1.3 全等三角形的判定-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 1.3全等三 第1课时用“边角边 ☑基础进阶 1.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB= DE,∠B=∠E,要运用“SAS”判定△ABC≌ △DEF,还需补充一个条件，可以是（) A.BF=EC B.AC=FE C.AC=DF D.∠A=∠D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∠DAE,下列结论不一定正确的是() A.∠BAD=∠CAEB.△ABD≌△ACE C.AB=BC D.BD=CE 3.如图所示为由4个全等的小正方形组成的网 格，点A、B、C、D、E都在格点上，则∠ABC 与∠EDC的数量关系为 4.如图，BE=BA,AB∥DE,BC= DE.若∠A=40°，∠E=25°，则 D E ∠D的度数为 (第4题) 5.如图，点B、D在线段AE上，AD=BE, ∠A=∠FDE,AC=DF.求证：BC=EF. (第5题) 8 角形的判定 判定两个三角形全等 幻素能攀升 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB,在边BC上取点E,使EC=AC,连 接DE.若∠A=50°，则∠BDE的度数是 () A.10° B.20° C.30° D.40° (第6题) (第7题) 7.*如图，AD是△ABC的边BC上的中线， AB=5cm,AD=4cm,则边AC的长可能是 () A.3 cm B.5cm C.14cm D.13 cm 8.如图，在△ABC和△AEF中，AB=AE BC=EF,∠ABC=∠AEF,∠EAB=44°， AB交EF于点D.有下列结论：①∠FAC= 44°；②AF=AC;③∠EFB=44°；④AD= AC.其中，一定正确的个数为 () A.4 B.3 C.2 D.1 F C (第8题) (第9题) 9.如图，在△ABC和△DBE中，AC=DE, ∠ACB=∠DEB,BC=BE.若EF⊥BC, ∠BEF=60°，则∠ABD的度数为 10.如图，在△ABC中，AC=BC,∠ACB= 90°，D是BC上的一点，过点B作BE∥ AC,且BE=CD,连接CE、AD相交于点 G,则AD与CE的数量关系是 位置关系是 (第10题) (第11题) 11.如图，在由边长为1的小正方形组 成的网格图中，点A、B、C、D均在 格点（网格线的交点）上.图中 ∠ABC+∠ADC= 12.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC= ∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,C、D、E 三点在同一条直线上，连接BD (1)求证：△BAD≌△CAE (2)请判断线段BD与线段CE的关系，并 证明你的结论. B (第12题) 13.*如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交 于点O,点P在BE上，点Q在CF的延长 线上，且BP=AC,CQ=AB: (1)求证：△ABP≌△QCA. (2)试判断AP和AQ的位置关系，并给出 证明过程。 (第13题) 第1章三角形 思维拓展 14.如图，在△ABC中，∠ACB= ∠ABC=40°，BD是∠ABC的平 分线，延长BD至点E,使DE= AD,则∠ECA的度数为 () (第14题) A.30°B.35°C.40°D.45 15.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于 点D,点E在AD上，DE=DC,BD=AD, F为BC的中点，连接EF并延长至点M, 使FM=EF,连接BE、CM. (1)求证：BE=AC. (2)试判断线段AC与线段MC的关系，并 证明你的结论， F D M (第15题) 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时用“角边角 自基础进阶 1.如图，点B在AE上，∠CBE=∠DBE,要通 过“ASA”判定△ABC≌△ABD,可补充的 一个条件是 () A.∠CAB=∠DABB.∠ACB=∠DAB C.AC=AD D.BC=BD (第1题) (第2题) 2.如图，点D、E分别在线段AB、AC上，CD与 BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下 条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是() A.∠B=∠C B.BE=CD C.BD=CE D.AD=AE 3.如图，AB∥CF,E为DF的中点.若AB 10,CF=7,则BD= (第3题) (第4题) 4.如图，点B、C、E在同一条直线上，ACDE BC=DE,∠ACD=∠B.若AC=0.8cm,则 CE= cm. 5.如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥ DF,ED=AB,∠E=∠CPD,求证：△ABC≌ △DEF. D (第5题) 10 ”判定两个三角形全等 幻素能攀升 6.如图，在△ABC中，AB=AC, AB>BC,点D在边BC上，点 E、F在AD上，BD=DC,B D (第6题) ∠BED=∠CFD=∠BAC.若 S△ABC=30,则涂色部分的面积为 ( A.5 B.10C.15 D.20 7.如图，AD、BE是△ABC的高，AD与BE相 交于点F.若AD=BD=6,且△ACD的面 积为12，则AF的长为 () A.4B.3 C.2 D.1.5 D B (第7题) (第8题) 8.如图，∠ADB=∠ACB=90°，AD与BC相 交于点O,且OA=OB.有下列结论： ①AD=BC;②AC=BD;③∠CDA= ∠DCB;④CD∥AB.其中，正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm, 过点C作AB的垂线，垂足为D,点E在AC 上，且CE=3cm,过点E作AC的垂线交 CD的延长线于点F.若EF=7cm,则AE的 长为 cm, D B (第9题) (第10题) 10.如图，AC和BD相交于点O,∠1=∠2， ∠3=∠4，则AC和BD的位置关系是 11.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别是D、E,AD、CE交于点H, AE=CE. (1)求证：△BEC≌△HEA, (2)若BE=7,CH=3,求线段AE的长， E H (第11题) 12.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC 上，∠CED=∠AEB,AE交BD于点F. 求证： (1)△AEC≌△BED. (2)DE平分∠BDC. D (第12题) 第1章三角形 思维拓展 13.如图，点A在DE上，点F在AB 上，且BC=DC,ED=3,∠BCD= ∠ACE=∠BAD,则AB的长为 B (第13题) 14.易错题如图，在△ABC中，AB AC,∠BAC=90°，D是直线AB 上的一个动点（不与点A、B重 合)，BE⊥CD,交直线CD于点E,交直线 AC于点F. (1)若点D在边AB上，试判断线段BD、 AB和AF之间的数量关系，并证明你的 结论. (2)若点D在AB的延长线或反向延长线 上，则问题(1)中的结论是否成立？若不成 立，请直接写出正确的结论. (第14题) 11 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第3课时 用“角角边 自基础进阶 1.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC CD,∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则下列结论 不一定正确的是 A.∠A与∠D互为余角 B.∠A=∠2 C.△ABC≌△CED 1入A不 D.∠1=∠2 (第1题) 2.如图，∠A=∠E,AC⊥BE, AB=EF,BE=25,CF=8, 则AC的长为 () A.15 B.17 B C (第2题) C.19 D.21 3.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别是D、E.若AD=3, BE=1,则DE的长是 B D (第3题) (第4题) 4.如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点， E为AC的中点，过点C作CF∥AB,交射线 DE于点F.若BD=1,CF=5,则AB的长 为 5.如图，点E在△ABC的边AC上，AE=BC, BC∥AD,∠CED=∠BAD.求证： △ABC≌△DEA. B (第5题) 12 ”判定两个三角形全等 幻素能攀升 6.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、 E,BE、CD相交于点O,∠1=∠2.图中全等 的三角形共有 () A.1对B.2对 C.3对D.4对 (第6题) (第7题) 7.如图，∠C=∠D,AC=AD,有下列条件： ①AB=AE;②BC=ED;③∠1=∠2； ④∠B=∠E.其中，能使△ABC≌△AED 的条件有 A.4个B.3个C.2个D.1个 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别为D、E,AD、CE相交于点H,EH= EB=6,AE=9,则CH的长为 (第8题) (第9题) 9.如图，AB⊥CD,AB=CD,E、F是AD上的 两个点，CE⊥AD,BF⊥AD.若AD=a, BF=b,CE=c,则EF的长为 10.如图，小张同学拿着等腰三角尺，将其摆放 在两摞长方体教具之间.若每个长方体教具 的高度均为6cm,∠ACB=90°，AC=BC, 则两摞长方体教具之间的距离DE= cm. 6 cm (第10题) 11.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、 F分别在直线AB的两侧，且AE=BF, ∠A=∠B,∠DCE=∠CDF. (1)求证：△ACE2△BDF. (2)若AB=16,AC=4,求CD的长 (第11题) 12.如图，∠BAD=∠CAE=90 AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,交 CB的延长线于点F. (1)求证：△ABC≌△ADE. (2)求∠FAE的度数， (3)求证：CD=2BF+DE. B A (第12题) 第1章三角形 思维拓展 金 13.如图，在△ABC中，D为BC的中点，△AEF 的边EF过点C,且AE=EF,ABEF,AD 平分∠BAE.若CE=2,AB=9,则CF的 长为 B D (第13题) 14.已知△ABC的高AD所在直线与 高BE所在直线相交于点F,过点 F作FGBC,交直线AB于点G. (1)如图①，若△ABC为锐角三角形，且 ∠ABC=45°.求证： ①△BDF≌△ADC. ②FG+DC=AD. (2)如图②，若∠ABC=135°，试探究FG、 DC、AD之间的数量关系， ② (第14题) 13 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第4课时 用“边边边 自基础进阶 1.如图，为了得到∠MBN=∠PAQ,在用直尺 和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF 的依据是 (第1题) A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 2.如图，在△ACD与△BCE中，AD与BE相 交于点P.若AC=BC,AD=BE,CD=CE, ∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度 数为 ( A.110° B.125 C.130° D.135° (第2题) (第3题)》 3.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈D能 沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄 AP始终平分同一平面内所成的角∠BAC, 为了证明这个结论，我们的依据是 4.如图，C、E分别为△ABD的边BD、AB上的 点，AE=AD,CE=CD,∠D=75°， ∠ECD=140°，则∠B的度数为 B (第4题) 5.如图，点E在CD上，BC与AE交于点F, AB=CB,BE=BD,AE=CD.求证： 14 ”判定两个三角形全等 ∠AEC=∠2. (第5题) 幻素能攀升 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中 点，有下列结论：①△ABD≌△ACD; ②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④AD⊥ BC.其中，正确的个数为 () A.1B.2 C.3 D.4 D (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC与△ADC中，AB=AD, CB=CD.若∠B=128°，则∠BAC+∠ACD 的度数为 () A.42°B.52°C.62°D.128° 8.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD 上，AC交BE于点F.若AC=BD,AB= ED,BC=BE,∠ACB=50°，则∠AFB的度 数为 () A60° B.80°C.100°D.120° D (第8题) (第9题) 9.如图，AD=AC,BD=BC,O为AB上一点， 则图中共有 对全等三角形 10.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB= CD.若AC=8,BD=6,则四边形ABCD的 面积为 (第10题) (第11题) 11.如图，若AB=AC,BD=CD,∠A=80°， ∠BDC=120°，则∠B的度数为 12.如图，AB=AD,BC=DC,E、F分别是 DC、BC的中点，连接AC. (1)求证：∠B=∠D, (2)当AE=2时，求AF的长， (第12题) 13.如图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上 的一点，AE⊥CD于点E,BF⊥CD,交CD 的延长线于点F.若CE=BF,AE=BF+ EF.试判断直线AC与BC的位置关系，并 说明理由. E D (第13题) 第1章三角形 的思维拓展 4.如图，在“3×3”的正方形网格中 △ABC的顶点都在小正方形的顶 点上，像△ABC这样顶点均在格 点上的三角形叫格点三角形.在图中画与 △ABC有一条公共边且全等的格点三角形， 这样的格点三角形最多可以画出 个 (第14题) 5.如图，在四边形ABCD中，AD= BC=8,AB=CD,BD=12.点E 从点D出发，以每秒1个单位长度 的速度沿DA向点A匀速移动；点F从点 C出发，以每秒3个单位长度的速度沿C→ B→C匀速移动；点G从点B出发，沿BD 向点D匀速移动.三个点同时出发，当有一 个点到达终点时，其余两点也随之停止移 动.设移动时间为t秒. (1)求证：ADBC. (2)在移动过程中，小明发现有△DEG与 △BFG全等的情况出现，请你探究这样的 情况会出现几次，并分别求出此时t的值和 点G的移动距离(BG的长). ED G F (第15题) 15 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第5课时全等三角形 自基础进阶 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E在BC 上，连接AD、AE.若只添加一个条件可证明 ∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为 A.BD=CE B.AD=AE C.BE=CD D.DA=DE B D E (第1题) (第2题) 2.如图，BC、AE是锐角三角形ABF的高，相 交于点D.若AD=BF,AF=7,CF=2,则 BD的长为 () A.2 B.3 C.4D.5 3.如图，在△ABC与△ADE中，点E在BC边 上，AD=AB,AE=AC,DE=BC.若∠1= 25°，则∠2的度数为 (第3题) (第4题) 4.如图，DB⊥AC,垂足为B,点E为BD上一 点，BC=BE,∠C=∠AEB,AB=6cm,则 图中长度为6cm的线段还有 5.如图，CD=BD,E、F分别是CD、BD的中 点，∠CAE=∠BAF,∠B=∠C.求证： AE=AF. (第5题) 16 判定方法的灵活运用 幻素能攀升 6.如图，BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C 62°，∠BDE=75°，则∠AFD的度数等于 A.45°B.40°C.38°D.32° (第6题) (第7题) 7.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是 AD和AD延长线上的点，且DE=DF,连接 BF、CE,有下列说法：①CE=BF;②△ABD 和△ACD的面积相等；③BF∥CE; ④△BDF≌△CDE.其中，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，点A、E、F、C在同一条直线上，BF⊥ AC于点F,DE⊥AC于点E,连接BD,交 EF于点O,且O为EF的中点.若AE= CF,则有下列结论：①△EOD≌△FOB; ②AO=CO;③AB=CD;④AB∥CD.其 中，正确的是 A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ D Eō 70 D B P (第8题) (第9题) 9.如图，AB=4cm,BC=6cm,∠B=∠C,点 P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向 点C运动，同时，点Q从点C出发沿射线CD 运动.若经过ts后，△ABP与△CQP全等， 则t的值是 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90 AC=15 cm,BC=6 cm,CDAB 边上的高，点E从点B出发，在直 线BC上以3cm/s的速度运动，过点E作 BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动 s时，CF=AB D (第10题) 11.如图，在△ABC中，点D在边AB上，EF分 别交BC、AC于点G、O,DF∥BC,AC=DF, ∠C=∠OGC,∠B=∠E.求证：BC=EF (第11题) 12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 CD的中点，连接AE、BE,延长AE交BC 的延长线于点F, (1)求证：△DAE≌△CFE, (2)若AB=BC+AD,求证：BE⊥AF. B C (第12题) 第1章三角形 思维拓展 13.如图，AD是△ABC的边BC上的中线.若 AB=5,AD=3,则AC长的取值范围是 () B D (第13题) A.1<AC<11 B.1<AC<8 C.2<AC<8 D.1<AC<4 14.如图，在△ABC中，D为边BC上I 一点，E为边BA上一点，且AE= CD,连接AD,F为AD的中点.连 接EF并延长，交AC于点G,在FG上取点 H,使FH=FE,连接HD、GD.若HG= CG,求证： (1)△AEF≌△DHF. (2)∠B=2∠GDC. B (第14题) 17.BC∥OA,'.∠OBC=180° ∠0=180°-90°=90°.∴.3+ 2180-a)=90°.整理，得a=28. 14号或号 (2)△APQ2△DEF, .'AP DE =4 cm,AQ=DF= 5 cm. ①如图①，点P在AC上 ∴.点Q的运动速度为5÷(4÷3)= 1 4(cm/s). ②如图②，点P在AB上 此时点P的运动路程为9十12+15 4=32(cm), 点Q的运动路程为15+12+9-5= 31(cm). .点Q的运动速度为31÷(32÷ 32(cm/s). 综上所述，点Q的运动速度为5 cm/s 0 32 cm/s. ① ② (第14题) 1.3全等三角形的判定 第1课时用“边角边”判定 两个三角形全等 1.A2.C3.∠ABC+∠EDC= 180°4.115 5..'AD=BE, .'AD+DB=BE+DB,E AB=DE. AB=DE, 在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE, AC-DF, ∴.△ABC≌△DEF. ..BC=EF」 6.A解析：∠ACB=90,∠A= 50°，.∠B=90°-∠A=40°.CD 平分∠ACB,∴.∠ECD=∠ACD.在 △CDE和△CDA中， EC=AC, ∠ECD=∠ACD,∴.△CDE≌ CD-CD, △CDA.∴.∠CED=∠A=50°.又 ,'∠CED=∠B+∠BDE,∴.∠BDE ∠CED-∠B=50°-40°=10° 7.B解析：如图，延长AD至点E, 使DE=AD,连接BE..AD=4cm .AE=8cm.:'AD是△ABC的边 BC上的中线，'.BD=CD.在△ADC AD-ED. 和△EDB中，3∠ADC=∠EDB, CD=BD, .△ADC≌△EDB.∴.AC=EB.在 △ABE中，AE-AB<BE<AB+ AE,.'.3 cm<BE<13 cm..'3 cm< AC<13cm.∴.结合选项，可知边AC 的长可能是5cm. B (第7题) 方法归纳 运用倍长中线法解决 与中线有关的问题 如果图中给出的已知线段和 未知线段的位置相对比较分散，而 三角形又给出了中线，那么我们可 以延长这条中线，并利用全等三角 形，使得分散的线段在图形中能够 相对集中，再运用其中隐含的数量 关系解决问题」 8.B解析：在△ABC和△AEF中， AB=AE, ∠ABC=∠AEF,∴.△ABC≌ BC=EF, △AEF.∴.AF=AC,∠EAF= ∠BAC,∠AFE=∠C.故②正确. '.∠EAF-∠BAF=∠BAC 3 ∠BAF.∴.∠EAB=∠FAC=44 故①正确.∠AEF=∠ABC, ∠ADE=∠BDF,'.∠EFB= ∠EAB=44°.故③正确.无法证明 AD=AC,故④不一定正确.综上所 述，一定正确的个数为3. 9.30°10.AD=CEAD⊥CE 11.45解析：如图，连接DE、AE.易 知在△ABC和△DAE中， (AC=DE, ∠ACB=∠DEA=90°， BC=AE, ∴.△ABC≌△DAE..∠ABC= ∠DAE.易知∠DCE=∠DAE+ ∠ADC=45°，.∠ABC+∠AC=45. (第11题) 12.(1).∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+ ∠CAD. ∴.∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (AB=AC. ∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△BAD≌△CAE. (2)BD=CE且BD⊥CE 由(1)，知△BAD≌△CAE, .BD=CE,∠ABD=∠ACE. .·AB=AC,∠BAC=90°， ∴.易得∠ABC=∠ACB=45. ∴.∠ABD+∠DBC=45°. ∴.∠ACE+∠DBC=45. ∴.∠DBC+∠DCB=∠DBC+ ∠ACE+∠ACB=90°. ∴.∠BDC=90°. ∴.BD⊥CE 综上所述，BD=CE且BD⊥CE. 13.(1):BE,CF是△ABC的高， ∴.∠AEB=90°，∠AFC=90. ∴.∠ABP+∠BAE=90°，∠QCA+ ∠BAE=90°」 ∴.∠ABP=∠QCA, 在△ABP和△QCA中， (BP=CA, ∠ABP=∠QCA, AB=QC, .△ABP≌△QCA. (2)AP⊥AQ. .·△ABP2△QCA, ∴.∠BAP=∠Q. 易得∠Q+∠BAQ=90°， ∴.∠BAP+∠BAQ=90°， 即∠PAQ=90° ∴.AP⊥AQ. 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常 见的题型，解决这类问题的一般方 法是证明这两条直线的夹角为 90°，即证明组成这个夹角的两个角 的和是90°或者这个夹角所在的三 角形的另外两个角的和是90° 14.C解析：如图，在BC上截取 BF=BA,连接DF.:BD是∠ABC 的平分线，'.∠ABD=∠FBD= 3∠ABC=20.易得△ABD≌ △FBD..∠A=∠BFD,DA= DF=DE.又：∠ACB=∠ABC= 40°，.∠A=180°-∠ACB ∠ABC=100°.∴.∠DFC=180° ∠BFD=180°-∠A=80° ..∠FDC=∠BFD-∠ACB=60. ,∠EDC=∠ADB=180° ∠ABD-∠A=180°-20°-100°= 60°，.∠EDC=∠FDC.在△DCE (DE=DF, 和△DCF中，∠EDC=∠FDC, DC=DC, ∴.△DCE≌△DCF.∴.∠ECD= ∠FCD=40°，即∠ECA=40°」 (第14题) 15.(1)AD⊥BC, ∴.∠BDE=∠ADC=90°. 在△BDE和△ADC中， DE=DC, ∠BDE=∠ADC, BD-AD. ∴.△BDE≌△ADC. .BE=AC. (2)AC⊥MC且AC=MC. :F为BC的中点， .∴.BF=CF. 在△BFE和△CFM中， (BF=CF, ∠BFE=∠CFM, EF=ME, '.△BFE≌△CFM. .∴.∠FBE=∠FCM,BE=CM. :△BDE≌△ADC, ∴·∠DBE=∠DAC,BE=AC. .∠DAC=∠FCM,AC=MC. :∠DAC+∠ACD=90°， ∴.∠FCM+∠ACD=90, 即∠ACM=90°. .∴.AC⊥MC. 综上所述，AC⊥MC且AC=MC. 第2课时用“角边角”判定 两个三角形全等 1.A2.B3.34.0.8 5.AB∥DF, .∠B=∠CPD,∠A=∠FDE. ∠E=∠CPD, .∠E=∠B 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, RAB=DE, ∠A=∠FDE, ∴.△ABC≌△DEF. 6.D 7.C解析：AD、BE是△ABC的 高，.∠ADB=∠AIDC=∠AEB= 90°..·∠BFD=∠AFE,∴.∠FBD= ∠CAD.在△ACD和△BFD中， ∠CAD=∠FBD, AD=BD, ..△ACD2 ∠ADC=∠BDF, 4 △BFD..DC=DF..△ACD的 面积为12，号×6×CD=12 .CD=4...DF=4..'.AF=AD- DF=2. 8.D解析：∠COA=∠DOB, ∠ACB=∠ADB=90°，∴.∠CAO= ∠DBO.在△AOC和△BOD中， ∠COA=∠DOB, OA=OB, .'.△AOC2 ∠CAO=∠DBO, △BOD..AC=BD,OC=OD. OA=OB,∴.易得AD=BC.故① ②正确.在△ACD和△BDC中， (AD=BC, ∠CAD=∠DBC,.△ACD≌ AC=BD, △BDC.∴.∠CDA=∠DCB.故③正 确.在△ABC和△BAD中， (AC=BD, ∠ACB=∠BDA,∴.△ABC≌ BC=AD, △BAD..∴.∠CBA=∠DAB. .∠COD=∠AOB,∠CDA= ∠DCB,∴.易得∠CDA=∠DAB. ∴.CD∥AB.故④正确.综上所述，正 确的有4个. 9.4解析：：CD⊥AB,∴.∠CDB= 90°.∴.∠B+∠BCD=90. :∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°， ∴.∠ACD=∠B.EF⊥AC, ∴.∠FEC=90°.∴.∠FEC= LACB.BC=3 cm,CE =3 cm, ∴.BC=CE.在△ACB和△FEC中， ∠B=∠ECF, BC=CE, ..△ACB≌ ∠ACB=∠FEC, AFEC..'AC=EF..'EF=7 cm, ∴.AC=7cm.:AE=AC-CE, .AE=7-3=4(cm). 10.AC⊥BD解析：在△ABC和 ∠1=∠2， △ADC中，AC=AC,∴.△ABC≌ ∠3=∠4， △ADC.'.AB=AD.在△ABO和 (AB-AD △AD0中，3∠1=∠2，∴.△ABO≌ AO-AO, △ADO.,.∠AOB=∠AOD .∠AOB+∠AOD=180°， .∠AOB=∠AOD=90°，即 AC⊥BD. 11.(1):CE⊥AB,AD⊥BC, ∴.∠BEC=∠AEC=∠ADB= ∠ADC=90°. ,∠DHE=∠AEC+∠EAH= ∠ADC+∠BCE, ∴.∠EAH=∠BCE. 在△BEC和△HEA中， ∠BEC=∠HEA, CE=AE, ∠BCE=∠HAE, ∴.△BEC≌△HEA. (2)△BEC≌△HEA, .BE=HE=7. CH=3, .AE=CE=CH+HE=3+7=10. 12.(1)∠CED=∠AEB, ∴.∠CED+∠AED=∠AEB+ ∠AED,即∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中， ∠A=∠B, AE=BE, ∠AEC=∠BED, ∴.△AEC≌△BED. (2).△AEC≌△BED, ∴.∠C=∠EDB,CE=DE. .易得∠C=∠EDC. ∴.∠EDB=∠EDC. .DE平分∠BDC. 13.3解析：∠BCD=∠BAD, ∠BFC=∠DFA,∴.∠B=∠D. ∠BCD=∠ACE,易得 ∠BCA=∠DCE.在△ABC和 ∠B=∠D, △EDC 中， RBC=DC, ∠BCA=∠DCE, .△ABC2△EDC..AB= ED=3. 14.(1)AB=AF+BD. BE⊥CD, ∴.∠BEC=∠FEC=90° .∴.∠F+∠FCE=90°. ∠BAC=90, ∴.∠FAB=90. ∴.∠F+∠FBA=90. ∴.∠FBA=∠FCE. 在△AFB和△ADC中， ∠FAB=∠DAC, RAB=AC. ∠FBA=∠DCA, ∴.△AFB≌△ADC. .AF=AD. .AB=AD+BD=AF+BD (2)问题(1)中的结论不成立 如图①，当点D在AB的延长线上 时，同(1)，可得AF=AD, .AB=AD-BD=AF-BD. 如图②，当点D在AB的反向延长线 上时，同(1)，可得AF=AD, ∴.AB=BD-AD=BD-AF DE ② (第14题) 易错警示 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时，要了解条 件中“动点”的真正含义，需要画出 符合题意的图形，不要受问题原有 图形的影响直接加以解答.因此， 解题时我们要认真审题，在原有思 路的基础上让图形中的动点真正 动起来，寻求正确的结论. 5 第3课时用“角角边”判定 两个三角形全等 1.D2.B3.24.4 5..BC//AD, ∴.∠DAC=∠C. .·∠CED=∠BAD,∠CED=∠D+ ∠DAC,∠BAD=∠DAC+∠BAC, '.∠D=∠BAC ∠BAC=∠D, 在△ABC和△DEA中，{∠C=∠DAE, BC=EA, ∴.△ABC≌△DEA. 6.D解析：CD⊥AB,BE⊥AC, .∠AD0O=∠AEO=90°.又：∠1= ∠2，AO=AO,∴.△ADO≌△AE0. ∴.AD=AE.又.∠DAC=∠EAB, ∠ADO=∠AEO,∴.△ADC≌ △AEB.'.AB=AC.又∠1= ∠2，AO=AO,∴.△AOB≌△AOC. ∴.∠B=∠C.:AD=AE,AB= AC,∴.DB=EC.又∠BOD= ∠COE,∴.△BOD≌△COE.综上所 述，全等的三角形共有4对. 7.B解析：①∠C=∠D,AC= AD,AB=AE,,'.△ABC和△AED 不一定全等.故①不符合题意 ②：BC=ED,∠C=∠D,AC= AD,.△ABC2△AED.故②符合 题意.③：∠1=∠2，.∠1十 ∠EAB=∠2+∠EAB..∴.∠CAB= ∠DAE.又.∠C=∠D,AC=AD, ∴.△ABC≌△AED.故③符合题意. ④∠B=∠E,∠C=∠D,AC= AD,.△ABC≌△AED.故④符合 题意.综上所述，能使△ABC≌ △AED的条件有3个. 8.3 9.c-a+b解析：AB⊥CD, CE⊥AD,.∠C+∠D=90°，∠A+ ∠D=90°..∠A=∠C.:CE⊥ AD,BF⊥AD,.∠AFB= ∠CED=90°.在△ABF和△CDE ∠AFB=∠CED, 中，∠A=∠C, '.△ABF2 AB=CD, ACDE..'BF=DE=6,AF=CE= c.AE AD DE =a-6, .EF=AF-AE=c-(a-6)=c- a+b. 10.42解析：∠ACB=90°，AD DE,BE⊥DE,∴.∠ADC=∠CEB= 90°，∠ACD+∠BCE=90°..∠ACD+ ∠DAC=90°...∠BCE=∠DAC. 在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠CB,∴.△ADC≌△CEB. AC=CB, .'CD=BE,AD=CE.DE= CD十CE,∴.DE=BE十AD.每个 长方体教具的高度均为6cm, ∴.AD=24cm,BE=18cm..两摞 长方体教具之间的距离DE=18十 24=42(cm). 11.(1):∠ACE+∠DCE=180, ∠BDF+∠CDF=180°，且 ∠DCE=∠CDF, ∴.∠ACE=∠BDF 在△ACE和△BDF中， ∠ACE=∠BDF, ∠A=∠B, LAE=BF, .△ACE≌△BDF (2)由(1)可知，△ACE2△BDF, .AC=BD. AC=4, .BD=4 AB=16, .CD=AB-AC-BD=16-4- 4=8. 12.(1).∠BAD=∠CAE=90, ∴.∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+ ∠DAE=90°」 .'.∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中， AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, ∴.△ABC≌△ADE. (2).∠CAE=90°，AC=AE, ∴.易得∠E=∠ECA=45°. 由(1)，知△ABC≌△ADE .∴.∠BCA=∠E=45. ,AF⊥BC, .∠CFA=90° .∠CAF=45 ∴.∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+ 90°=135° (3)如图，延长BF到点G,使得 FG=FB,连接AG. AF⊥BG, ∴.∠AFB=∠AFG=90°. 在△AFB和△AFG中， (BF=GF. ∠AFB=∠AFG, AF=AF, ∴.△AFB≌△AFG. ∴.AB=AG,∠ABF=∠G. :△ABC≌△ADE,AB=AD, ∴.AG=AD,∠CBA=∠EDA, CB=ED. ∴.∠ABF=∠CDA. ∴.∠G=∠CDA. 在△CGA和△CDA中， ∠GCA=∠DCA=45°， ∠G=∠CDA, AG-AD, .'.△CGA≌△CDA .CG-CD. CG=CB+BF+FG =CB+ 2BF=DE+2BF, ∴.CD=2BF+DE B F◇ G A (第12题) 13.5解析：延长FE交AD的延长 线于点H.AD平分∠BAE, ∴.∠BAD=∠HAE.:AB∥FH, .∠H=∠BAD.∴.∠H= ∠HAE.∴.易得AE=HE.AE= EF,∴.EF=HE.D为BC的中 点，∴.DC=DB.在△HDC和 6 ∠H=∠BAD, △ADB中， ∠HDC=∠ADB, DC=DB, .△HDC≌△ADB.∴.CH=BA. AB=9,.CH=HE+CE=9.又 .CE=2,.HE=7..EF=7. ∴.CF=EF-CE=5. 14.(1)①由题意，可知∠ADB= 90°，∠ABC=45°， ∴.∠BAD=∠ABC=45. ∴.易得AD=BD. :∠BEC=∠ADC=90, ∴.∠CBE+∠C=∠DAC+ ∠C=90°. ∴.∠CBE=∠DAC. 又∠FDB=∠CDA=90°， .∴.△BDF≌△ADC. ②△BDF≌△ADC, .DF=DC. GF//BC, ∴.∠AGF=∠ABC=45. ∴.∠AGF=∠BAD. .易得FA=FG. .FG+DC=FA+DF=AD. (2)∠ABC=135, .∠ABD=45°. ∠BDA=90,FGBC, ∴.∠DAB=45°，∠G=∠ABD=45°. ∴.易得BD=AD,FG=AF. ,·∠FAE+∠DFB=∠FAE+ ∠C=90°， ∴.∠DFB=∠C. 又∠FDB=∠CDA=90, BD=AD, ∴.△BDF≌△ADC. ∴.DF=DC. .FG=AF=AD+DF=AD+DC. 第4课时用“边边边”判定 两个三角形全等 1.B2.C3.SSS(或边边边) 4.35 5.在△ABE和△CBD中， (AB=CB. RAE=CD, BE=BD, ∴.△ABE≌△CBD ∴.∠A=∠C,∠ABE=∠CBD. ∴.∠ABE-∠CBE=∠CBD ∠CBE,即∠1=∠2. :∠AFC=∠A+∠1=∠C+ ∠AEC,∠A=∠C, ∴.∠1=∠AEC. ∴.∠AEC=∠2. 6.D7.B 8.C解析：在△ABC和△DEB中， (AC=DB, AB=DE,∴.△ABC2△DEB BC=EB. ∴.∠ACB=∠DBE=50°.∴.∠AFB= ∠ACB+∠DBE=50°+50°=100°. 9.3 10.24解析：在△ABC和△ADC 中，AB=AD,AC=AC,BC=DC, ∴.△ABC≌△ADC..∠BAC= ∠DAC.设AC、BD交于点O. AO=AO,∠BAO=∠DAO, AB=AD,∴.△ABO≌△ADO. ∴.∠AOB=∠AOD.:∠AOB+ ∠AOD=180°，∴.∠AOB=90°，即 AC⊥BD..S四边形AD=S△ABD十 SaIm=2A0·BD+2CC·BD AC BD-24. 11.20°解析：如图，连接AD并延 长至点F.在△ABD和△ACD中， (AB=AC, AD=AD,.△ABD2△ACD BD=CD, ∴.∠B=∠C.:∠BDF=∠B+ ∠BAD,∠CDF=∠C+∠CAD, ∴.∠BDF+∠CDF=∠B+ ∠BAD+∠C+∠CAD. .∠BDC=∠B+∠C+∠BAC. ,∠BAC=80°，∠BDC=120°， .∠B=20°. B F (第11题) 12.(1)在△ABC和△ADC中， (AB=AD, BC=DC, AC=AC, .'.△ABC2△ADC. ∠B=∠D. (2):E、F分别是DC、BC的中点， BC=DC, .'DE=BE AD-AB, 在△ADE和△ABF中！ ∠D=∠B, DE-=BF, .△ADE≌△ABF. ∴.AF=AE=2. 13.AC⊥BC. 理由：AE⊥CD,BF⊥CD, .'.∠AEC=∠F=90 ∴.∠CAE+∠ACE=90. CF=CE+EF,CE=BF, .CF=BF+EF. ·AE=BF+EF, ..AE=CF. 又AC=CB, ∴.△ACE≌△CBF. .'.∠CAE=∠BCF. ∴.∠ACB=∠BCF+∠ACE= ∠CAE+∠ACE=90°. ∴.AC⊥BC. 14.4解析：如图，以AB为公共边 的格点三角形有3个，以BC为公共 边的格点三角形有0个，以AC为公 共边的格点三角形有1个，∴.共有 3+0+1=4(个). (第14题) 15.(1)在△ABD和△CDB中， AD=CB,AB=CD,BD=DB, .△ABD≌△CDB. ∴.∠ADB=∠CBD. '.AD∥BC (2)由题意，得DE=t,点F沿C→B 7 移动时，BF=8一31，点F沿B→C移 动时，BF=3t-8. 当△DEG≌△BFG时，DE=BF, [XG-BG-7BD-6, ∴.1=8-31或t=31-8,解得1=2 或t=4. 当△DEG≌△BGF时，DE=BG, DG=BF, ∴.DE+BF=BG+DG=BD. .t+(3t-8)=12或t+(8-3t)= 12,解得t=5或t=一2（不合题意， 舍去) 当t=5时，BG=t=5. 综上所述，△DEG与△BFG全等的 情况会出现3次，此时t=2,BG=6 或t=4,BG=6或t=5,BG=5. 第5课时全等三角形判定 方法的灵活运用 1.D2.B3.25°4.BD 5.'CD=BD,E、F分别是CD、BD 的中点， ∴.CE=BF 在△ACE和△ABF中， ∠CAE=∠BAF, ∠C=∠B, CE=BF, '.△ACE2△ABF. .AE=AF. 6.D解析：在△BDE和△CBA中， (BD=CB, ∠DBE=∠C,. △BDE≌ BE=CA, △CBA..∴.∠BDE=∠CBA=75 ∠C=62°，.∠A=180° ∠CBA-∠C=180°-75°-62°= 43°.∴.∠AFD=∠BDE-∠A= 75°-43°=32 7.D解析：AD是△ABC的中 线，∴.BD=CD.在△BDF和△CDE BD-CD, 中，∠BDF=∠CDE,∴.△BDF≌ DF=DE, △CDE,故④正确..CE=BF, ∠F=∠CED,故①正确.∴.BF∥ CE,故③正确.，BD=CD,点A到 BD、CD的距离相等，∴.△ABD和 △ACD的面积相等，故②正确.综上 所述，正确的有4个 8.D解析：BF⊥AC,DE⊥AC, ,.∠BFO=∠DEO=90°.·O是 EF的中点，'.OE=OF.在△EOD ∠DEO=∠BFO, 和△FOB中， <OE=OF, N∠EOD=∠FOB, ∴.△EOD≌△FOB,故①正确. .'DE=BF..AE=CF,OE=OF, .AO=CO,故②正确...AF=EC. 在△AFB 和△CED中， BF=DE, ∠AFB=∠CED,.△AFB≌ AF=CE. △CED.∴.AB=CD,∠A=∠C,故 ③正确..ABCD,故④正确. 9.1或号 10.7或3解析：设点E运动的时间 为1s.如图①，点E从点B出发沿射 线BC方向运动，·CD为AB边上 的高，∴.CD⊥AB.∠ACB=90, EF⊥BC,∴.∠CEF=∠ACB= ∠BDC=90°.∴.∠FCE=∠BCD= 90°-∠ABC=∠A.在△CFE和 ∠CEF=∠ACB, △ABC 中， ∠FCE=∠A, CF=AB, .△CFE2△ABC..CE=AC 15 cm.BC=6 cm,E BE BC+ CE,∴.3t=6+15,解得t=7.如图 ②，点E从点B出发沿射线CB方向 运动，则∠CEF=∠ACB=∠BDC= 90°，∠FCE=∠A=90°-∠ABC.在 △CFE 和△ABC 中， ∠CEF=∠ACB, ∠FCE=∠A, .△CFE≌ CF=AB, △ABC..CE=AC=15cm. 'BC=6cm,且BE=CE-BC, .31=15-6,解得1=3.综上所述， 当点E运动7s或3s时，CF=AB. B (第10题) 11.DF //BC, ∴.∠F=∠OGC. 又∠C=∠OGC, ∴.∠F=∠C. ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F, AC=DF, .∴.△ABC≌△DEF. .BC=EF. 12.(1)ADBC, ∴.∠ADC=∠ECF. E是CD的中点， .DE=EC. 在△DAE和△CFE中， ∠ADE=∠FCE, DE=CE, ∠AED=∠FEC, '.△DAE2△CFE. (2)由(1)，知△DAE2△CFE ∴.AE=FE,AD=FC. .'AB=BC+AD, ∴.AB=BC+CF,即AB=BF」 AB=FB, 在△ABE和△FBE中，AE=FE, BE=BE, ∴.△ABE≌△FBE. ∴.∠AEB=∠FEB=90°. .BE⊥AF. 13.A解析：如图，延长AD到点E, 使ED=AD,连接EB.,AD是 △ABC的边BC上的中线，.BD= CD.在△EBD和△ACD中， ED-AD. ∠EDB=∠ADC,'.△EBD2 BD=CD, 8 △ACD.'.EB=AC..AB=5, AD=3,..AE=2AD=6.AE- AB<EB<AE+AB,且AE-AB= 6-5=1,AE+AB=6+5=11, ∴.1<AC<11. B (第13题) 14.(1)F为AD的中点， .AF=DF. 在△AEF和△DHF中， (AF=DF, ∠AFE=∠DFH, FE=FH, ∴.△AEF≌△DHF. (2),△AEF≌△DHF, ∴.∠EAF=∠HDF,AE=DH. ∴.DH∥AB. ∴.∠HDC=∠B. AE=CD, .DH=CD. DH=DC, 在△DHG和△DCG中，HG=CG, DG-DG, ∴.△DHG≌△DCG. ∴.∠GDH=∠GDC. ∴.∠HDC=∠GDC+∠GDH= 2∠GDC. .∠B=2∠GDC 第6课时直角三角形全等的判定 1.B2.AC=BD(或BC=AD) 3.3 4.连接BD. 在Rt△ABD和Rt△CBD中， BD=BD, AB=CB, ∴.Rt△ABD≌Rt△CBD. .AD=CD. ·AE⊥EF,CF⊥EF, .∠E=∠F=90° 在Rt△ADE和Rt△CDF中， AD-CD. AE=CF. ,.Rt△ADE≌Rt△CDF. 5.B 6.C解析：，CD⊥AB,BE⊥AC, .∠ADC=∠AEB=90°.在△ADC [∠ADC=∠AEB, 和△AEB中， AD-AE. ∠DAC=∠EAB, .△ADC2△AEB..AC=AB, ∠C=∠B.∴.易得BD=CE.在 △BOD 和 △COE 中， ∠BOD=∠COE, ∠B=∠C, '.△BOD≌ BD=CE, △COE..'.OD=OE.在Rt△ADO和 OA=OA, Rt△AEO 中， OD=OE, ∴.Rt△ADO≌Rt△AEO.∴.共有 3对全等的直角三角形. 7.50 8.55°解析：：∠CFD+∠AFD 180°，∠AFD=145,∴.∠CFD 35°.：DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠BED=∠CDF=90°.在 BD=CF, Rt△BDE和Rt△CFD中， BE=CD, ∴.Rt△BDE≌Rt△CFD.'.∠BDE= ∠CFD=35..'∠EDF+∠BDE 180°-∠CDF=90°，∴.∠EDF=55°. 9.(1):BM⊥直线1，CN⊥直线1， ,∴.∠AMB=∠CNA=90 在Rt△AMB和Rt△CNA中， (AB=CA, BM-AN, ∴.Rt△AMB≌Rt△CNA. (2)由(1)，得Rt△AMB≌Rt△CNA, ∴.∠BAM=∠ACN. :∠CAN+∠ACN=90, ∴.∠CAN+∠BAM=90°. ∴.∠BAC=180°-90°=90°. 10.,AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, .∠EAD=∠FAD,∠AED ∠AFD=90°. 又·AD=AD .∴.△AED≌△AFD. .∴.AE=AF,DE=DF 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD=CD,DE=DF, ∴.Rt△BED≌Rt△CFD. .∴.BE=CF 11.(1).DE⊥AC,BF⊥AC, ∴.∠DEC=∠BFA=90°. AE=CF, ∴.AE+EF=CF+EF, 即AF=CE 在Rt△ABF和Rt△CDE中， (AB=CD, AF=CE .'.Rt△ABF≌Rt△CDE .∴.BF=DE 在△BFG和△DEG中， ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG, BF=DE, ∴.△BFG≌△DEG. ∴.FG=EG (2)结论仍成立。 理由：△CDE只是作了平移， ∴.仍有Rt△ABF≌Rt△CDE. .BF=DE. 同(1)，可证△BFG≌△DEG, .FG=EG. 方法归纳 解决开放型问题的一般方法 开放型问题可以分为条件开 放型问题和结论开放型问题.解决 条件开放型问题的一般方法是从 结论入手，根据两个三角形全等的 结论，结合已经具备的条件和全等 三角形的判定方法判断还可以 添加哪些条件；解决结论开放型 问题的一般方法是直接从条件出 发，拓展思维，往往得到的结论 是不唯一的 12.C解析：若△ABC和△A1B1C1 如图①②所示，则易得Rt△ACD≌ 9 Rt△A,C,D,∴.∠ACB=∠AC,B1. 若△ABC和△AB1C,如图①③所示， 则易得Rt△ACD≌Rt△AC,D1, ∴.∠ACD=∠AC,D.∴.∠ACB+ ∠A,C1B =∠A,C1D1+ ∠A,C,B1=180°.综上所述，∠ACB 和∠A,C1B1的关系是相等或互补. D ② B C D ③ (第12题) 13.(1)如图①，连接AD. .AB⊥BD,AC⊥CD, .∠B=∠C=90. 在Rt△ACD和Rt△DBA中， CD=BA, AD=DA, '.Rt△ACD≌Rt△DBA. .AC=DB. 在△ACE和△DBE中， ∠AEC=∠DEB, ∠C=∠B, AC=DB, ∴.△ACE≌△DBE. ∴CE=BE (2)如图②，连接AD,延长AC、DB 交于点F 由题意，得∠ACE=∠DBE=90°， ∠AEC=∠BED, .易得∠CAE=∠BDE=22.5. AB=BD, .易得∠ADB=45 ..∠AC=∠ADB-∠BDE=22.5°. .∠ADC=∠FDC. 在△ACD和△FCD中， ∠ACD=∠FCD=90, CD=CD, ∠ADC=∠FDC, ∴.△ACD≌△FCD. .AC=FC. .'AF=2AC. 在△ABF和△DBE中， ∠ABF=∠DBE=90°， AB=DB, ∠BAF=∠BDE, '.△ABF≌△DBE. .AF=DE. AF=2AC, .DE=2AC. B D ① ② (第13题) 专题特训一全等三角形 中常见的几何题型 1.AB=AD+BE ·∠DCE=∠A, ∴.∠D+∠ACD=∠ACD+ ∠BCE .∠D=∠BCE. 在△ACD和△BEC中， ∠A=∠B, ∠D=∠BCE, CD=EC, ∴.△ACD≌△BEC. .AD=BC,AC=BE. ∴.BC+AC=AD+BE,即AB= AD+BE. 2.(1)AD=CE. 理由：AD⊥MN,BE⊥MN, .∠ADC=∠BEC=90° .∠DAC+∠ACD=90°. ∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90° ∴.∠DAC=∠BCE. 又：∠ADC=∠BEC,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEB, .AD=CE. (2)DE+BE=AD. (3)DE-AD+BE 理由：.BE⊥MN,AD⊥MN, .'.∠BEC=∠ADC=90° ∴.∠EBC+∠ECB=90°. ,∠ACB=90°， ∴.∠ECB+∠ACD=90. .'.∠ACD=∠EBC. 又：∠ADC=∠BEC,AC=BC, ∴.△ADC≌△CEB. ∴.AD=CE,CD=BE. DE=CD+CE, ∴.DE=AD+BE. 3.(1)C是AB的中点， ∴.AC=CB. CD//BE, .∠ACD=∠B. 在△ACD和△CBE中， (AC=CB, ∠ACD=∠B CD=BE, ∴.△ACD≌△CBE. (2)由(1)，知∠ACD=∠B. :∠A=87°，∠D=32°， ∴.∠ACD=180°-∠A-∠D= 180°-87°-32°=61. .∠B=61. 4.(1)AC⊥CE. 理由：AB⊥BD,DE⊥BD, ∴.∠B=∠D=90 (AB=CD, 在△ABC和△CDE中，∠B=∠D BC=DE, .'.△ABC≌△CDE. ∴.∠A=∠DCE ,∠A+∠ACB=90°， .∠DCE+∠ACB=90°. :∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°， ∴.∠ACE=90°. .AC⊥CE. (2)AC⊥BE 理由：记题图②中AC与BE的交点 为F. 由(1)，知△ABC≌△BDE, ∴.∠A=∠EBD. :∠A+∠ACB=90°， .∠EBD+∠ACB=90. 10 .∴.∠BFC=90° .AC⊥BE. 5.DE=BE. 理由：在△ADC和△ABC中， (DA-BA, AC=AC, DC-BC, .△ADC≌△ABC. ∴.∠DAC=∠BAC. 在△ADE和△ABE中， (DA=BA, ∠DAE=∠BAE, AE-AE. ∴.△ADE≌△ABE. .'DE=BE. 6.(1)在△ABC和△BAD中， (AC=BD, BC=AD. AB=BA, .△ABC≌△BAD. (2):△ABC≌△BAD, ,.∠CBA=∠DAB,即∠OBE=∠OAE ,OE⊥AB, ∴.∠AEO=∠BEO=90° 在△AOE和△BOE中， '∠OAE=∠OBE, ∠AEO=∠BEO, OE=OE, ∴.△AOE≌△BOE, ∴.AE=BE. 7.(1)AE=BD:AE⊥BD. 解析：如图①，延长BD交AE于点 H.CE=CB,∠ACE=∠BCD= 90°，CA=CD,∴.△ACE≌△DCB. .AE=DB,∠EAC=∠BDC. :∠CBD+∠CDB=90°， ..∠CBD+∠EAC=90°. .∠AHB=90°..AE⊥BD. (2)成立. 理由：如图②，设CE与BD相交于 点G. :∠ACD=∠BCE=90, ∴.易得∠ACE=∠BCD. 又，CE=CB,AC=CD,