第1章 专题特训2 添加辅助线构造全等三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

.△ACE≌△DCB. .AE=DB,∠AEC=∠DBC. .∠DBC+∠CGB=90°，∠EGF= ∠CGB, ,∴.∠AEC+∠EGF=90°. ∴.∠AFB=90. .AE⊥BD. 综上所述，AE=BD,AE⊥BD. E H D A B C 1 E D G B C A ② (第7题) 专题特训二添加辅助线 构造全等三角形 1.连接BC. AB=DC, 在△ABC和△DCB中，AC=DB, BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB. .∠A=∠D 2.如图，连接AC. (AE=AF, 在△ACE和△ACF中，CE=CF, AC-AC, .△ACE≌△ACF. ..∠EAC=∠FAC. 在△ACB和△ACD中， ∠B=∠D=90°， ∠BAC=∠DAC, AC=AC. ∴.△ACB≌△ACD. .'CB=CD. D C B E A (第2题) 3.如图，延长FD至点G,使得GD= DF,连接BG、EG :AD是△ABC的中线， ∴.CD=BD. 在△DFC和△DGB中， DF=DG, ∠CDF=∠BDG, CD=BD, .△DFC≌△IDGB. ∴.CF=BG. DE⊥DF, .'.∠FDE=∠GDE=90° 在△EDF和△EDG中， DF=DG, ∠FDE=∠GDE, DE-DE, '.△EDF≌△EDG. .EF=EG. 在△BEG中，BE+BG>EG, .BE+CF>EF. E ‘D 、 G (第3题) 4.如图，延长AM到点E,使AM= ME,连接BE,延长A'M到点E',使 A'M=ME',连接B'E, ,AM是边BC上的中线， .∴.BM=CM. 在△AMC和△EMB中， (AM-EM, ∠AMC=∠EMB, CM-BM. ∴.△AMC≌△EMB. ∴.∠MAC=∠E,AC=EB. 同理，可得∠E=∠MA'C',B'E'= A'C'. AC=A'C', .BE=B'E'. AE=2AM,A'E=2A'M,且 AM=A'M', .AE=A'E' AE-AE, 在△ABE和△A'BE中，{BE=B'E', AB-A'B', 11 ∴.△ABE≌△A'B'E' ∴.∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E'. 又：∠E=∠MAC,∠E=∠MA'C', ∴.∠MAC=∠MA'C'. ∴.∠BAM+∠MAC=∠B'A'M'+ ∠MA'C',即∠BAC=∠BA'C'. 在△ABC和△A'BC中， (AB=A'B', ∠BAC=∠B'A'C', AC=A'C, ∴.△ABC≌△A'B'C'. B M C B' M C E (第4题) 5.如图，在AB上截取AE,使AE= AC,连接PE AE-AC, 在△AEP和△ACP中，∠1=∠2， AP=AP, ∴.△AEP≌△ACP. ∴.PE=PC 在△PBE中，BE>PB一PE, .AB-AE>PB-PC,即AB AC>PB-PC. E B (第5题) 6.(1)在△ABC中，∠B=60°， ∴.∠BAC+∠ACB=180°-∠B= 180°-60°=120° :AD平分∠BAC,CE平分∠ACB, :.∠OAC=∠OAB=2 ∠BAC, ∠0cD=∠0CA=7∠AcB. ∴.在△OAC中，∠AOC=180° (∠OAC+∠OCA)=180°- (∠BAC+∠ACB)=1S0-X 120°=120. (2)∠AOC=120°， .'.∠AOE=∠DOC=180° ∠A0C=180°-120°=60. 如图，在AC上截取AF=AE,连 接OF. 在△AOE和△AOF中， (AE=AF, ∠OAE=∠OAF, OA=OA, ∴.△AOE≌△AOF ∴.∠AOE=∠AOF=60° ,'.∠COF=∠AOC-∠AOF= 120°-60°=60. 又：∠COD=60°， ∴.∠COD=∠COF. 在△COD和△COF中， ∠COD=∠COF, OC=OC, ∠OCD=∠OCF, '.△COD≌△COF. .'CD=CF. 又：AF=AE ,.AC=AF+CF=AE+CD,即 AE+CD=AC (3)△AOE≌△AOF,△COD≌ △COF, .OE=OF,OD=OF .'OE=OD. A 0 D (第6题) 7.EF=BE+CF. 理由：如图，延长AB到点M,使 BM=CF,连接MD ,∠ABD+∠C=180°，∠ABD+ ∠MBD=180°， .∠MBD=∠C 在△BDM和△CDF中， BD=CD, ∠MBD=∠C, BM=CF, '.△BDM≌△CDF .DM=DF,∠BDM=∠CDF ,'∠EDB+∠CDF=∠CDB- ∠EDF=120°-60°=60°， .'.∠EDM=∠EDB+∠BDM= 60°=∠EDF 在△DEM和△DEF中， (DE=DE, ∠EDM=∠EDF, DM-DF, '.△DEM≌△DEF. '.EM=EF」 EM=BE+BM=BECF, .EF=BE+CF. E B M-- 0 (第7题) 8.C解析：如图，延长AP交BC于 点D.BP平分∠ABD, ∴.∠ABP=∠DBP.BP⊥AP, ∴.∠BPA=∠BPD=90°.又：BP= BP,∴.△BAP≌△BDP.∴.AP= DP.∴.△BAP的面积=△BDP的 面积，△APC的面积=△DPC的面 积.：△ABC的面积为12cm2, ∴.△PBC的面积=△BDP的面 积+△DPC的面积=号×△ABC的 面积=2×12=6(cm2). B D (第8题) 9.B解析：如图，过点E作EF⊥ AD于点F.∴.∠AFE=∠DFE= 90°.AB/CD,∠C=90°，∴.∠B+ ∠C=180°.∴.∠B=90°.AE、DE 分别平分∠BAD、∠CDA,∴.∠BAE= ∠FAE,∠CDE=∠FDE.在△ABE 和△AFE中，∠B=∠AFE=90°， ∠BAE=∠FAE,AE=AE, ∴.△ABE≌△AFE.∴.AB=AF= 12.在△CDE和△FDE中，∠C= ∠DFE=90°，∠CDE=∠FDE, ED=ED,.△CDE≌2△FDE 12 .CD=FD=4..AD=AF+ FD=12+4=16. B E C (第9题) 1.4线段垂直平分线 与角平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 1.A2.C3.64.5 5.在△AOB和△COD中， ∠A=∠C, ROA=OC, ∠AOB=∠COD, '.△AOB≌△COD .OB=OD. ∴.点O在线段BD的垂直平分线上. .'BE=DE. ∴.点E在线段BD的垂直平分线上， '.OE垂直平分BD 6.B解析：，EF垂直平分AB, ∴.点A、B关于EF对称.如图，设 AC交EF于点D,连接AP.∴.AP= BP,即BP+CP=AP+CP.∴.当点 P和点D重合时，BP+CP的值最 小，最小值等于AC的长..BP十 CP的最小值为6. E D A (第6题) 7.B解析：，DE垂直平分AC, .AD=CD.:△ADC的周长是 16,∴.AD+CD+AC=16.又 .AC =2AD-4,..AD+AD+ 2AD-4=16..AD=5.∴.CD=5. 8.65解析：连接AE、CE..AC BD的垂直平分线相交于点E, '.AE=CE,BE=DE.在△ABE和 AB=CD, △CDE中，AE=CE,'.△ABE≌ BE=DE,拔尖特训·数学（苏科版）入年级上 专题特训二 添加辅助线构造全等三角形 类型一直接连线法 类型二 倍长线段法 1.如图，AB=DC,AC=DB,AC和DB相交于3.如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别在 点E.求证：∠A=∠D AB、AC上，且DE⊥DF,连接EF.求证： BE+CF>EF. (第1题) B D (第3题) 4.如图，在△ABC和△A'B'C'中，AM,AM'分 别是边BC,B'C'上的中线，AB=A'B, 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， AC=A'C,AM=A'M'.求证：△ABC≌ 点E、F分别在AB、AD上，AE=AF,CE= △A'B'C. CF.求证：CB=CD. B (第4题) E A (第2题) 22 第1章三角形 类型三截长补短法 7.如图，在四边形ABDC中，∠B十 5.如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P ∠C=180°，DB=DC,∠BDC= 为AD上一点，连接PB、PC.求证：AB 120°，以D为顶点作一个60°角，角 AC>PB-PC. 的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接 EF.试写出线段BE、CF和EF之间的数量 关系，并说明理由. D (第5题) D (第7题) 6.如图，在△ABC中，∠B=60°， △ABC的角平分线AD、CE相交 于点O. (1)求∠AOC的度数. (2)求证：AE+CD=AC. (3)求证：OE=OD. 类型四利用角平分线构造全等三角形 8.如图，△ABC的面积为12cm,AP垂直于 ∠ABC的平分线BP于点P,连接PC,则 0 △PBC的面积为 () D (第6题) A.9 cm2 B.8 cm2 C.6 cm2 D.5 cm2 B (第8题) (第9题) 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠C 90°，E是BC上一点，AE、DE分别平分 ∠BAD、∠CDA.若AB=12,DC=4,则AD 的长为 () A12 B.16C.18 D.20 23