12.3 等腰三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 12.3 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2023·眉山)如图，△ABC中，AB=AC, 5.如图，在△ABE中，BA=BE,F为AE的中 ∠A=40°，则∠ACD的度数为 () 点.若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的 A.70°B.100°C.110°D.140° 度数为 () A.67 B.68° C.70° D.84° C D B (第1题) (第2题)》 A B 2.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点 (第5题) (第7题) D,E为AD上一点，∠CED=50°，则∠ABE 6.分类讨论思想已知等腰三角形的一个 的度数为 ( 角比另一个角的2倍少20°，则这个等 A.10°B.15° C.20° D.25° 腰三角形的顶角的度数是 3.如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E A.140°或44°或80°B.20°或80 在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则 C.44°或809 D.140° ∠E的度数为 7.如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF, 则∠EDF的度数为 ( A.90 B.75 C.60 D.45° (第3题) 8.如图，△ABC为等边三角形，AD平分 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC于点 ∠BAC,△ADE是等边三角形，DE交AB F,点D在BA的延长线上，点E在AC上， 于点F,连结BE.给出下列结论：①AD⊥ 且AD=AE,试判断DE与AF的位置关系， BC;②EF=FD;③BE=BD:④∠ABE= 并证明你的结论. 60°.其中，正确的个数为 A.4 B.3 C.2 D.1 (第4题) B D (第8题) (第9题) 9.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，则 AE CD(填“>”“<”或“=”). 66 第12章全等三角形 10.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于爸思维拓展 点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F, 12.老师布置了一道思考题：如图①，点M、N DE=2,则BF的长为 分别在等边三角形ABC的边BC、CA上， 且BM=CN,AM、BN交于点Q.求证： ∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题的证明， D B (第10题) (2)如图②，若将点M、N分别移到BC、CA 11.如图，在△ABC中，AB=BC,D 的延长线上，且BM=CN,直线AM、BN 为BC上一点，DE⊥AB于点E 交于点Q,是否仍然能得到∠BQM=60°？ DF⊥BC,交AC于点F 请说明理由. (1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数. (2)若F是AC的中点，求证：∠CFD= 2B. B M ① ② (第12题) B D (第11题) 67 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时等腰三角形的判定 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.在三角形中已知两个内角，能判定这个三角 5.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, 形是等腰三角形的为 ( BE⊥CD,垂足为D,BE交AC于点E, A.30°、609 B.40°、70 ∠A=∠ABE.若AC=10,BC=6,则BD的 C.50°、60 D.100°、30 长为 () 2.下列推理错误的是 ( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 A..'∠A=∠B=∠C,∴.△ABC是等边 三角形 B..'AB=AC,且∠B=∠C,∴.△ABC是 等边三角形 (第5题) (第6题) C.∠A=60°，∠B=60°，.△ABC是等 6.如图，E是等边三角形ABC的边 边三角形 AC上的点，∠1=∠2，BE=CD,则 D..AB=AC,且∠B=60°，.△ABC是 △ADE的形状是 () 等边三角形 A.直角三角形 B.等边三角形 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°， C.不等边三角形 D.无法确定 ∠C=45°，AD是边BC上的高， 7.易错题在△ABC中，∠A=80°，则当∠B的 ∠ABC的平分线BE分别交AD 度数为 时，△ABC是等腰三 AC于点F、E,则图中等腰三角形共有 角形 个，分别是 8.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC 上的点，BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与 CD相交于点F,求证：△ABC是等腰三 角形 D (第3题) 4.如图，CD平分∠ACB,AE∥DC,AE交BC 的延长线于点E,且∠ACE=60°.求证： △ACE是等边三角形. (第8题) D (第4题) 68 第12章全等三角形 9.(1)如图①，在△ABC中，∠ABC、 留思维拓展 ∠ACB的平分线交于点O,过点O 10.*如图，D为等边三角形ABC的边BC上一 作EF∥BC交AB、AC于点E、F. 点，以AD为边作等边三角形ADE,连 试猜想EF、BE、CF之间的数量关系，并说 结BE 明理由. (1)求证：BE=CD (2)如图②，点B、C、D在同一条直线上，若 (2)分别取BE、CD的中点M、N,连结 将∠ACB的平分线改为∠ACD的平分线， AM、AN、MN.试判断△AMN的形状，并 其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗？请 加以证明. 说明理由， D B DN (第10题) (第9题) 69.∠ACF=∠ADF. ,∠ACB=90, .∠CAE+∠B=90 CE⊥AB, .∠AEC=90°. .∠ACF+∠CAE=90. ∴.∠ACF=∠B, .∠ADF=∠B. ∴.DFBC. 6.(1)·BE、CF是△ABC的高， ∴.∠AEB=90,∠AFC=90. ∴.∠ABP+∠BAE=90°，∠QCA+ ∠BAE=90° ∴.∠ABP=∠QCA. 在△ABP和△QCA中， (BP=CA, ∠ABP=∠QCA, LAB=QC, ∴.△ABP≌△QCA(SAS). (2)AP⊥AQ: .·△ABP≌△QCA, ..∠BAP=∠Q ,∠AFC=90, .∠Q+∠BAQ=90. ∴.∠BAP+∠BAQ=90°，即 ∠PAQ=90°. .AP⊥AQ. 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常 见的题型，解决这类问题的一般方 法是证明这两条直线的夹角为 90°，即证明组成这个夹角的几个角 的和是90°或者这个夹角所在的三 角形的另外两个角的和是90° 7.BD=2CE. 理由：延长BA、CE相交于点F, :BD平分∠ABC, ∴.∠CBE=∠FBE CE⊥BD, ∴.∠BEC=∠BEF=9O° 在△BCE和△BFE中， ∠CBE=∠FBE, BE=BE. ∠BEC=∠BEF, .△BCE≌△BFE(ASA). .CE=FE. ,∠BAC=∠BEC=90°， .∴.∠ACF+∠F=90°，∠ABD+ ∠F=90 ∴.∠ABD=∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°， ∴.△ABD≌△ACF(ASA). ∴BD=CF. CF=CE+EF=2CE, .∴.BD=2CE. 8.如图，延长AB至点E,使得BE= DN,连结CE. :∠ABC+∠D=180,∠ABC+ ∠CBE=180°， ∴∠CBE=∠D 在△CBE和△CDN中， (CB=CD, ∠CBE=∠D, BE-DN, ∴.△CBE≌△CDN(SAS). .CE=CN,∠BCE=∠DCN. ,∠BCD=150°，∠MCN=75°， ∴.∠MCE=∠MCB+∠BCE= ∠MCB+∠DCN=∠BCD ∠MCN=150°-75°=75°. ∴.∠MCE=∠MCN. 在△ECM和△NCM中， MC=MC, ∠MCE=∠MCN, CE=CN. ∴.△ECM≌△NCM(SAS). .'MN=ME=BM+BE=BM+ DN. .'MN-BM=DN. D E-- (第8题) 22 12.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.C3.15 4.DE∥AF .在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC 于点F, .∠BAF=∠CAF. .'AD=AE, .∠ADE=∠AED. 又，∠BAC=∠ADE+∠AED, ∠BAC=∠BAF+∠CAF, '.∠CAF=∠AED. .DE∥AF 5.A 6.A解析：由题意，设等腰三角形的 两个角的度数分别是x和2x一20. ①当顶角的度数是x,底角的度数是 2x一20时，x+2(2x一20°)=180°，解 得x=44°..J顶角的度数是44°. ②当底角的度数是x,顶角的度数是 2.x-20时，2.x十(2x-20)=180°，解 得x=50°..顶角的度数是2X50° 20°=80°.③当底角的度数是x和 2x-20°时，x=2x-20°，解得x= 20°..顶角是180°一20°×2=140 综上所述，这个等腰三角形的顶角的 度数是44或80°或140 7.C 8.A解析：，△ABC为等边三角 形，AD平分∠BAC,.AD⊥BC.故 ①正确.△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=60°.，AD平分 ∠BAC,.'.∠BAD=∠CAD= 2∠BAC=2X60°=309， .△ADE是等边三角形，'.∠EAD 60°，AE=AD.∴.∠EAF= ∠EAD-∠DAF=30°.∴.∠EAF= ∠DAF.∴.AF⊥ED,EF=FD.故② 正确.在△AEB和△ADB中， AE-AD, ∠BAE=∠BAD,∴.△AEB≌ AB=AB, △ADB(SAS).∴.BE=BD.故③正 确.，△AEB≌△ADB,∴.∠ABE= ∠ABD=60°.故④正确.综上所述， 正确的个数为4. 9.=解析：，△ABC和△BDE都 是等边三角形，∴.AB=CB,BE= BD,∠ABC=∠EBD=6O°.在△ABE (AB=CB, 和△CBD中， ∠ABE=∠CBD, BE=BD. .△ABE≌△CBD(SAS).'.AE= CD. 10.4解析："AB=AC,AD⊥BC, ∴.CD=BD..S△Ax=2S△AWD,即 AC·BF=2X号AB·DE. 1 AC AB,DE =2,BF 2DE=4. 11.(1)∠AFD=155°， .∠DFC=25. DF⊥BC,DE⊥AB, ∴.∠FDC=∠AED=90. ∴.∠C=90°-∠DFC=90°-25°= 65°. .AB=BC, ∴.∠A=∠C=65° ∴.∠EDF=360°-∠A-∠AFD ∠AED=360°-65°-155°-90°=50°. (2)连结BF :AB=BC,F是AC的中点， ∴.BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= 2∠ABC. .∠CFD+∠BFD=90 ,DF⊥BC, ..∠CBF+∠BFD=90° ∴.∠CFD=∠CBF, ·∠CFD=G∠ABC 12.(1),△ABC是等边三角形 .∠ABC=∠C=∠BAC=60°， AB=BC. 在△ABM和△BCN中， [BM=CN, ∠ABM=∠C, AB=BC, ∴.△ABM≌△BCN(SAS). ∴.∠BAM=∠CBN. :∠QBA+∠CBN=∠ABC=6O°， .∴.∠QBA+∠BAM=∠BQM=60°. (2)仍然能得到∠BQM=60. 理由：，△ABC是等边三角形， .∠BAC=∠ACB=60,AB= BC=CA. ∴.180°-∠BAC=180°-∠ACB= 120°，即∠BAN=∠ACM=120. BM=CN, ∴.BM-BC=CN-CA,即CM= AN. 在△BAN和△ACM中， (AB=CA, ∠BAN=∠ACM, AN-CM, .∴.△BAN≌△ACM(SAS) ∴.∠BNA=∠M. 又：'∠BQM=∠BNA+∠NAQ, ∠ACB=∠CAM+∠M,∠NAQ= ∠CAM, ∴.∠BQM=∠ACB=60°. 第2课时等腰三角形的判定 1.B2.B 3.3△ADC、△ABF、△ABE 4.:∠ACE=60°， .'.∠ACB=180°-∠ACE=120°. :CD平分∠ACB, 1 ·∠ACD=∠BCD=2∠ACB= 60° .AE∥DC, '.∠CAE=∠ACD=60°，∠E= ∠BCD=60° ∴.∠CAE=∠E=∠ACE=60. ∴，△ACE是等边三角形 5.C 6.B解析：：△ABC是等边三角 形，∴.∠BAE=60°，AB=AC.在 AB=AC, △ABE和△ACD中，∠1=∠2， BE=CD. ∴.△ABE≌△ACD(SAS).∴.AE= 23 AD,∠BAE=∠CAD=60°. ∴.△ADE是等边三角形. 7.80或20°或50°解析：在△ABC 中，∠A=80°，当∠B=∠A=80时， △ABC是等腰三角形：当∠C= ∠A=80°时，△ABC是等腰三角形， 此时∠B=180°-∠A-∠C=20°：当 ∠B=∠C时，△ABC是等腰三角 形，此时∠B=2（180-∠A)=50C 综上所述，当∠B=80°或20°或50 时，△ABC是等腰三角形 易错警示 不要忽视所有可能相等的角 一个三角形中只要有任意两 个内角相等，这个三角形就是等腰 三角形.本题中只给出一个内角的 度数，判断时要全面考虑所有可能 的情况，否则容易漏解。 8.在△BDF和△CEF中， ∠BFD=∠CFE, ∠DBF=∠ECF, BD=CE, ∴.△BDF≌△CEF(AAS). .BF=CF. ∴.∠FBC=∠FCB. ∴.∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB, 即∠ABC=∠ACB, ..AB=AC. .△ABC是等腰三角形 9.(1)EF=BE+CF. 理由：.BO平分∠ABC,CO平 分∠ACB, ∴.∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCB. .EF∥BC, ∴.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB ∴.∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC. ∴.BE=OE,CF=OF】 .EF=OE+OF=BE+CF. (2)不成立. 理由：BO平分∠ABC,CO平 分∠ACD, ∴.∠EBO=∠OBC,∠FCO=∠OCD. .EF∥BC, .'.∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCD. .∴.∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC ∴.BE=OE,CF=OF. ∴.EF=OE-OF=BE-CF. .(1)中的结论不成立. 10.(1).△ADE和△ABC都是等 边三角形， ∴.AE=AD,AB=AC,∠EAD= ∠BAC=60°. ∴.∠EAD-∠BAD=∠BAC ∠BAD,即∠EAB=∠DAC. 在△AEB和△ADC中， AE-AD, ∠EAB=∠DAC, AB=AC, ∴.△AEB≌△ADC(SAS). .BE=CD. (2)△AMN是等边三角形 ,△AEB≌△ADC, .∠AEM=∠ADN,BE=CD M、N分别是BE、CD的中点， ∴EM=2BE,DN=2CD, .'EM=DN. 在△AEM和△ADN中， AE-AD, ∠AEM=∠ADN, EM=DN, .'.△AEM≌△ADN(SAS). .AM=AN,∠EAM=∠DAN. :∠EAD=60, ∴.∠EAM+∠MAD=60° ∴.∠DAN+∠MAD=∠MAN=60, ∴.△AMN是等边三角形 方法制归纳 等边三角形判定方法的选择 (1)若已知三边关系，则考虑用“三 条边都相等的三角形是等边三角 形”来判定， (2)若已知三角关系，则考虑用“三 个角都相等的三角形是等边三角 形”来判定 (3)若已知该三角形是等腰三角 形，则考虑用“有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形”来判定 专题特训八等腰三角形中 常用辅助线的作法 1.连结DE、DF .AB=AC, ∴.∠B=∠C 在△BDE和△CFD中， (BE=CD, ∠B=∠C, BD=CF, ∴.△BDE≌△CFD(SAS). ∴.DE=FD. ,G是EF的中点， .DG⊥EF 2.连结CD. 在Rt△ECD和Rt△FCD中， CD=CD. CE=CF, ∴.Rt△ECD≌Rt△FCD(HL). ∴.∠CDE=∠CDF CA=CB,D是AB的中点， .CD⊥AB ∴.∠CDA=∠CDB. ∴.∠CDA-∠CDF=∠CDB ∠CDE,即∠ADF=∠BDE. 3.过点A作AG⊥BC于点G,则 ∠AGB=90°. .∠B+∠BAG=180°-∠AGB= 90°」 DF⊥AB, .∠BDF=90°. .∴.∠B+∠F=180°-∠BDF=90°. ∴.∠F=∠BAG .AB=AC,AG⊥BC, '.∠BAG= ∠AC ∴∠F= ∠BAC. 21 4.(1)如图，过点D作DH∥AC,交 BC于点H,则∠DHB=∠ACB, ∠DHF=∠ECF .AB=AC, .∠B=∠ACB. .'.∠B=∠DHB .'BD=HD. 24 CE=BD, .HD=CE. 在△DHF和△ECF中， ∠DFH=∠EFC, ∠DHF=∠ECF, HD=CE ∴.△DHF≌△ECF(AAS). .DF=EF (2)由(1)，得BD=HD .DG⊥BC, BG=GH,即GH=2BH. 由(I),得△DHF≌△ECF. 1 .HF=CF,即HF=2CH, 1 FG=GH+HF三BH十) cH=号Bc. .BC=2FG. B GH F E (第4题) 5.如图，在CD上截取DE=BD,连 结AE. :AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADE=90°. 在△ABD和△AED中， BD-ED, ∠ADB=∠ADE, AD-AD, ∴.△ABD≌△AED(SAS). .AB=AE,∠B=∠AED. AB+BD=CD,DE=BD, .AB+DE=CD. 又，CD=DE+EC, ∴AB=EC. .AE=EC. 设∠EAC=∠C=x. ∠AEB为△AEC的外角， ∴.∠AEB=∠EAC+∠C=2x. ∴.∠B=2x. ∴.∠BAE=180°-2x-2x=