1.1 三角形中的线段和角-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（苏科版2024）

第1章三角形 1.1三角形中的线段和角 第1课时三角形的边和角 1.C2.B3.(1)17(2)2、4 104.(1)3(2)6 5.AB=AC, .AD-AB=AD-AC=CD. ·在△BCD中，BD-BC<CD, .'BD-BC<AD-AB. 6.B解析：根据三角形的三边关系 得4-3<m<4+3,即1<m<7. ,.选项中符合的m的值只有5. 7.A解析：.有若干个三角形，在 所有的内角中，有5个直角、3个钝 角、25个锐角，.共有(5十3+25)÷ 3=11(个)三角形.又：在每个三角 形中，最多有1个直角或最多有1个 钝角，显然这11个三角形中，有5个 直角三角形和3个钝角三角形，'.还 有11-5-3=3（个）锐角三角形. 8.C 9.B解析：①选3十4、6、8作为三 角形的三边长，则三边的长为7、6、8. 7一6<8<7十6，∴.能构成三角形 此时两颗螺丝间的最大距离为8. ②选6+4、3、8作为三角形的三边 长，则三边的长为10、3、8.8一3< 10<8十3，.能构成三角形.此时两 颗螺丝间的最大距离为10.③选3十 8、4、6作为三角形的三边长，则三边 的长为11、4、6..4+6<11，.不能 构成三角形.此种情况不成立，舍去」 ④选6十8、3、4作为三角形的三边 长，则三边的长为14、3、4.3+4< 14,∴.不能构成三角形.此种情况不 成立，舍去.综上所述，任意两颗螺丝 间的距离的最大值为10. 10.(1)7解析：根据三角形的三边 关系，截成的三条线段可以组成的三 角形各边长如下：①1、7、7；②2、6、7： ③3、5、7：④4、4、7；⑤3、6、6：⑥4、5、 6:⑦5、5、5.综上所述，可以组成7个 不同的三角形 (2)19cm或20cm 11.(1)3a-b-c(2)4或5 12.(1)2<c<10,12<x<20. (2)①.x是小于18的偶数，且 12<x<20, .'.x=16或x=14 当x=16时，c=6:当x=14时，c=4. 综上所述，c的值为6或4. ②当c=6时，b=c, .'.△ABC为等腰三角形 当c=4时，a=c, ∴.△ABC为等腰三角形 综上所述，△ABC为等腰三角形 13.(1)4根火柴不能搭成三角形 (2)8根火柴能搭成1种三角形，示意 图如图①所示. 12根火柴能搭成3种不同形状的三 角形，示意图如图②③④所示。 ① (② ③ ④ (第13题) 14.A解析：根据已知条件和三角形 的三边关系，得b=5,a=4,c=3或 b=5,a=4,c=2.∴.满足条件的三角 形的个数为2. 15.在△ACD中，AC+AD>CD 在△BOD中，BD+DO>OB, .AC+AD+BD+DO>CD+OB, 即AB+AC>CD-DO+OB. .AB+AC>>OC+OB 第2课时三角形的中线、 角平分线、高 1.D2.D 3.C解析：E是AD的中点， .AE=DE= AD.Su- 1 1 S△Am,SAACE=2SAAx Sae+Sam=SaAe 1 ·SaE=2SaAC,·F是CE的 1 中点.S△BF=之SAR. .S△A=4S△Fr=4X4=16. 4.(1)40°3cm(2)4cm 5.1:2 6.D为BC的中点， ∴.BD=CD ,△BDE与四边形AEDC的周长 相等， .BE+DE+BD=AE+DE+ CD+AC. ∴.BE=AE+AC .'BE-AE=AC. AC=6, .BE-AE=6. 7.B 8.3解析：△AEC的面积= A证·D=cE·AB,AB= CD,AE=3 cm,.'CE-AE=3 cm. 9.10解析：①若腰长与腰长的一 半的和是9，则易得腰长为6，底边长 为15-号 ×6=12..6+6=12, ∴此时不能组成三角形.②若腰长 与腰长的一半的和是15，则易得腰长 为10，底边长为9-2×10=4.此时 能组成三角形.综上所述，该等腰三角 形的腰长是10. 10.4a 11.①若腰比底边长，则腰长=10十 4=14,此时等腰三角形的三边长分别 为14、14、10，能组成三角形. ②若腰比底边短，则腰长=10一4= 6,此时等腰三角形的三边长分别为 6、6、10,能组成三角形. 综上所述，等腰三角形的腰长为14 或6. 12.(1)∠2=∠DCB. .∠1=∠ACB, .DE//BC. .∠2=∠DCB. (2)∠2=∠3，∠2=∠DCB, ∴.∠3=∠DCB. .HF//CD. ∴.∠CDB=∠FHB. :FH⊥AB, .∠FHB=90° '.∠CDB=90°，即CD⊥AB ∴.CD是△ABC的高. 13.B解析：假设存在这样的三角 形.对于A,根据等积法，得到此三角 形三边长的比为2：2：1，∴.存在这 样的三角形.故A不符合题意.对于 B,同理，可得三边长的比为6：3：2， 这与三角形的三边关系相矛盾，∴.这 样的三角形不存在.故B符合题意. 对于C,同理，可得三边长的比为6： 4:3,∴.存在这样的三角形.故C不 符合题意.对于D,同理，可得三边长 的比为20：15：12，∴.存在这样的三 角形.故D不符合题意 14.探索：(1)a. (2)2a. 理由：如图，连接AD. .CD=BC,AE=CA, .S△nAC=S△DAR=S△AIx=a. .S2=2a. (3)6a. 发现：7. 应用：根据“发现”可知，S△Dm 7S△Ax=70m2,S△EH=7S△DEF= 490m2, ∴.这两次扩展的区域（即涂色部分） 的面积共为490一10=480(m). E B CD (第14题) 1.2全等三角形 1.A2.D3.14.ABCD 5.(1).△ABD≌△EBC, .'BD=BC=3 cm,AB=EB=2 cm .'DE=BD-EB=1cm. (2)AC⊥BD. 理由：，'△ABD≌△EBC, ∴.∠ABD=∠EBC. 又·点A、B、C在同一条直线上， ∴.∠ABD+∠EBC=180°. ∴.∠ABD=∠EBC=90. ∴.AC⊥BD. 6.D 7.D解析：设∠A=3x°，则∠ABC= 5x°，∠ACB=10x°.由题意，得3.x+ 5x+10x=180,解得x=10,则∠A= 30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°. ∴.∠BCN=180°-100°=80°.又 △MNC≌△ABC,∴.∠MCN= ∠ACB=100°.∴.∠BCM= ∠MCN-∠BCN=100°-80°=20°. ∴.∠BCM:∠BCN=20°：80°= 1：4. 8.B解析：∠BAC=a,∴.∠B十 ∠C=180°-a.△BED≌△CFE 1 ·∠B=∠C=90-2a,∠BDE= ∠CEF..∠BDE+∠BED= 180°-∠B=180°-(90-2） 90°+2a,.∠CEF+∠BED= ∠BDE+∠BED=90°+2a :∠FED=B,∠CEF+∠BED+ ∠FED=180,.90°+2a+B= 1 180°..a+23=180. 9.90°解析：：△CAF≌△CEF≌ △CEG≌△BEG,∴.∠ACF= ∠ECF=∠ECG=∠B,∠A= ∠AEC.∴.∠ACB=3∠B. ,∠AEC=∠B+∠ECG=2∠B, '.∠A=2∠B..∠A+∠ACB+ ∠B=180°，∴.6∠B=180°..∠B= 30°..∠ACB=90° 10.3或号 解析：设运动时间为ts, AP 3t cm,BP =(12-3t)cm, BQ=xtcm.①若△ACP≌△BPQ, 9=12-31, 则AC=BP,AP=BQ,. 3t=xt, 2 解得 =l,@若△ACP≌△BQP,则 x=3. 9=t, AC=BQ,AP=BP,. 3t=12-31, t=2, 解得 9综上所述，x的值为3 2 或 11.(1)∠ABE=162°，∠DBC= 30°， .∠ABD+∠CBE=132°. '△ABC≌△DBE, ∴.∠ABC=∠DBE. ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠TDRC. ∴.∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， 即∠CBE的度数为66. (2)△ABC≌△DBE, ∴.DE=AC=AD+DC=5,BE= BC=4. ∴.△CDP与△BEP的周长和= DC+DP+PC+BP+PE+BE= DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+ 4=15.5. 12.(1)DE=CE+BC. 理由：△ABC≌△DAE, .BC=AE,AC=DE. :A、E,C三点在同一条直线上， ∴.AC=CE+AE. .DE=CE+BC. (2)当△ADE满足∠AED=90时， DE∥BC. .·△ABC2△DAE, ∴.∠C=∠AED ∠AED=90°，A、EC三点在同一 条直线上， ∴.∠AED=∠DEC=90° ∴.∠C=∠DEC. ∴.DE∥BC. ∴.当△ADE满足∠AED=90°时， DE∥BC. 13.B解析：.△AOB2△ADC, ∴.AB=AC,∠BAO=∠CAD.∴.易 得∠OAD=∠BAC=a.∴.在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=2180-a).第1章三角形 1.1三角形中的线段和角 第1课时 三角形的边和角 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，图中的三角形共有 6.(2023·福建)若一个三角形的三边的长分别 A.3个B.4个 C.5个 D.6个 为3、4、m,则m的值可以是 ( A.1 B.5 C.7 D.9 7. 现有若干个三角形，在所有三角形的内角中， (第1题) (第2题) 有5个直角、3个钝角、25个锐角，则这些三 2.如图，给出的三角形有一部分被遮挡住了，则 角形中，锐角三角形的个数是 () 这个三角形是 A.3 B.4或5C.6或7D.8 A.直角三角形 B.锐角三角形 8.如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成 C.钝角三角形 D.等边三角形 3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等. 3.(1)已知一个三角形的两边的长分别为4和 若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体， 5.若第三边的长为整数，则此三角形周长的 则图中a的值可以是 () 最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知△ABC的三边的长a、b、c满足 (a一2)2+|b一4|=0，则a、b的值分别是 若c为偶数，则△ABC的周长为 ① ② (第8题) (第9题) 4.如图，过A、B、C、D、E五个点中 E D 9.情境题·日常生活如图，用四颗螺丝 任意三个点画三角形 将不能弯曲的木条围成一个木框， (1)以AB为一边可以画出 B (第4题) 不计螺丝的大小，其中相邻两颗螺 个三角形 丝间的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木 (2)以C为顶点可以画出 个三角形 条的夹角均可以调整.若调整木条的夹角时 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC的 不破坏此木框，则任意两颗螺丝间的距离的 延长线上.求证：BD一BC<AD一AB. 最大值为 ( A.7 B.10 C.11 D.14 10.(1)把一条长为15的线段截成三段，使每条 线段的长度都是整数，用截成的三条线段可 (第5题) 以组成 个不同的三角形 (2)若从长度分别为3cm、4cm、7cm和 9cm的4根小木棒中选取3根搭成一个三 角形，则这个三角形的周长为 2 注：标“*的题目设有方法归钠”，标“易错题”的设有“易错警示”详见答案与解析” 第1章三角形 11.(1)已知a、b、c为△ABC的三边长，化简： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ |a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|= (2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的 三角形？请画出它们的示意图. (2)如果△ABC的三条边的长均为整数， 周长为11，且有一条边的长为4，那么符合 条件的三角形的最长边的长为 12.已知a、b、c是△ABC的三边长，a=4,b= 6,设三角形的周长是x. (1)直接写出c及x的取值范围. (2)若x是小于18的偶数. ①求c的值 ②判断△ABC的形状， 思维拓展 14.在△ABC中，三边长分别为a、b c.已知a、b、c都是整数且b>a> c,b=5,则满足条件的三角形的个 数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 15.如图，在△ABC中，点D在AB上，点O在 CD上，连接OB.求证：AB+AC>OC+OB. (第15题) 13.在平面内，分别用3根、5根、6根、…长为1 的火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三 角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴的 5 6 根数 示意图 1 形 状等边三角形等腰三角形等边三角形… 3 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时三角形的中线、角平分线、高 自基础进阶 6.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC AB上一点，AB=10,AC=6.若△BDE与 上一点，DE⊥AB于点E,连接AD.下列说 四边形AEDC的周长相等，求BE一AE 法中，错误的是 ( 的值. A.在△ABC中，AC是BC上的高 B.在△ABD中，DE是AB上的高 C.在△ABD中，AC是BD上的高 (第6题) D.在△ADE中，AE是AD上的高 幻素能攀升 7.若一个三角形的三条高的交点恰好是这个三 角形的一个顶点，则这个三角形是() D (第1题) (第2题) A.锐角三角形 B.直角三角形 2.如图，AD是△ABC的中线，AB=5,AC= C.钝角三角形 D.无法确定 4.若△ACD的周长为10，则△ABD的周 8.如图，AB、CD是△AEC的两条高，且AB= 长为 CD,AE=3cm,则CE的长为 cm. A.8 B.9 C.10 D.11 3.如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD CE的中点.若△BEF的面积为4，则△ABC 的面积为 ( (第8题) (第10题) A.12 B.14 C.16 D.18 9. 等腰三角形的一腰上的中线将三角形的周长 分成9和15两部分，则该等腰三角形的腰长 是 10.如图，正方形网格中有两个三角「 (第3题) (第5题) 形，它们的顶点均在正方形网格的 4.(1)在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， BE是边AC上的中线.若∠BAD=40°，则 格点上.若SADEF=a,则S△ABC= ∠CAD的度数为 .若AC=6cm,则 AE= 11.分类讨论思想等腰三角形的底边长为10， (2)已知△ABC的周长为18cm,BE、CF分 一腰上的中线把三角形的周长分成两部分， 别为边AC、AB上的中线，BE、CF相交于点 其中一部分比另一部分长4，求等腰三角形 O,AO的延长线交BC于点D,且AF=3cm, 的腰长 AE=2cm,则BD的长为 5.如图，在△ABC中，高AD=2,CE=4,则 AB与BC长的比是 第1章三角形 12.如图，∠1=∠ACB,∠2=∠3，FH⊥AB于 发现：像上述那样，将△ABC各边均顺次延 点H, 长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图 (1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？ ③)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次. (2)求证：CD是△ABC的高： 可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面 积是原来△ABC面积的 倍 应用：某农户去年在面积为10m的三角形 空地ABC上栽种了某种花卉.今年准备护 (第12题) 大种植规模，该农户像上述那样，把△ABC 向外扩展了两次，第一次由△ABC扩展成 △DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH (如图④).这两次扩展的区域（即涂色部分）》 的面积共为多少平方米？ 岁思维拓展 13.某班组织了一次数学活动课，老师让同学们 谈谈对三角形相关知识的理解.小峰说：“存 ② ③ 在这样一些三角形，它们的三条高之比分别 为1：1：2,1：2：3,2：3：4,3：4：5.” 老师说：“有一个三角形是不存在的.”你认 为不存在的三角形的三条高之比是() A.1:1:2 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 14.情境题·日常生活探索：在图①②③ ④ (第14题) 中，△ABC的面积为a. (1)如图①，延长△ABC的边BC 到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD 的面积为S1,则S1= (用含a的 代数式表示). (2)如图②，延长△ABC的边BC到点D, 延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA, 连接DE.若△DEC的面积为S2,则S2= (用含a的代数式表示)，并说明 理由. (3)如图③，在图②的基础上延长AB到点 F,使BF=AB,连接FD、FE,得到 △DEF.若涂色部分的面积为S3,则S3= (用含a的代数式表示). 5