综合与实践 最短路径问题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

综合与实践 1.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4, S△ABC=20,AC的垂直平分线EF分别交边 AC,AB于点E,F.若D为边BC的中点，M 为线段EF上的一动点，则△CDM周长的最 小值为 A.6 B.8 C.10D.12 F E (第1题) (第2题) 2.*如图，等边三角形ABC的边长为2，A,B, A1三点在同一条直线上，且△ABC≌ △ABC1.若D为线段BC1上一动点，则 AD十CD的最小值为 ( A.3B.4 C.5 D.6 3.(2025·台州玉环期中)如图，在△ABC中， ∠A=20°，D,E分别是边AB,AC上的点， AD=AE=4,M,N分别是边AC,AB上的 动点，在点M,N运动的过程中，DM十 MN+NE的最小值是 () A.2 B.4 C.6 D.8 D B D A (第3题) (第4题) 4.(2024·深圳罗湖期末)如图，在 △ABC中，AB=AC,∠A=90° D,E是边AB上的两个定点，M,N 分别是边AC,BC上的两个动点.当四边形 DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN 的大小是 ( A.45°B.90°C.75°D.135 5.如图，加油站（点A)和商店（点B)在马路 MN的同一侧，点A到MN的距离大于点B 66 最短路径问题 到MN的距离，AB=700m.一个行人（点 P)在马路MN上行走，当点P到点A的距 离与点P到点B的距离之差最大时，这个差 等于 m. M P N (第5题) 6.如图，OE是∠AOB的平分线，∠AOB=30°， OB=6,P,C分别为射线OE,OB上的动点， 则PC+PB的最小值为 A 0 B (第6题) 7.如图，∠AOB=30°，M,N分别是边OA,OB 上的定点，P,Q分别是边OB,OA上的动 点，记∠MPQ=a,∠PQN=B.当MP+ PQ+QN的值最小时，B-a= M D B (第7题) 8.如图，∠XOY内有一点P,试在射线OX上 找出一点M,在射线OY上找出一点N,使 PM+MN+NP的值最小 X ·P 09 -Y (第8题) 9.如图，牧民星期天先从点A处赶了几只羊到 草地1上吃草，然后赶羊到小河l2上饮水， 之后回到点B处的家.假设牧民赶羊走的都 是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明 羊吃草与羊饮水的位置 草地 .B2 小河 (第9题) 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 6,BC=8,AB=10,AD是∠BAC的平分 线.若P,Q分别是AD和AC上的动点，求 PC+PQ的最小值. (第10题) 11.如图，在平面直角坐标系中，某公 路（可视为x轴）的同一侧有A, B,C三个村庄，要在公路边建一货 栈D,向A,B,C三个村庄送货，路线是 D→A→B→C→D或D→C→B→A→D. 试问在公路边是否存在一点D,使送货路线 之和最短？若存在，请在图中画出点D所 综合与实践最短路径问题 在的位置，并简要说明作法；若不存在，请说 明理由、 B(2,4) 2 A(1,2) 1 ℃(4,1) 0 1234x _2 (第11题) 2.如图，护城河在C℃'处直角转弯，河宽相等， 从点A到达点B需经过两座桥（桥宽不 计).设护城河及两座桥都是东西或南北方 向的，则桥架在何处，才能使从点A经过两 座桥到点B的距离最短？请在图中画出两 座桥，并写出画图过程， 北 C B (第12题) 678.(1)点D,E分别在AC,BC的 垂直平分线上， ∴.DC=DA,EC=EB :△CDE的周长=DC+DE+ EC=4, .DA十DE+EB=4,即AB的长为4 (2)∠ACB=100°， .∠A+∠B=80° DC=DA, .∠DCA=∠A. ·EC=EB, .∠ECB=∠B .∠DCA+∠ECB=80° ∴.∠DCE=100°-80°=20°. (3):∠ACB=x, ∴.∠A+∠B=180°-x. 'DC=DA, .∠DCA=∠A. EC=EB, ∴.∠ECB=∠B. ∴.∠DCA+∠ECB=180°-x. ..∠DCE=x-(180°-x)=2x- 180°. 综合与实践最短路径问题 1.D解析：如图，连接AD,AM. ,AB=AC,D为边BC的中点， ·AD⊥BC,CD=合BC=2 Sa=号·AD=号X4X AD=20,解得AD=10.:EF是线 段AC的垂直平分线，∴·点C关于直 线EF的对称点为A.∴.AM=CM. AD≤AM+MD,.AD的长为 CM+MD的最小值.，△CDM的周 长=CM+MD+CD=CM+MD+ 2,.△CDM周长的最小值=AD十 2=10+2=12 E (第1题) 2.B解析：如图，连接CA1,作直线 I⊥AB于点B,易得△ABC与 △A,BC1关于直线1对称.A,B, A,三点在同一条直线上，易得 ∠ABC=∠A,BC1=60°，∴.∠CBC1= 60°.∴.∠ABC,=∠CBC1.由题意， 易得BA,=BC,∴.BC1⊥CA..易 得CD=AD.∴.易得当点D与点B 重合时，AD十CD的值最小，最小值 为线段AA,的长.：等边三角形 ABC的边长为2，∴.易得AA,=4,即 AD+CD的最小值为4. B(D) (第2题) 方法归纳 求线段（和）长的最值问题的 常用方法 (1)三角形的三边关系，即两 边之和大于第三边，两边之差小于 第三边。 (2)两点之间线段最短。 (3)直线外一点到直线上的点 的所有连线中，垂线段最短！ (4)运用对称的性质作对称 点，如图，在直线1上找一点，使得 其到A,B两点的距离之和最短， 可以通过轴对称来确定，即作出其 中一点B关于直线1的对称点B1, 连接AB1,与直线1的交点P即为 所求，线段AB1的长为AP+PB 的最小值.解决实际问题时，首先 把实际问题转化为数学模型，再根 据实际以某条直线为对称轴，构造 对称图形，将有关的线段之和的最 小问题转化成一条线段的长，最后 利用“两点之间线段最短”求解」 A P、 B 33 3.B解析：如图，作点D关于AC的 对称点D',作点E关于AB的对称点 E,连接MD',AD',NE',AE',DE', 则D'M=DM,NE=NE,AD'= AD,AE=AE,∠E'AB=∠BAC, ∠D'AC=∠BAC,.DM+MN+ NE=D'M+MN+NE'≥D'E'. ∴.DM+MN+NE的最小值是D'E' 的长.∠A=20°，AD=AE=4, ∴.∠D'AE'=∠E'AB+∠BAC+ ∠D'AC=60°，AD'=AE'=4. ∴.△DAE是等边三角形..D'E= AD'=4.∴.DM+MN+NE的最小 值是4. E D E D' (第3题) 4.B解析：如图，作点D关于BC的 对称点D',作点E关于AC的对称点 E,连接D'E分别交AC,BC于点 M,N',连接ME',ND',EM',DN', 则ME=ME',ND=ND',∴.四边形 DEMN的周长=DE+ME+MN+ ND=DE+ME'+MN+ND'≥ DE+DE'.:DE的长固定，∴.当点 M与点M重合，点N与点N'重合 时，四边形DEMN的周长最小，此时 ∠DNM+∠EMN=∠DN'M'+ ∠EM'N'.由对称性和三角形外角的 性质，可知∠DN'M'=∠N'DD'+ ∠N'D'D=2∠N'D'D,∠EM'N'= ∠M'EE'+∠M'E'E=2∠ME'E. ∴.∠DN'M+∠EMN'=2∠N'D'D+ 2∠ME'E=2(180°-∠D'DE).设 DD与BC交于点H,AB=AC, ∠BAC=90°，.∠B=45°.易得 DH⊥BH,.∠BDH=45°. ∴.∠D'DE=180°-45°=135. ∴.∠DN'M'+∠EM'N'=2X (180°一135°)=90°，即当四边形 DEMN的周长最小时，∠DNM+ ∠EMN的大小是90°. E A E D N衣 D (第4题) 5.7006.3 7.60°解析：如图，作点M关于OB 的对称点M,点N关于OA的对称 点N,连接M'N',交OA于点Q,交 OB于点P,此时MP+PQ+QN的 值最小，即为M'N的长.易得 ∠OPM=∠OPM'=∠QPN= 2∠M'PM,∠OQP=∠AQN'= ∠AQN=g∠NQN.·∠QPN 3∠MrPM=2(Is0-∠MPQ) gX(180-a.:∠QPN- ∠AOB+∠OQP=∠AOB+ 2∠NQN=∠A0B+3(180 ∠PQN)=30°+7×(180°-B, ×(180-a)=30+号× (180°一3).整理，得3-a=60°. 水 0 P 2 M' (第7题)》 8.如图，作点P关于OX的对称点 A,关于OY的对称点B,连接AB,交 OX,OY于点M,N,则M,N两点即 为所求. M P N B (第8题) 9.如图，A→C→D·B是他走的最 短路线，点C,D分别为羊吃草、羊饮 水处 E C 草地 (吃草) (饮水)八4B 小河DF (第9题) 10.如图，过点C作CM⊥AB,交AB 于点M,交AD于点P,过点P作 PQ⊥AC于点Q. ,AD是∠BAC的平分线， ∴.PQ=PM,此时PC十PQ有最小 值，即为CM的长 :∠ACB=90°，CM⊥AB, AB·CM=AC·BC 又.'AC=6,BC=8,AB=10, CM-AC-华，即PC+Q AB 的最小值为酷 M (第10题) 11.存在. 如图，作点A关于x轴的对称点A', 连接A'C,则A'C与x轴的交点即 为D B(2,4) 2 1A(1,2) 1 D,℃(4,1) 0 了234x -1 -2 A (第11题) 12.如图，分别过点A,B作河岸的一 边CM,CN的垂线，并截取AF= BG=河宽，连接FG分别与河岸的另 一边CM',C'N'相交于点D',E',过 点D'作D'D⊥C'M交CM于点D, 34 过点E'作E'E⊥C'N'交CN于点E, 连接AD,BE 此时从点A到点B的路径中，路径 A→D→D'>E'→E→B最短. .桥架在DD',EE的位置 北 F D -M C D -M E (第12题) 第十六章 整式的乘法 16.1幂的运算 第1课时同底数幂的乘法 1.C2.A3.2 4.(1)原式=a5+a7-a7=a5. (2）)原式=2+1-2+1+4=4. (3)原式=(b-a)2·(b-a)3+(b a)4·(b-a)=(b-a)5+(b-a)5= 2(b-a)5. 方法归纳 运用同底数幂的乘法法则 时的两个注意点 (1)当幂的指数为1时，“1”常 省略不写，不要误认为没有指数或 指数为0. (2)当计算同底数幂的乘法 时，必须注意判断各个因式的底数 是否相同，当底数互为相反数时， 必须先转化为同底数幂的形式，再 运用法则进行计算， 5.原式=23×2”+1X23×2”-1= 23+n+D+3+n-D=22+6. 6.C7.C8.a+b=c9.(1)3 (2)125(3)4 10.40解析：x·xm·x”= x1+m+"=x4,∴.1十m十n=14,即 m+n=13.又.m-n=3, m+n=13, m=8, 解得 .= m-n=3, n=5. 8×5=40. 11.(1)23x+1=128=22,