12.4 逆命题和逆定理-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 12.4逆命题和逆定理 第1课时互逆命题和互逆定理 自基础进阶 幻素能攀升 1.下列各命题的逆命题是真命题的为( 6.下列说法错误的是 A.如果a=0,那么ab=0 A.任何命题都有逆命题 B.全等三角形的对应角相等 B.任何定理都有逆定理 C.相等的角是同位角 C.命题的逆命题不一定是真命题 D.如果a=b,那么3a=3b D.定理的逆定理一定是真命题 2.下列定理中，没有逆定理的是 7.有下列命题：①若6>1，则a>b;②若a十 A.两直线平行，内错角相等 B.两直线平行，同旁内角互补 b=0,则|a|=b|;③等边三角形的三个内 C.同角的余角相等 角都相等；④底角相等的两个等腰三角形全 D.若两个三角形的三条边对应相等，则这两 等.其中，原命题与逆命题均为真命题的个 个三角形全等 数是 3.命题“如果mn=1,那么m、n互为倒数”的逆 A.1 B.2 C.3 D.4 命题是 原命题 8.给出下列三个定理：①有两个角相等的三角 是 (填“真”或“假”)命题，逆命题是 形是等腰三角形；②全等三角形的周长相 (填“真”或“假”)命题 等；③同位角相等，两直线平行.其中，存在 4.命题“对顶角的平分线在一条直线上”的逆命 逆定理的有 (填序号). 题是 9.命题“当k=2时，二次三项式x2十kxy十y2 该逆命题是 (填“真”或“假”)命题 是完全平方式”的逆命题是 命题（填 5.已知命题“在两个三角形中，两边及其中一边 “真”或“假”)， 所对的角对应相等，则这两个三角形全等”. 10.写出下列命题的逆命题，并判断其真假.如 (1)这个命题是真命题还是假命题？如果是 果是假命题，请举出反例。 假命题，那么请画出图形说明： (1)如果a十b=0,那么a2=b2 (2)这个命题的逆命题是什么？逆命题是真 (2)等腰三角形是锐角三角形 命题吗？ (3)如果x=a,那么(x一a)(x一b)=0. 72 第12章全等三角形 11.在同一个三角形中，角的大小与边的大小满思维拓展 金 足定理“在三角形中，大角所对的边较大”. 13.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分 该定理有逆定理吗？如果有，请写出逆定 别在边BC、AB、CA的延长线上， 理，并加以证明；如果没有，请写出它的逆命 (1)若BE=AF=CD,求证：△DEF是等 题，并举出一个反例说明它是假命题， 边三角形. (2)写出(1)的逆命题，并判断其是否成立. 若成立，请说明理由；若不成立，请举反例 说明. (第13题) 12.写出命题“等腰三角形底边上的中 点到两腰的距离相等”的逆命题 并证明该逆命题是真命题. 73 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 线段垂直平分线 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，直线MN为线段BC的 6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB 垂直平分线，交AC于点D,连结BD.若 于点D,交AC于点E,连结CD.若AC= AD=3cm,AC=10cm,则BD的长为 2AD一4，△ADC的周长是16，则CD的 ( 长为 () A.6 cm B.7cm C.8 cm D.9 cm A.4 B.5 C.6 D.4.5 M B (第1题) (第2题) (第6题) (第7题) 2.如图，AC=AD,BC=BD,则有 () 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过直角 A.AB垂直平分CD 边AC上的一点P,作直线DE交AB于点D, B.CD垂直平分AB 交BC的延长线于点E.若∠DPA=∠A,则点 C.AB与CD互相垂直平分 D在 () D.CD平分∠ACB A.BC的垂直平分线上 3.已知三角形两条边的垂直平分线的交点在第 B.BE的垂直平分线上 三条边上，则这个三角形是 三角形 C.AC的垂直平分线上 (填“锐角”“直角”或“钝角”). D.以上答案都不对 4.如图，P为△ABC三边垂直平 8.*如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 分线的交点，若∠PAC=20°， 20,分别以点A、B为圆心、大于)AB的长 ∠PCB=30°，则∠PAB的度 数为 (第4题) 为半径作圆弧，两弧分别相交于点M、N,作 5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,边BC 直线MN,交BC于点D,连结AD,则 的垂直平分线MN经过点A.求证：点A在 ∠CAD的度数为 CD的垂直平分线上 米W (第8题) (第9题) (第5题) 9.如图，在△ABC中，AB=5,BC= 10,AC=9,MN为边BC的垂直平 分线，D为直线MN上一动点，则 △ABD的周长的最小值为 74 第12章全等三角形 10.新情境·日常生活如图所示为风筝的结构示 的思维拓展 意图，D是等边三角形ABC外部的一点， 12.如图，在△ABC中，AB边的垂直 且AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于 平分线I1交BC于点D,AC边的 点F,交BC于点E. 垂直平分线L2交BC于点E,连结 (1)求证：BD垂直平分线段AC. AD、AE,l1与L2相交于点O,连结OB、 (2)若BC=10,CF=4,求DE的长， OC.若△ADE的周长为6cm,△OBC的周 长为14cm. (1)求线段BC的长， (2)连结OA,求线段OA的长 (第10题) (3)若∠BAC=100°，求∠DAE的度数. 0 (第12题) 11.如图，在△ACD中，BD垂直平分AC,过点 A作AF∥BC交CD于点F,延长AB、DC 交于点E.求证： (1)AC平分∠EAF. (2)∠FAD=∠E. (第11题) 75 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第3课时 角平分线 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2024·青海)如图，O℃平分∠AOB,点P在 5.如图，AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分 OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的 线的交点，OE⊥AC于点E.若OE=2,则 距离是 AB与CD之间的距离是 () A.4 B.3 C.2 D.1 A.2 B.4 A C.6 D.8 P 0 0 D B (第1题) (第2题) 2.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C, QD⊥OB于点D.若QC=QD,则∠AOQ的 (第5题) (第6题) 6.如图，在四边形ABCD中，AB= 度数为 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为 CD,BA和CD的延长线交于点E. 圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC、AB 若点P使得SAPAB=SAPCD,则满足 于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于 条件的点P 专MN的长为半径画国弧，两弧交于点P,作 A有且只有1个 B.有且只有2个 射线AP交边BC于点D.若CD=3,AB C.组成∠BEC的平分线 10,则△ABD的面积是 D.组成∠BEC的平分线所在的直线和与 ∠BEC的邻补角的平分线所在的直线（点 E除外) N 7.如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC (第3题) 4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与 三边的距离相等（即OF=OD=OE),若 △ABC的外角∠ACE的平分线相交于 ∠BAC=70°，则∠BOC的度数为 点P,过点P作PD⊥AC于点D,PH⊥BA 交BA的延长线于点H,连结AP.求证：AP 平分∠HAD. (第7题) (第8题) 8.如图，AD平分∠BAC,BD平分∠ABC, DE⊥AB,垂足为E.若△ABC的周长为 (第4题) 20cm,面积为40cm,则DE的长为 76 第12章全等三角形 9.如图，在△ABC中，BD=CD,∠1=∠2.求思维拓展 证：AD平分∠BAC. 11.新考法·操作实践题如图，在△ABC 中，作∠ABC的平分线BM,在 BM上找一点D,使得DA=DC D 过点D作DE⊥BC,交直线BC于点E. (第9题) (1)依题意补全图形 (2)用等式写出AB、BC、BE之间的数量关 系，并给出证明. (3)如果把作∠ABC的平分线BM,改为作 ∠ABC的外角∠PBA的平分线BM,其他 条件不变，直接用等式写出AB、BC、BE之 间的数量关系 B 备用图 (第11题) 10.如图，D是∠EAF的平分线上 一点，AC<AB.若∠ACD+ ∠ABD=180°，求证：CD=BD BF (第10题) 77180°-4x. .∠BAC=120°， ∴.∠BAE+∠EAC=120°，即180°- 4x+x=120°. ∴.x=20. .∠C=20. A B D E (第5题) 6.如图，延长AD至点E,使ED= AD,连结BE 在△EDB和△ADC中， ED=AD, ∠EDB=∠ADC, BD=CD, '.△EDB≌△ADC(SAS). '.EB=AC,∠E=∠DAC. .AD平分∠BAC, .∠DAB=∠DAC .∠DAB=∠E .'.AB=EB. ∴.AB=AC. '.∠ABC=∠C. B4 C D E (第6题) 7.如图，延长AD至，点G,使DG AD,连结BG. AD为边BC上的中线， .'BD=CD. 在△BDG和△CDA中， BD=CD, ∠BDG=∠CDA, DG-DA, '.△BDG≌△CDA(SAS). .BG=CA,∠G=∠CAD, .AE=EF, .∠CAD=∠AFE. 又.·∠BFG=∠AFE, .∴.∠G=∠BFG .BG=BE ∴.AC=BF G (第7题) 8.如图，在AC上截取AE=AB,连 结DE. :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD. 在△ABD和△AED中， (AB=AE, ∠BAD=∠EAD, AD-AD, .'.△ABD≌△AED(SAS). ∴.∠B=∠AED,BD=ED. 又∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C :∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠EDC=∠C .ED=CE. .BD=CE. ∴.AB+BD=AE+CE=AC. D (第8题) 方法归纳 利用倍角关系构造 等腰三角形的方法 已知在△ABC中，∠ACB 1 ∠ABC. (1)如图①，作∠ABC的平分线 BD,则可构造等腰三角形BDC. (2)如图②，作∠BCE=2∠ACB, 交BA的延长线于点E,则可构造 等腰三角形BCE. 25 (3)如图③，延长CB至，点D,使 BD=AB,连结AD,则可构造等腰 三角形ABD和等腰三角形ADC. (4)如图④，作∠BCE=∠ACB, 交AB的延长线于点E,则可构造 等腰三角形BCE. A C ② ② B ③ A B ⊙ 12.4逆命题和逆定理 第1课时互逆命题和互逆定理 1.D2.C3.如果m、n互为倒数， 那么m=1真真 4.如果两个角的平分线在一条直线 上，那么这两个角是对顶角假 5.(1)这个命题是假命题. 如图，在△ABC和△ABD中，AB= AB,AD=AC,∠B=∠B,但△ABC 与△ABD显然不全等. ∴此命题是假命题。 (2)逆命题：如果两个三角形全等，那 么这两个三角形的两边及其中一边所 对的角对应相等。 逆命题是真命题！ B D (第5题) 6.B7.A8.①③ 9.假解析：如果二次三项式x2十 k.y十y2是完全平方式，那么k=士2， 故原命题的逆命题“如果二次三项式 x2十kxy十y2是完全平方式，那么 k=2”是假命题 10.(1)逆命题：如果a2=b,那么 a+b=0. 假命题 反例不唯一，如a=1,b=1,a2=b2成 立，但a+b=0不成立 (2)逆命题：锐角三角形是等腰三 角形 假命题」 反例不唯一，如在△ABC中，∠A= 50°，∠B=60°，∠C=70°，此时 △ABC是锐角三角形，但不是等腰三 角形 (3)逆命题：如果(x一a)(x一b)=0, 那么x=a 假命题. 反例：x=b≠a. 11.有逆定理：在三角形中，大边所 对的角较大。 已知：如图，在△ABC中，AC>AB, 求证：∠ABC>∠ACB. 证明：AC>AB, .在AC上截取AE=AB,连结BE .∠ABE=∠AEB. ∠ABC>∠ABE, .'.∠ABC>∠AEB. .·∠AEB>∠ACB, ∴.∠ABC>∠ACB. A B -----E (第11题) 12.逆命题：如果一个三角形一边上 的中点到另两边的距离相等，那么这 个三角形是等腰三角形， 已知：如图，在△ABC中，D是BC的 中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F,且DE=DF. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：D是BC的中点， .'BD=CD. .·DE⊥AB,DF⊥AC .∴.∠BED=∠CFD=90. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， (BD-CD. DE=DF, ,'.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). '.∠B=∠C ..AB=AC. ∴.△ABC是等腰三角形 D (第12题) 13.(1).·△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=∠ABC=60°，AB= AC=BC. .∴.∠EAF=∠DBE=120. BE=CD, ,'.BE+AB=CD+BC,即AE= BD. 在△AEF和△BDE中， (AF=BE, ∠EAF=∠DBE, AE-BD, ∴.△AEF≌△BDE(SAS). .'EF=DE 同理，可得△AEF≌△CFD, .EF=FD. ∴.EF=DE=FD. '.△DEF是等边三角形 (2)(1)的逆命题是“若△DEF是等 边三角形，则BE=AF=CD”,该命 题成立 理由：，△ABC、△DEF都是等边三 角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠EDF=60°， BC=AC,ED=DF】 又：∠ABC=∠BED+∠BDE, ∠ACB=∠CDF+∠CFD,∠EDF= ∠CDF+∠BDE .∴∠BED=∠CDF,∠BDE=∠CFD. 在△BED和△CDF中， 26 ∠BED=∠CDF, ED-DF, ∠BDE=∠CFD, .∴.△BED≌△CDF(ASA). .'BD=CF .BD-BC=CF-AC,即CD= AF. 同理，可得BE=CD, .BE=AF=CD. 第2课时线段垂直平分线 1.B2.A3.直角4.40 5.如图，连结AC. ,MN垂直平分BC, ∴.AB=AC. .AB=AD, .AC=AD. ∴.点A在CD的垂直平分线上. 公 (第5题) 6.B 7.B解析：∠ACB=90, .∠A+∠B=90°，∠E+∠CPE 90°.又.·∠DPA=∠A,∠DPA= ∠CPE,∴.∠A=∠CPE.∴.∠E= ∠B..DE=DB..点D在BE的 垂直平分线上. 8.50°解析：∠C=90°，∠B= 20°，∴.∠CAB=90°-∠B=90°- 20°=70°.由作图可知，MN垂直平分 线段AB,.DA=DB..∠DAB= ∠B=20°..∠CAD=∠CAB ∠DAB=70°-20°=50 方法归纳 由线段垂直平分线求角的思路 线段的垂直平分线与等腰三 角形密切联系，解决与线段垂直平 分线有关的角的计算问题时的常 用思路：线段垂直平分线·相等的 线段（等腰三角形）→相等的角（等 边对等角) 9.14 10.(1),△ABC是等边三角形 .BA=BC. 又，AD=CD, ,.BD垂直平分线段AC. (2)△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°. ·BD垂直平分线段AC, ..∠CBD=30. DE∥AB, ,'.∠FEC=∠ABC=60° ∴.易得△CEF是等边三角形， ∴.CE=CF=4 ∴.BE=BC-CE=6. ,∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°= ∠CBD, ∴.DE=BE=6. .DE的长为6. 11.(1),BD垂直平分AC, ∴.BA=BC .∴.∠BAC=∠BCA」 AF//BC, .'.∠CAF=∠BCA ∴.∠CAF=∠BAC,即AC平分 ∠EAF. (2):BD垂直平分AC, .'DA=DC. .'.∠DAC=∠DCA :∠DAC=∠FAD+∠CAF, ∠DCA=∠E+∠EAC, ∴.∠FAD+∠CAF=∠E+∠EAC. 又：∠CAF=∠EAC, ∴.∠FAD=∠E. 12.(1).11是AB边的垂直平 分线， .'DA=DB. ,l2是AC边的垂直平分线， ∴.EA=EC. .BC=BD+DE+EC=DA+ DE+EA. △ADE的周长为6cm,即DA十 DE+EA=6 cm, .'BC=6 cm. (2)1是AB边的垂直平分线， ∴.OA=OB ,12是AC边的垂直平分线， .OA=OC. ,△OBC的周长为14cm,即OB+ OC+BC=14 cm,BC=6 cm, ∴.OA=OB=OC=4cm. (3),∠BAC=100°， ∴.∠ABC+∠ACB=80°. DA=DB,EA=EC, .∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB. .∠DAE=∠BAC-(∠BAD+ ∠EAC)=∠BAC-(∠ABC+ ∠ACB)=20°」 第3课时角平分线 1.C2.35°3.15 4.如图，过点P作PF⊥BE于点F, :BP平分∠ABC,PH⊥BA, PF⊥BE, .PH=PE CP平分∠ACE,PD⊥AC, PF⊥CE, .PD=PF. ∴.PD=PH. 又：PH⊥AH,PD⊥AC, ∴.AP平分∠HAD H D B -E C (第4题) 5.B解析：如图，过点O作OM AB于点M,延长MO交CD于点N. AB∥CD,∴.MN⊥CD.AO是 ∠BAC的平分线，OM⊥AB,OE⊥ AC,.OM=OE=2.CO是 ∠ACD的平分线，ON⊥CD,OE⊥ AC,.'.ON=OE-2...MN=OM+ ON=4,即AB与CD之间的距离 是4. M CN D (第5题) 6.D解析：AB=CD,S△PAB= 27 S△PD,∴.△ABP中边AB上的高与 △PCD中边CD上的高相等，进而可 知点P到AB与CD所在直线的距离 相等又点P不能与点A、B在同 一条直线上，点P不能与点C、D在 同一条直线上，∴.满足条件的点P组 成∠BEC的平分线所在的直线和与 ∠BEC的邻补角的平分线所在的直 线（点E除外） 7.125 8.4cm解析：连结CD.,AD平分 ∠BAC,BD平分∠ABC,.点D到 AC、AB、BC的距离相等，都为DE的 长.：△ABC的周长为20cm,面积 为40cm2,∴.S△AB=S△Ax+ 1 SADB+S△Am=2AC·DE+ 号BC·DE+号AB·DE,即0= DEX20.DE=4cm 9.如图，过点D作DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F. ∴.∠BED=∠CFD=90°. 在△BED和△CFD中， 「∠BED=∠CFD, 3∠1=∠2， BD=CD. .△BED≌△CFD(AAS). .DE=DE 又DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.AD平分∠BAC. B (第9题) 10.如图，过点D分别作AE、AF的 垂线，垂足分别为M、N. ∴.∠CMD=∠BND=90. .·AD是∠EAF的平分线， .DM=DN. .∠ACD+∠ABD=180°，∠ACD+ ∠MCD=180°， '.∠MCD=∠NBD. 在△CDM和△BDN中， ∠CMD=∠BND, ∠MCD=∠NBD, DM-DN, '.△CDM≌△BDN(AAS). .'CD=BD. M C D NB F (第10题) 11.(1)如图. (2)AB=2BE-BC. 如图，过，点D作DF⊥AB于点F, ,BM平分∠ABC,DF⊥AB, DE⊥BC, .'DE=DF. .AD=CD, ∴.易得Rt△ADF≌Rt△CDE(H). .AF=CE. .DE=DF,BD=BD, ∴易得Rt△BDF≌Rt△BDE(HI,). .BF=BE. .AB=BF+AF=BE+CE=BE+ BE-BC=2BE-BC. (3)AB=BC+2BE. (第11题) 专题特训九线段垂直平分线 与角平分线的应用 1.B解析：△ABC的周长为 24 cm,.'AB+BC +AC=24 cm. :DE是AB的垂直平分线， :DA=DB,BE=号AR:△BCD 的周长为16cm,∴.BC+CD+DB= 16 cm..BC+CD+DA BC+ AC=16cm..AB=24-16= 8(cm)..'.BE=4cm. 2.5解析：△ABC的周长为16， .'AB+BC+AC=16..'AC=6, ∴.AB+BC=10..EF垂直平分 AC,.'.AE=CE..AB=AE,AD BC,..AB=CE,BD=DE..AB+ BD-CE+DE-(AB+RC)-5 .DC=CE+DE=5. 3.:'△ACD的周长是14cm, .∴.AD+DC+AC=14cm. ,DE是BC的垂直平分线， .DB=DC. .AD+DC=AD+DB-AB. ∴.AB+AC=14cm. 又：AB比AC长2cm, ∴.AB-AC=2cm. ∴.AB=8cm,AC=6cm. 4.25或95°解析：MN是线段 AB的垂直平分线，.QA=QB. ∴.∠QAB=∠QBA=60°.如图①，当 点P、Q在AB的同侧时，∠QAP= ∠QAB-∠PAB=60°-35°=25°；如 图②，当点P、Q在AB的异侧时， ∠QAP=∠QAB+∠PAB=60°+ 35°=95°.综上所述，∠QAP的度数 为25或95°. M ② (第4题) 5.连结CE ,线段AB、DE的垂直平分线交于 点C, .'CA=CB,CE=CD. .'.∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC= ∠EDC=72 ∴.易得∠ACB=∠DCE=36. .'.∠ACB-∠BCE=∠DCE ∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 28 在△ACE和△BCD中， (CA=CB, ∠ACE=∠BCD, CE=CD ∴.△ACE≌△BCD(SAS). ∴.∠AEC=∠BDC. 设∠AEC=∠BDC=a, 则∠BDE=∠EDC-∠BDC=72°- a,∠CEB=∠AEB-∠AEC= 92°-a. ∴.∠BED=∠DEC-∠CEB=T2- (92°-a)=a-20°. .∠EBD=180°-∠BDE- ∠BED=180°-(72°-a)-(a- 20°)=128°. 6.B解析：如图，连结AC,过点C 作CE⊥l2于点E,CF⊥l1于点F. .村庄C到公路l1的距离为4km, ∴.CF=4km.在△CAD和△CAB (AD=AB, 中，AC=AC,∴.△CAD≌△CAB CD=CB, (SSS).∴.∠CAD=∠CAB,即AC 平分∠BAD.∴.CE=CF=4km,即 村庄C到公路12的距离为4km E D A /B 0 F (第6题) 7.4解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E,DF⊥AC于点F.AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE DF.. S△ADB= S△AC 1 AB·DE 2AC·DF -子：易得 AC CD2.:BC=10,易得CD= BD 3 E B D (第7题)