥ DC,∴.∠ABF=∠CBD=∠AED= 90°.∴.∠A+∠D=90°，∠C+ ∠D=90°..∠A=∠C.在△ABF ∠A=∠C, 和△CBD中，AB=CB, ∠ABF=∠CBD, .△ABF≌△CBD.∴BF=BD. AB=CB=8,CF=2,∴.BF= BC-CF=6.'.BD=6.在Rt△BCD 中，CD2=BD2+BC,∴.易得CD=10. 11.答案不唯一，如 (1)如图①所示. (2)如图②所示. (3)如图③所示. B ① ③ (第11题) 12.(1)AB=AC,∠A=42, ·∠ACB=∠B=7X(180 42)=69°. CD⊥AB, .∠ADC=∠BDC=90 .∠DCB=90°-69°=21°. (2)设AB=AC=x,则AD=x一1. 在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2, .x2=32+（x-1)2,解得x=5. ..AC=5. 在Rt△ADC中，M为AC的中点， :DM=2AC=2.5, 13.C 14.(1)∠ACB=90°，AB=5cm, BC=3 cm,AC2=AB2-BC2, .'AC=4 cm. ①当∠APB为直角时，点P与点C 重合，AP=AC=4cm, .t=4 ②当∠ABP为直角时，AP=tcm, CP=(t-4)cm,BC=3 cm. 在Rt△BCP中，BP=BC2+CP2, 在Rt△BAP中，AB2+BP2=AP, .52+[32+(t-4)2]=t2,解得 综上所述，当△ABP为直角三角形 时的值为4或翠 (2)①当AP=AB时，t=5. ②当AB=BP时，易得AP=2AC= 8 cm, .t=8 ③当PB=PA时，易得PB=PA= 4 cm,CP=(4-t)cm,BC=3 cm, 在Rt△BCP中，BP2=BC2+CP2, 六=3+4-，解得1号 综上所述，当△ABP为等腰三角形 时：的直为5或8或器 第2课时勾股定理的证明 1.C2.A3.c2+aba2+b2+ ab 4.a2+62=c2 5.如图，连接BF AC=6, .正方形ACDE的面积为b2. 由题意，得CD=DE=AC=b,EF= BC=a,∠CAE=90°， .BD=CD-BC=6-a,DF=DE+ EF=a+b,∠BAC+∠BAE=90 :∠BAC=∠EAF, .∴.∠EAF+∠BAE=90° .∴.∠BAF=90°. AB=AF=c, ∴.△BAF为等腰直角三角形 :四边形ABDF的面积为22十 2(b-a)(a+b)三2c2十2 1(b2 a2). ,正方形ACDE的面积与四边形 ABDF的面积相等， ∴.b2= 0+0 1 2a. 1 ∴.a2+b2=c2. \c a B (第5题)》 31 6.A 7.2400解析：由勾股定理，得a十 b2=c2=1002=10000.b-a=20, ∴.b2-2ab+a2=400..10000 2ab=400.∴.ab=4800.∴.每个直角 三角形的面积为76=240， 8.如图，连接BD,过点B作BF⊥ DE,交DE的延长线于点F,则BF= b-a. :S四边形ADFB=S△ABE十S△ADE= 又·S四边无ADFB=S△ADB十S△DFB= +aw- 76+2b+2a-a .a2+b2=c2. C a B (第8题) 9.(1)DA=CE+BC. 理由：如图，AC⊥BC,AC⊥AD, ∴.∠ACB=∠DAE=90° 又AB⊥DE, ∴.∠DFA=∠EFA=90° ∴.∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°. ∴.∠1=∠3. 在△ABC和△DEA中， ∠ACB=∠DAE, ∠1=∠3， AB-DE. ∴.△ABC≌△DEA. .AC=DA,BC=EA 又，AC=CE+EA, ∴.DA=CE+EA=CE+BC. (2)由(1)，得BC=EA=a,AC= DA=6,AB=DE=c. ,S国边形ADWE=S△ADE十S△BDE DE·AF+DE·BF=DE: AB=名c六，SE=SAE十 1 += ∴.a2+b2=c2. E (第9题) 3.2勾股定理的逆定理 1.A2.A3.94.36 5.(1),BC=20cm,CD=16cm, BD=12 cm, ∴.BD2+CD2=BC2. .∠BDC=90. .∠ADC=90. 设AD=xcm,则AC=AB=(x+ 12)cm. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2, 2+16=(+12,解得x兰 AD-号cm (2)如图，过点A作AE⊥BC于点 E,则AE是△ABC的高. 由1，知AB=AC-兰+12-号m AB=AC,AE⊥BC, BE-CE-BC=10cm. 在Rt△AEB中，由勾股定理，得AE= AB-E=(g)-10-1.9。 9 -(cm), .AE=40 m,即△ABC的边BC上 的商是智cm (第5题) 6.D解析：：△ABC是等边三角 形，.∠BAC=60°.△AP'C≌ △APB,∴AP'=AP,P'C=PB, ∠P'AC=∠PAB..易得∠PAP'= ∠BAC=60°.∴.△APP'是等边三角 形.故A正确.又PA:PB:PC= 3:4:5,.设PA=3.x,则PP′= PA=3x,P'C=PB=4x,PC=5x. 根据勾股定理的逆定理可知，△PCP 是直角三角形，且∠PP'C=90°.故B 正确.又△APP'是等边三角形， ∴.∠AP'P=60.∴.易得∠APB= ∠AP'C=150°.故C正确.根据已有 的条件无法计算出∠APC的度数.故 D错误 7.B解析：，c=8,∴.c2=64 (a+b)2-2ab=100-36=64, ∴a2十b2=c2..该三角形是直角三 角形 一方法归纳 判断直角三角形的方法 若已知条件与角度有关，则可 利用三角形的内角和定理判断，得 出其中的一个角等于90°.若已知 条件与边有关，则一般通过计算得 出三边的数量关系，看是否符合较 短两边的长的平方和等于最长边 的长的平方. 8.459 9.16.9解析：在△BDC中，BD= 5,CD=12,BC=13,.∴.BD2+CD2= 25+144=169,BC2=169.∴.BD2+ CD2=BC2..△BCD是直角三角 形，且∠BDC=90°.∴.∠ADC= 180°-∠BDC=90°.设AB=AC= x,则AD=AB-BD=x-5.在 Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2, .（x-5)2十144=x2,解得x= 16.9..AB=16.9. 10.(1)设BE=AE=x. BD=16, .ED=BD-BE=16-. .AD⊥BC, ∴.∠ADE=∠ADC=90°. 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE, .x2=122+(16-x)2,解得x=12.5. 32 '.DE=16-x=3.5. .DE的长为3.5. (2)在Rt△ABD中，AD=12,BD=16, ..AB =√BD'+AD √16+122=20. 在Rt△ADC中，AC=15,AD=12, ∴.CD AC?-AD2 √/152-122=9. .'BC=BD+CD=25. AB2+AC2=202+152=625, BC2=252=625, .'AB2+AC2=BC2. .△ABC是直角三角形，且 ∠BAC=90°. 11.(1).AD是边BC上的中线， BD=DC=BC=6. BD2+AD2=62+82=102=AB2, .△ABD为直角三角形，且 ∠ADB=90. .AD⊥BC :AD是边BC上的中线， .AB=AC. ∴.△ABC为等腰三角形 (2)由(1)，知AC=AB=10. AH+BH+CH=AC+BH= 10+BH, .当BH的长最小时，AH+BH+ CH有最小值. 由垂线段的性质，可知当BH⊥AC 时，BH的长最小， 此时号AC,BH=BC·AD, 、.BH=BC,AD_12X8=9.6 AC 10 .AH+BH+CH的最小值为10+ 9.6=19.6. 12.(1)当m=2,n=1时，a=5,b= 4,c=3, .32+42=52, ∴.a、b、c的值能为直角三角形三边 的长. (2)m2+n2;2m;m2-n2. (3)以a、b,c为边长的三角形一定为 直角三角形.