1.4 线段垂直平分线与角平分线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，BC=36,AB边的垂直平 6.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4， 分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相 腰长为6，EF垂直平分AB,P为直线EF上 交于点E、F,连接AE、AF,则△AEF的周 动点，则BP十CP的最小值为() 长为 ( A.10 B.6 C.4 D.2 A.36 B.18 C.32 D.24 的 B B D (第6题) (第7题) (第1题) (第3题) (第4题) 7.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交 2.有下列说法：①若直线PE是线段AB的垂 AB于点D,交AC于点E,连接CD.若 直平分线，则EA=EB,PA=PB;②若 AC=2AD一4，△ADC的周长是16，则CD PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线 的长为 () 段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB A.4 B.5 C.6 D.4.5 的垂直平分线上的点；④若EA=EB,则过 8.如图，AB=CD,线段AC的垂直平分线与线 点E的直线垂直平分线段AB.其中，正确 段BD的垂直平分线相交于点E,连接BE、 的有 ( ) DE.若∠ABE=65°，则∠CDE的度数为 A.1个B.2个C.3个D.4个 0 3.如图，在△ABC中，ED垂直平分BC,若CD= 5,△BCE的周长为22，则BE= 4.如图，线段AB的垂直平分线与线段BC的 垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC (第8题) (第9题) 10cm,则点B、P之间的距离为 cm. 9.如图，在△ABC中，AB=AC= 5.如图，AD与BC相交于点O,OA=OC 10cm,BC=8cm,AB的垂直平分 ∠A=∠C,BE=DE.求证：OE垂直平 线交AB于点M,交AC于点N.若 分BD. 直线MN上存在一点P,使P、B、C三点构 成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长 最小为 cm 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分 (第5题) AC,交AC于点F,交BC于点E,且BD= DE,连接AE. (1)求证：AB=EC. 24 第1章三角形 (2)若△ABC的周长为32cm,AC=12cm,思维拓展 求DC的长 12.★已知有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形.如图①，A、B是 直线！同侧的两个定点.若要在直 B D E 线l上确定一点P,使PA十PB的值最小， (第10题) 我们可以作点A关于直线1的对称点A', 连接A'B交直线L于点P,则此时PA十 PB的值最小 (1)如图②，∠AOB=30°，P是∠AOB内 的一点，OP=10,Q、R分别是OA、OB上的 动点.求△PQR周长的最小值 (2)如图③，∠AOB=20°，点M、N分别在 边OA、OB上，且OM=ON=2,点P、Q分 别在OB、OA上.求MP+PQ+QN的最 小值 11.钝角三角形ABC如图所示， (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，与边 BC、AC分别交于点D、E(不写作法，保留 OM A 作图痕迹). 0 O PN B ① ② ③ (2)在(1)的条件下，作出△ABC的边AC (第12题) 上的高BH(可用三角尺作图)，连接AD,猜 想∠ADE和∠CBH之间的关系，并证明你 的结论 (第11题) 25 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时 角平分线的性质 自基础进阶 (2)试判断AB与AF、BE之间的数量关系， 1.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作 并说明理由， DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则下列 结论不一定正确的是 () A.DE=DF B.BD=CD (第5题) C.AE-AF D.∠ADE=∠ADF C 幻素能攀升 B (第1题) (第2题) 6.如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC,再 2.如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相 分别作△ABC的两条角平分线BE和CD, 交于点P.若点P到AC所在直线的距离为 BE、CD相交于点P,连接AP,下列结论中， 3,则，点P到AB所在直线的距离为() 不一定正确的是 A.1 B.2 A.∠BPC=120 C.3 D.4 B.AP平分∠BAC 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分 C.AD-AE ∠BAC,交BC于点D,且BD:CD=5:4, D.S△PBA:SAPCA=AB:AC (第6题) BC=9,则点D到AB的距离为 7.如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与 BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB 于点M,DN⊥AC,交AC的延长线于点N, 连接BD、CD.有下列结论：①BM=CN; (第3题) ②∠DBC=∠DAN;③∠BAC+∠BDC= 4.如图，△ABC的周长是36，BO、CO分别平 180°；④点D到△ABC各顶点的距离相等. 分∠ABC、∠ACB,OD⊥BC于点D.若 其中，正确的是 () OD=4,则△ABC的面积是 A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①③④ (第4题) 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC (第7题) (第8题) 的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上， 8.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM 且BD=DF 平分∠ADC,且∠ADC=110°，则∠MAB= (1)求证：CF=EB. 26 第1章三角形 9.如图，AE是∠CAM的平分线，点B在射线m思维拓展 AM上，线段BC的垂直平分线交BC、AE于 12.如图，△ABC的外角∠ACD的平 点D、E,过点E作EF⊥AM于点F.若 分线CP与内角∠ABC的平分线 ∠ACB=28°，∠EBD=25°，则∠AED的度 BP交于点P.若∠BPC=40°，则 数为 ∠CAP的度数为 B M (第12题) (第9题) 13.如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠E, 10.如图，AE、BF是△ABC的角平分线，且相 BC=DE,CA=EA,过点A作AF⊥DE, 交于点O.若OE=OF,AC≠BC,求∠ACB 垂足为F,DE交CB的延长线于点G,连 的度数 接AG. (1)求证：GA平分∠DGB. (2②)若SmaA=6,AF=号，求FG的长 B E (第10题) (第13题) 11.如图，在∠AOB的两边OA、OB上 分别取点M、N,连接MN,MP平 分∠AMN,NP平分∠MNB MP、NP交于点P. (1)求证：OP平分∠AOB (2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面 积分别是16和24，求线段OM与ON的长 度之和. (第11题) 27.'.∠AOE=∠DOC=180° ∠A0C=180°-120°=60. 如图，在AC上截取AF=AE,连 接OF. 在△AOE和△AOF中， (AE=AF, ∠OAE=∠OAF, OA=OA, ∴.△AOE≌△AOF ∴.∠AOE=∠AOF=60° ,'.∠COF=∠AOC-∠AOF= 120°-60°=60. 又：∠COD=60°， ∴.∠COD=∠COF. 在△COD和△COF中， ∠COD=∠COF, OC=OC, ∠OCD=∠OCF, '.△COD≌△COF. .'CD=CF. 又：AF=AE ,.AC=AF+CF=AE+CD,即 AE+CD=AC (3)△AOE≌△AOF,△COD≌ △COF, .OE=OF,OD=OF .'OE=OD. A 0 D (第6题) 7.EF=BE+CF. 理由：如图，延长AB到点M,使 BM=CF,连接MD ,∠ABD+∠C=180°，∠ABD+ ∠MBD=180°， .∠MBD=∠C 在△BDM和△CDF中， BD=CD, ∠MBD=∠C, BM=CF, '.△BDM≌△CDF .DM=DF,∠BDM=∠CDF ,'∠EDB+∠CDF=∠CDB- ∠EDF=120°-60°=60°， .'.∠EDM=∠EDB+∠BDM= 60°=∠EDF 在△DEM和△DEF中， (DE=DE, ∠EDM=∠EDF, DM-DF, '.△DEM≌△DEF. '.EM=EF」 EM=BE+BM=BECF, .EF=BE+CF. E B M-- 0 (第7题) 8.C解析：如图，延长AP交BC于 点D.BP平分∠ABD, ∴.∠ABP=∠DBP.BP⊥AP, ∴.∠BPA=∠BPD=90°.又：BP= BP,∴.△BAP≌△BDP.∴.AP= DP.∴.△BAP的面积=△BDP的 面积，△APC的面积=△DPC的面 积.：△ABC的面积为12cm2, ∴.△PBC的面积=△BDP的面 积+△DPC的面积=号×△ABC的 面积=2×12=6(cm2). B D (第8题) 9.B解析：如图，过点E作EF⊥ AD于点F.∴.∠AFE=∠DFE= 90°.AB/CD,∠C=90°，∴.∠B+ ∠C=180°.∴.∠B=90°.AE、DE 分别平分∠BAD、∠CDA,∴.∠BAE= ∠FAE,∠CDE=∠FDE.在△ABE 和△AFE中，∠B=∠AFE=90°， ∠BAE=∠FAE,AE=AE, ∴.△ABE≌△AFE.∴.AB=AF= 12.在△CDE和△FDE中，∠C= ∠DFE=90°，∠CDE=∠FDE, ED=ED,.△CDE≌2△FDE 12 .CD=FD=4..AD=AF+ FD=12+4=16. B E C (第9题) 1.4线段垂直平分线 与角平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 1.A2.C3.64.5 5.在△AOB和△COD中， ∠A=∠C, ROA=OC, ∠AOB=∠COD, '.△AOB≌△COD .OB=OD. ∴.点O在线段BD的垂直平分线上. .'BE=DE. ∴.点E在线段BD的垂直平分线上， '.OE垂直平分BD 6.B解析：，EF垂直平分AB, ∴.点A、B关于EF对称.如图，设 AC交EF于点D,连接AP.∴.AP= BP,即BP+CP=AP+CP.∴.当点 P和点D重合时，BP+CP的值最 小，最小值等于AC的长..BP十 CP的最小值为6. E D A (第6题) 7.B解析：，DE垂直平分AC, .AD=CD.:△ADC的周长是 16,∴.AD+CD+AC=16.又 .AC =2AD-4,..AD+AD+ 2AD-4=16..AD=5.∴.CD=5. 8.65解析：连接AE、CE..AC BD的垂直平分线相交于点E, '.AE=CE,BE=DE.在△ABE和 AB=CD, △CDE中，AE=CE,'.△ABE≌ BE=DE, △CDE.∴.∠ABE=∠CDE. ∠ABE=65°，∴.∠CDE=65. 9.18 10.(1).EF垂直平分AC, .AE=EC. AD⊥BC,BD=DE, .易得AB=AE .AB=EC. (2)由题意，可得AB+BC+AC= 32cm. 'AC=12 cm, ∴.AB+BC=20cm. .AB=EC,BD=DE, :DC=DE+EC=号BE+AB= (BC-CE)+AB-(BC- 1 AB)+AB(AB+BC)=10 cm. 11.(1)如图，DE即为所求作 (2)如图，∠ADE=∠CBH. ,DE是AC的垂直平分线， .AD-CD,AE-CE. 又DE=DE, .△ADE≌△CDE. ∴.∠ADE=∠CDE. ,BH⊥AC,DE⊥AC, .DE//BH. ∴.∠CDE=∠CBH. .∠ADE=∠CBH. (第11题) 12.(1)如图①，作点P关于OB的 对称点P',点P关于OA的对称点 P,连接P'P"交OB于点R,交OA于 点Q,连接OP'、OP”,则∠1=∠2， ∠3=∠4. .OP=OP',OP =OP",RP=RP', QP=QP". ∴.△PQR的周长为RP+RQ+ QP-RP'+RQ+QP"-P'P". 此时△PQR的周长最小，最小值为 P'P"的长 OP=OP',OP =OP", .∴.OP'=OP" ,∠1=∠2，∠3=∠4， .∠P'OP"=∠1+∠2+∠3+ ∠4=2∠2+2∠3=2∠AOB=60°. ∴.△P'OP"为等边三角形. .P'P"=OP'=OP=10,即△PQR 周长的最小值为10. (2)如图②，作点M关于OB的对称 点M,点N关于OA的对称点N',连 接MN'交OB于点P,交OA于 点Q,连接ON'、OM,则∠MOB= ∠AOB,∠N'OA=∠AOB. .OM'=OM=2,ON'=ON =2, MP =M'P,QN=QN'. .∴.MP+PQ+QN=M'P+PQ+ QN-MN 此时MP+PQ+QN的值最小，最小 值为MN'的长 .OM'=OM=2,ON'=ON=2, .OM'=ON'. ∠MOB =∠AOB =20, ∠N'OA=∠AOB=20°， .∴.∠MON'=60. .△MON为等边三角形. .MN'=OM=2,即MP+PQ+ QN的最小值为2. D! ① ② (第12题) 方法归纳 解答阅读理解题的一般方法 阅读理解题是一种给定阅读 材料，先从中获取新知识、新方法、 新思路，再解决新问题的题型.该 题型能够较好地考查同学们阅读 理解、分析问题、解决问题的能力. 解答这类问题时，往往是先阅读问 题的背景材料，再从中获取信息、 方法，最后用获得的方法、思路解 决问题 13 第2课时角平分线的性质 1.B2.C3.44.72 5.(1):'AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB,∠C=90°， .DC=DE. 在Rt△FCD和Rt△BED中， DC=DE, DF-DB, ∴.Rt△FCD≌Rt△BED. .'CF=EB. (2)AB=AF+2BE. 理由：在Rt△ACD和Rt△AED中， DC=DE. AD-AD, '.Rt△ACD≌Rt△AED. .AC=AE. .AB=AE+BE =AC+BE= AF+FC+BE=AF+2BE. 6.C 7.C解析：·AD平分∠BAC, DM⊥AB,DN⊥AC,∴.∠BMD= ∠CND=90°，DM=DN,∠BAD= ∠CAD.:DE是BC的垂直平分线， ∴.BD=CD.在Rt△BDM和 (BD=CD, Rt△CDN 中， DM-DN, ∴.Rt△BDM≌Rt△CDN.,∴.BM= CN,∠BDM=∠CDN.故①正确. ∴.∠BDC=∠MDN.∠BAC+ ∠AMD+∠AND+∠MDN=36O°， ∠AMD=∠AND=90°，'.∠BAC+ ∠MDN=180°..'.∠BAC+ ∠BDC=180°.故③正确.BD= CD,∴.易得∠DBC=∠DCB. '∠DBC+∠DCB+∠BDC= 180°，∴.∠BDC+2∠DBC=180. .∠MDN+∠BAC=180°= ∠MDN+2∠DAN,∴.∠DBC= ∠DAN.故②正确.在△ACD中， ∠ACD>90°，∴.AD>CD.故④错 误.综上所述，正确的是①②③. 8.35解析：过点M作MN⊥AD于 点N..∠B=∠C=90°，∴.∠B+ ∠C=180°...ABCD...∠DAB= 180°-∠ADC=70°.：DM平分 ∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD, .MN=MC.M是BC的中点， '.MC=MB.'.MN=MB.又 MN⊥AD,MB⊥AB,∴.易得 ∠MAB=2∠DAB=35° 9.37°解析：如图，连接CE,过点E 作ER⊥AC于点R,交CD于点Q,设 AE交BC于点O.,DE是线段BC 的垂直平分线，.∠EDC=90°， CE=BE.∴.易得∠ECB=∠EBD= 25°.∴.∠DEB=∠CED=90° 25°=65°.ER⊥AC,ED⊥BC, ∴.∠QRC=∠QDE=90°， ∴.∠ACB+∠CQR=90°，∠EQD+ ∠QED=90.·∠CQR=∠EQD, .∠ACB=∠QED=28.:AE平 分∠CAM,ER⊥AC,EF⊥AM, .ER=EF.在Rt△ERC和 Rt△EFB中，CE=BE,ER=EF, ∴.Rt△ERC≌Rt△EFB.∴.∠EBF= ∠ECR=∠ACB+∠ECD=28°+ 25°=53.，∠EFB=90°，.∠BEF= 90°-∠EBF=90°-53°=37°. ∴.∠REF=∠RED+∠DEB+ ∠BEF=28°+65°+37°=130°. :∠ARE=∠AFE=90,∴.∠CAM= 360°-90°-90°-130°=50°.AE平分 ∠CAM,∴∠CAE=2∠CM=25. ∴.∠DOE=∠CAE+∠ACB= 25°+28°=53°.：ED⊥BC, .∠EDB=90°..∴.∠AED=90° ∠D0E=90°-53°=37° B (第9题) 10.连接CO,过点O作OM⊥BC, ON⊥AC,OH⊥AB,垂足分别为M、 N、H. :AE、BF是△ABC的角平分线， .ON=OH,OM=OH. ∴.OM=ON 在Rt△OEM和Rt△OFN中， OE=OF, OM=ON, .'.Rt△OEM≌Rt△OFN. .∠EOM=∠FON. ∴.易得∠EOF=∠MON=180° ∠ACB. :AE、BF是△ABC的角平分线， :易得∠A0B=90+2∠ACB. :∠AOB=∠EOF, ÷90+2∠ACB=180-∠ACB. .∠ACB=60°. 11.(1)如图，过点P作PC⊥OA于 点C,PD⊥MN于点D,PE⊥OB于 点E. :MP平分∠AMN,PC⊥OA, PD⊥MN, .PC=PD. :NP平分∠MNB,PD⊥MN, PE⊥OB, ∴PD=PE ∴.PC=PE. 又PC⊥OA,PE⊥OB, .OP平分∠AOB. (2).·△PN的面积是16，MN=8, .MN.PD-16 即2X8PD=16 .PD=4. ∴.PD=PC=PE=4. ,△OMN的面积是24， ∴.四边形MONP的面积=△PMN 的面积+△OMN的面积=16+ 24=40. ∴.△POM的面积+△PON的面 积=40. ·20M·PC+2ON·PE=40, 即20M4+20N·4=40, .'.OM+ON=20. 14 '.线段OM与ON的长度之和为20. 公 c DP 0 N E B (第11题) 12.50°解析：过点P作PN⊥BD 于点N,PF⊥BA,交BA的延长线于 点F,PM⊥AC于点M.设∠PCD= x.CP平分∠ACD,∴.∠ACP= ∠PCD=x°，PM=PN.BP平分 ∠ABC,∴.∠ABP=∠PBC,PF= PN..PF=PM..AP平分 ∠CAF.∴.∠FAP=∠MAP. .∠BPC=40°，.∴.∠ABP= ∠PBC=∠PCD-∠BPC=x° 40°.∴.∠BAC=∠ACD-∠ABC= 2x°-(x°-40)-(.x°-40)=80. .∠CAF=100°..∴.∠FAP= ∠MAP=50°，即∠CAP=50. 13.(1)过点A作AH⊥BC于点H 在△ABC和△ADE中， (BC=DE, ∠C=∠E, CA=EA, '.△ABC≌△ADE. .S△Ax=S△AD :2BC·AH=2DE:AE .'AH=AF. 又AF⊥DE,AH⊥BC, ∴.GA平分∠DGB. (2),△ABC≌△ADE, .AB=AD. 在Rt△ADF和Rt△ABH中， (AD=AB, AF-AH ∴.Rt△ADF≌Rt△ABH. .S△ADF=S△ANH: .S四边无GBA=S四边无形APGH=6. 在Rt△AFG和Rt△AHG中， AG-AG, AF=AH, ,'.Rt△AFG≌Rt△AHG .S△AF=S△AHG=3. AF=, .FG=4. 专题特训三线段的垂直 平分线与角平分线 1.C解析：：DE是边AB的垂直 平分线，∴.EB=EA.FG是边BC 的垂直平分线，.GB=GC. △BEG的周长为16，∴.GB+ GE+EB=16...GC+GE+EA= 16...AC+GE+GE=16..'GE= 1,.AC=16-2=14. 2.9 3.(1)设∠PAQ=x,∠CAP=y, ∠BAQ=. MP、NQ分别垂直平分AB、AC, .AP=PB,AQ-CQ. .∠B=∠BAP=x+x,∠C= ∠CAQ=x+y. ∠BAC=80, .∠B+∠C=100. .x+y+之=80°，x+之+x+y= 100°. .x=20° ..∠PAQ=20° (2)△APQ的周长为12， ∴.AQ+PQ+AP=12. .AQ=CQ,AP-PB ∴.CQ+PQ+PB=12,即BC+ 2PQ=12. ,BC=8, .PQ=2. 4.连接CE 线段AB、DE的垂直平分线交于 点C, .'CA=CB,CD=CE ..∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC= ∠EDC=72. ∴.∠ACB=∠DCE. .∠ACE=∠BCD. 在△BCD和△ACE中， (CB=CA, ∠BCD=∠ACE, CD-CE ∴.△BCD≌△ACE. ∴.∠CBD=∠CAE=72°+∠BAE. :∠AEB=92, ∴.∠ABE=180°-∠AEB ∠BAE=180°-92°-∠BAE= 88°-∠BAE. .∴.∠EBD=360°-∠CBD ∠ABC-∠ABE=360°-(72°+ ∠BAE)-72°-(88°-∠BAE)= 128 5.(1).·∠ACF=∠A+∠ABF, ∠ECF=∠BPC+∠DBF, ∴.∠ABF=∠ACF-78,∠DBF= ∠ECF-39. :CE平分∠ACF, '.∠ACF=2∠ECF ∴.∠ABF=2∠ECF-78°= 2(∠ECF-39)=2∠DBF ∴.BD平分∠ABC (2)如图，连接AQ、CQ,过点Q作 QV⊥BA,交BA的延长线于点N. :QG垂直平分AC, ..AQ=CQ. :BD平分∠ABC,QM⊥BC, QN⊥BA, .∴.QM=QN .'.Rt△QNA≌Rt△QMC. .∴.NA=MC .'QN=QM,BQ=BQ, .'.Rt△QNB≌Rt△QMB. .BN=BM ∴.BC=BM+MC=BN+MC= AB+NA+MC ∴.7=4+2MC. .MC=1.5. E D N Q B M C (第5题) 15 6..AD∥BC, .∠ADC+∠BCD=180. DB平分∠ADC,CE平分∠BCD, 1 ·∠ODC=2∠ADC,∠OCD= 1 ∠OCB=2∠BCD. .∠ODC+∠OCD= (∠ADC+ 2 ∠BCD)=90°. ∴.∠DOC=90°. ∴.∠DOC=∠BOC=90. 又：CO=CO,∠OCD=∠OCB, .△DCO≌△BC0. .CD=CB 又：∠DCE=∠BCE,CE=CE, ∴.△DCE≌△BCE. .∠DEC=∠BEC. .EC平分∠BED .点O到EB与ED的距离相等. 7.(1)过点P作PE⊥AB于点E. ∠D=90°，AD∥BC, ∴.∠C=90. ,AP平分∠DAB,BP平分∠ABC, .PD=PE,PC=PE. .PC=PD. .P为DC的中点 (2)在Rt△ADP和Rt△AEP中， (AP=AP, PD=PE, .Rt△ADP≌Rt△AEP. .AD=AE. 同理可证，BC=BE AE+BE=AB, .AD+BC=AB. 方法归纳 探求以角平分线为背景的 线段的数量关系问题 探求这类问题时，往往需要运 用角平分线的性质构造全等三角 形，寻找问题条件下隐含的相等线 段，并且根据它们之间的相等关系， 确定考察对象之间的数量关系. 8.(1)过点M作ME⊥AD于点E. :∠C=90°，ME⊥AD,DM平分 ∠ADC,