第1章 专题特训5 构造等腰三角形的常用方法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）入年级上 专题特训五 构造等腰三角形的常用方法 类型一运用“三线合一”求角的度数 类型二运用“三线合一”说明线段或角相等 1.如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA= 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°， 48°，O为△ABC内一点，∠OAB= BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,E是 12°，∠OBC=18°，则∠AC0+ AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长 ∠AOB的度数为 ( 线于点F,连接AF.求证： A.190°B.195°C.200°D.210 (1)EF⊥AB. (2)AF=AB+BC. D B (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD于 (第4题) 点D,∠BAD=20°.若BC=2BD,则∠BAC 的度数为 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC和 ∠ACB的平分线相交于点D,∠BAC的平 分线交BC于点E,∠ADC=125°.求∠ACB 5.如图①，在△ABC中，AB=AC,D是BC的 和∠BAC的度数. 中点，点E在AD上 (1)求证：BE=CE. (2)如图②，若BE的延长线交AC于点F, D 且BF⊥AC,∠BAC=45°，其他条件不变，求 B EC 证：AE=BC (第3题) ② (第5题) 40 第1章三角形 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点8.★在△ABC中，AB=AC,点E在 D,AM是△ABC的外角∠CAE的平分线. AB上，以BE为底边，在△ABC内 (1)求证：AM∥BC. 作等腰三角形DBE,取CE的中点 (2)若DN平分∠ADC,交AM于点N,试 G,连接AG、DG 判断△ADN的形状，并说明理由， (1)如图①，若BE=AE,∠BDE=120°， E ∠BAC=60°，求证：AG⊥DG (2)如图②，若BE≠AE,∠BDE十 ∠BAC=180°，则问题(1)中的结论仍然成立 (第6题) 吗？请说明理由. (1 ② (第8题) 类型三运用“三线合一”说明线段之间的位置 关系 7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D、 E分别为AB、AC上的，点，且满足AE=AD. (1)求证：∠ABE=∠ACD (2)连接AO,试判断AO与BC的位置关 系，并予以证明 Be (第7题) 41∠AED)=90°-x. 此时∠CAB+∠C+∠B=90°-x+ 24°+24°+x≠180°，不合题意，舍去. 综上所述，∠B的度数为44°或16. D 72 108 36 36 A B ① E 5F /67.5角 25 A人67.5 ② AE ③ ④ (第12题) 专题特训五构造等腰 三角形的常用方法 L.D解析：如图，过点C作CD AB,垂足为D,延长BO交CD于点 P,连接AP.∠OBC=18, ∠CBA=48°，∴.∠ABP=∠CBA ∠OBC=30°.∠CAB=∠CBA= 48°，.CA=CB.CD⊥AB, ∴.AD=BD.∴.CD是AB的垂直平 分线.∴.PA=PB.∴∠PAB= ∠PBA=30°.∴.∠CAP=∠CAB ∠PAB=18.∠AOP是△AOB 的一个外角，∴.∠AOP=∠OAB+ ∠OBA=42.,CD⊥AB,∴.∠CDA= 90°.∴.∠ACD=90°-∠CAD=42°. ∴.∠AOP=∠ACD.∠PAB= 30°，∠OAB=12°，∴.∠PAO= ∠PAB-∠OAB=18°..∠CAP= ∠OAP..AP=AP,.∴.△ACP≌ △AOP.∴.AC=AO..∠CAO= ∠CAP+∠OAP=36°，.'.∠ACO= ∠A0C=72..∠AOB=180° ∠OAB-∠OBA=138°，.∠ACO+ ∠AOB=210°. D (第1题) 2.40 3.AB=AC,AE平分∠BAC, ∴.AE⊥BC ∴.∠AEC=90. ∠ADC=125°， ∴.∠CDE=180°-∠ADC=55. ∴.∠DCE=90°-∠CDE=35. 又：CD平分∠ACB, ∴.∠ACB=2∠DCE=70°. 又：AB=AC, ∴.∠B=∠ACB=70° .'.∠BAC=180°-（∠B+ ∠ACB)=40° 4.(1).AB=AC,∠BAC=36°， ∠ABC2X(180-36)= 又BD是∠ABC的平分线， &∠ABD=名∠A=36 '.∠BAD=∠ABD=36° .'AD=BD. 又，E是AB的中点， ∴.ED⊥AB,即EF⊥AB. (2)由(1)，知ED⊥AB. ,E是AB的中点， ∴.EF是AB的垂直平分线. ∴.AF=BF」 '.∠FAB=∠FBA=72. .易得∠AFB=∠FAC=36. ..CF=AC. .AB=AC=CF .AF=BF=CF+BC=AB+BC. 5.(1)AB=AC,D是BC的中点， AD⊥BC. ∴.AD垂直平分BC. 22 ∴.BE=CE (2).BF⊥AC,∠BAC=45°， .易得∠AFE=∠BFC=90°， △ABF是等腰直角三角形， ∴.AF=BF,∠CBF+∠C=90. ,AB=AC,D是BC的中点， .AD⊥BC ∴.∠EAF+∠C=90. ∴.∠EAF=∠CBF. 在△AEF和△BCF中， ∠EAF=∠CBF, RAF=BE. ∠AFE=∠BFC, ∴.△AEF≌△BCF. .AE=BC. 6.(1)AB=AC,AD⊥BC, ·∠BAD=∠CAD-Z∠BAC. AM平分∠EAC, 1 .∠EAM=∠MAC=2∠EAC. ∴.∠MAD=∠MAC+∠CAD= 2∠EAC+2∠BAC 1×180°= 90°. AD⊥BC, .∠ADC=90°. ∴.∠MAD+∠ADC=180. ∴.AMBC. (2)△ADN是等腰直角三角形 理由：，AMBC, .∴.∠AND=∠NDC. .DN平分∠ADC, ∴.∠ADN=∠NDC=∠AND. .AD=AN. 由(1)，得∠MAD=90°， ∴.△ADN是等腰直角三角形. 7.(1)在△ABE和△ACD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD .△ABE≌△ACD. ∴.∠ABE=∠ACD. (2)AO⊥BC. AB=AC, ..∠ABC=∠ACB :∠ABE=∠ACD, ∴.∠ABC-∠ABE=∠ACB ∠ACD. .∠OBC=∠OCB. .OB=OC. 又：AB=AC, ∴.点O、A在线段BC的垂直平分 线上. ∴.AO⊥BC 8.(1)如图①，延长DG至点H,使 GH=GD,连接AD、AH、CH ,G为CE的中点， .GC=GE 在△CHG和△EDG中， :GH=GD,∠CGH=∠EGD, GC=GE, ∴.△CHG≌△EDG. ∴.CH=ED,∠HCG=∠DEG. △DBE是等腰三角形，∠BDE= 120°， ∴.BD=ED=CH,∠BED= ∠EBD=30°. AB=AC,∠BAC=60°， ,.△ABC为等边三角形. ∴.AC=BC,∠ACB=60. BE=AE, ÷CELAB,∠ACE=∠ACB=30 .'.∠BED+∠DEG=90°，∠BAC+ ∠ACE=90°. ∴.∠HCG=∠DEG=60° ∴.∠ACH=∠HCG-∠ACE=30°. ∴.∠ABD=∠ACH. 在△ABD和△ACH中， ,AB=AC,∠ABD=∠ACH, BD=CH, .∴.△ABD≌△ACH. .AD=AH. .HG-DG ∴.AG⊥DG. (2)问题(1)中的结论仍然成立. 理由：如图②，延长DG至点M,使 GM=GD,连接AD、AM,CM. G为CE的中点， GC=GE. 在△CMG和△EDG中， ,GM=GD,∠CGM=∠EGD, GC=GE, ∴.△CMG≌△EDG. '.CM=ED,∠MCG=∠DEG △DBE是等腰三角形， '.BD=ED=CM,∠BED= ∠EBD=2180-∠BDE), :∠BDE+∠BAC=180°， .'.∠BAC=180°-∠BDE. .∴.∠BAC=2∠BED=2∠EBD. :'∠BEC=∠BED+∠DEG= ∠BAC+∠ACE, ∴.∠BED+∠MCG=∠BAC+ ∠ACE. ,∠MCG=∠ACM+∠ACE, ∴.∠BED+∠ACM+∠ACE= 2∠BED+∠ACE ∴.∠ACM=∠BED=∠ABD. 在△ABD和△ACM中， :AB=AC,∠ABD=∠ACM, BD=CM, .△ABD≌△ACM. .∴.AD=AM. .'MG=DG. '.AG⊥DG (第8题) 方法归纳 探究图形变换类问题的 一般方法 探究图形变换类问题的一般 方法是猜想并验证，也就是根据所 给的特殊图形得到的结论进行合 理猜想，并结合问题条件，运用图 形的性质，将问题逐步转化，经过 推理、论证，得出结论」 23 第1章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1答案不唯一，如AD=CD 变式](1)AB⊥DB,AC⊥EC, ∴.∠ABD=∠ACE=90, 在Rt△ADB和Rt△AEC中， AD-AE, AB-AC, ,'.Rt△ADB≌Rt△AEC. ∴.∠ADB=∠AEC. (2),Rt△ADB≌Rt△AEC, .BD=CE. 在Rt△AFC和Rt△AFB中， (AF=AF, AC=AB, ∴.Rt△AFC≌Rt△AFB. ∴.CF=BF '.CE-CF=BD一BF,即EF=DF. 在△DCF和△EBF中， (CF=BF, ∠CFD=∠BFE, DE=EF ∴.△DCF≌△EBF. ∴CD=BE. (3)5. 典例2BF=DE, ∴.BF一EF=DE一EF,即BE=DF (AB=CD, 在△ABE和△CDF中，BE=DF, AE=CF, ∴.△ABE≌△CDF. ∴∠B=∠D. 在△ABO和△CDO中， ∠AOB=∠COD, ∠B=∠D, AB=CD, .△ABO≌△CDO ∴.AO=CO,BO=DO,即AC与BD 互相平分 [变式](1)在△ABD和△CBD (AD=CD, 中，〈AB=CB, BD=BD,