12.1 命题、定义、定理与证明-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第12章 全等三角形 12.1命题、定 第1课时 ☑基础进阶 1.下列语句是命题的为 A.你喜欢数学吗 B.小明是男生 C.大庙香水梨 D.出门戴口罩 2.下列命题属于真命题的是 () A.两个互补的角一定不是对顶角 B.如果a=-b,那么a3=b C如果两个角不相等，那么这两个角不是对 顶角 D.同一个三角形的三个内角一定各不相等 3.下列可以用来证明命题“若a2>b,则a>b” 是假命题的反例为 () A.a=3,b=-2 B.a=2,b=1 C.a=-3,b=2 D.a=-2,b=3 4.命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ,结论是 5.把下列命题改写成“如果…，那么…”的 形式，指出它们的条件和结论，并判断它们是 真命题还是假命题！ (1)同号的两个数的和一定不是负数. (2)互为倒数的两个数的积为1. 48 义、定理与证明 命题 幻素能攀升 6.给出下列语句：①不许大声讲话；②鸟是动 物；③连结A、B两点；④无论n为怎样的自 然数，式子n2一n十1的值都是质数.其中，不 是命题的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.下列命题属于真命题的是 A.五边形的内角和为720 B.三角形的一个外角大于与它不相邻的两 个内角的和 C.六边形是轴对称图形 D.三角形的外角和为360° 8.下列能说明“锐角α、锐角B的和是锐角”是假 命题的为 () a B A. B B C D. 9.在讨论“一个锐角和一个钝角互补”是不是命 题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误 的.”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只 不过这一判断是错误的.”你认为 的 说法是正确的（填“甲”或“乙”）. 10.将命题“所有的质数都是奇数”改写成“如 果…，那么…”的形式： ,这个命题的条件是 ,结论是 它是一个 (填“真”或“假”)命题 11.给出下列四个命题：①11是121的算术平 方根；②（一14）2的平方根是一14；③经过 直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 平行；④对顶角的平分线互相垂直.其中， 是假命题的为 (填序号) 12.举出一个m的值，说明命题“代数式2m2 1的值一定大于代数式m2一1的值”是假命 题，m的值是 13.指出下列命题的条件和结论，并判 断它们是真命题还是假命题.如果 是假命题，请举出一个反例， (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为 补角， (2)锐角小于它的余角. (3)一个锐角的补角大于这个锐角的余角， 思维拓展 14.命题“a、b是实数，若a>b,则a2>b2”显然 是错误的，若结论保持不变，怎样改变条件， 才能使之成立？有下列改法：①若a>b≥ 0,则a2>b2;②若a>0>b且a+b>0,则 a2>b2;③若a<b<0,则a2>b2;④若 a<0<b且a+b<0,则a>b2.其中，正确 的是 (填序号). 第12章全等三角形 15.如图，∠ABC的两条边分别平行于∠DEF 的两条边，且∠ABC=45°. (1)在图①中，∠DEF= ;在图② 中，∠DEF= (2)观察图①②中∠DEF与∠ABC的关 系，请你归纳出一个命题 A D B G G E ① ② (第15题) 49 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时定 自基础进阶 1.下列属于定义的是 A.任何一个三角形一定有直角 B.锐角都小于钝角 C.从直线外一点到这条直线的垂线段的长 度叫做点到直线的距离 D.∠A是锐角 2.下列语句中，属于定理的是 A.在直线AB上任取一点E B.两点确定一条直线 C.两条平行线被第三条直线所截，内错角 相等 D.同旁内角不能相等 3.如图，直线AB、EF相交于点O,ABCD,则 可以判定EF一定不与CD平行，此处用到 的基本事实是 一F 0 A B E 0 D (第3题) (第4题) 4.如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC,要使 AB∥CD,则还需添加的一个条件是 5.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B= ∠D,点E在线段AD上，点F在BC的延长 线上，连结EF.求证：∠DEF=∠F. A (第5题) 50 义、定理与证明 )素能攀升 6.有下列说法：①真命题都是定理；②定理都 是真命题；③假命题不是命题；④基本事实 都是真命题；⑤基本事实的正确性必须得到 证明.其中，正确的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 7.如图，从∠1=∠2，∠C=∠D, ∠A=∠F这三个条件中选出两个 作为条件，另一个作为结论，所有组 成的命题中，真命题的个数为 A.3B.2 C.1 D.0 D (第7题) (第8题) 8.新趋势·与物理融合如图所示为一个潜望镜 模型示意图，AB、CD代表镜子摆放的位置， 并且AB与CD平行，光线经过镜子反射时， 满足∠1=∠2，∠3=∠4.求证：离开潜望镜 的光线MN平行于进入潜望镜的光线EF. 将以下证明过程和推理依据补充完整： .ABCD(已知)， ∴.∠2 :∠1=∠2，∠3=∠4（已知）， ∴.∠1=∠2=∠3=∠4（等量代换）. .∠1+∠2+∠5=180°，∠3+∠4+ 180°（平角的定义）， ∴.∠5= ∴.MNEF( 9.*对“如果两条平行线被第三条直线所截，那 么一对同位角的平分线平行”进行证明（先画 图，写出已知、求证，再证明) 10.如图，点E在直线CD上，射线EF平分 ∠AED,过点E作EB⊥EF,G为射线EC 上一点，连结BG,且∠BGE=90°. (1)求证：∠DEF=∠EBG (2)若∠EBG=∠A,试判断AB与EF的 位置关系，并加以证明. D (第10题) 第12章全等三角形 思维拓展 11.如图，E、F为四边形ABDC的边 CA的延长线上的两点，连结DE、 BF,点H在CD的延长线上，作 ∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点 P.已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C (1)试判断DE与BF是否平行，并加以 证明. (2)求证：∠C=2∠P. (第11题) 5厨为4a·3a=12a2,B区的面积为 (受)=，则泳区的面积为 12x+T,草坪的面积为(a十十 5a)(受+3a+受)-(12w2+4) 48a2-9a2 4 (2)根据题意，得(a十4a+5a) 3 2 3u+3a ÷(3a·4a）=60a2÷ 2 12a2=5,即游泳场的面积是成人泳区 的面积的5倍。 [变式]A解析：如图，正方形 ABCF的边长为a,正方形CDEG的 边长为b.FG=FC-CG=a-b, ·'.S涂色部分=S正方无AxF十S正方CDG十 S三角形G一S三角形AD=a2十b2十 6a-b0)-2aa+b)=a于 1 2 B ←bD [综合素能提升] 1.B解析：.25×50=5×5必 52a+w=5,4÷45=4c=4,∴.2a+ 2b=6,b-c=1,即a+b=3,c=b- 1.∴.a2+ab+3c=a(a+b)+3(b- 1)=3a+3b一3=3(a+b)-3=3× 3-3=9-3=6. m n 2.A解析： m In 2 ÷23 (2mnX2)3÷(-4m3n2)=64m3n3÷ (-4m3n2)=-16n 3.B解析：9x4一x2y2=x2(9x2 y2)=x2(3.x-y)(3.x+y).当x=8, y=11时，x2=64,3.x-y=13,3.x+ y=35,产生的密码应包括数64、13、 35,∴.产生的密码不可能是643153. 1 4.D解析：S,=2b(a十b)×2+ 26x2+(a-by=a2+26,S, (a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+ 2b2)=2ab-b2.S1=2S2,∴.a2+ 2b2=2(2ab-b2),整理，得(a 2b)2=0..a-2b=0.∴.a=2b. 5.(x十y+2)(x十y-2)解析：由 题意，得p十2|+(g2-8g十16)=0， 即|p+2+(g-4)2=0.:|p+ 2|≥0，(g-4)2≥0，.p+2=0,9 4=0,解得p=一2，g=4..(x2十 y2)-(pxy+q)=(x2+y2) (-2xy+4)=x2+y2+2xy-4= (x+y)2-22=(x+y+2)(x+y-2). 6解析：原式=[8(a+b) 4(a+b)5-(a+b)3]÷[2(a+ b门=4a+6-2a+6)2-2 ,(a-b)2=17,ab=-3,.(a+ b)2=(a-b)2+4ab=17+4× (-3)=5.∴.原式=4[(a+b)2] 2a+6)P-7=4×52-2×5 1179 2=2 7.(1)(ax-3)(2x+4)-x2-b= 2a.x2+4ax-6.x-12-x2-b= (2a-1)x2+(4a-6)x+(-12-b). ,:该代数式化简后不含x2项和常 数项， 1 /2a-1=0, 解得 a=2 -12-b=0, b=-12. (2)原式=[a2-16b2-(a2+4ab+ 4b2)-2(a2-3ab-10b2)]÷a= (a2-16b2-a2-4ab-4b2-2a2+ 6ab+20b2)÷a=(-2a2+2ab)÷ a=-2a+2b 当a=分6=-12时，原式=-2× 号+2X(-12)=1-24=25 8.(1)(-1)2+02+12+22+32= 1+0+1+4+9=15=5×3, ∴.(-1)2+02+12+22+32的结果 是5的3倍. 14 (2)··五个连续整数的中间一个整 数为n, ∴.另外四个整数为n一2、n一1、n十 1、n+2. ∴.它们的平方和为(n一2)2+(1一 1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2. (n-2)2+(n-1)2+n2+(n+ 1)2+(n+2)2=5n2+10,(5n2+ 10)÷5=n2+2, .它们的平方和是5的倍数， (3)不能被3整除，余数是2. 理由：设三个连续整数的中间一个整 数为m,则另外两个整数为m一1， m+1. (m-1)2+m2+(m+1)2= 3m2+2, .不能被3整除，余数是2 第12章 全等三角形 12.1命题、定义、定理 与证明 第1课时命题 1.B2.C3.C4.两直线平行 内错角相等 5.(1)改写为“如果两个数的符号相 同，那么这两个数的和一定不是负 数”，条件是两个数的符号相同，结论 是这两个数的和一定不是负数，该命 题是假命题 (2)改写为“如果两个数互为倒数，那 么这两个数的积为1”，条件是两个数 互为倒数，结论是这两个数的积为1， 该命题是真命题 6.B解析：①③没有对事情作出判 断，不是命题；②④对事物作出了明确 的判断，是命题. 7.D解析：五边形的内角和为(5 2)×180°=540°，故选项A为假命题： 三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，故选项B为假命题： 正六边形是轴对称图形，故选项C是 假命题：三角形的外角和为360°，故选 项D为其命题， 8.C解析：在C选项图中，将∠a、 ∠3的非公共边分别延长，相交于一 点，可知形成的三角形的三个内角都 是锐角，则∠α+∠B>90° 9.乙解析：“一个锐角和一个钝角 互补”是命题，是一个假命题， 10.如果一个数是质数，那么这个数 是奇数一个数是质数这个数是奇 数假 11.②④12.0 13.(1)条件：两个角的和等于平角 结论：这两个角互为补角 是真命题 (2)条件：一个角是锐角. 结论：这个角小于它的余角。 是假命题 反例不唯一，如∠A=60°，∠A的余 角是30°，∠A大于它的余角。 (3)条件：两个角分别为一个锐角的 补角和余角 结论：补角大于余角 是真命题 14.①②③④解析：要使“a2>b2” 成立，必须满足a|>b.①③两种 改法是使a、b同号，且满足|a|> b1:②④两种改法是使a、b异号，且 满足a|>b.因此①②③④四种改 法都正确 15.(1)45°：135° (2)由题图①，得∠DEF与∠ABC相 等：由题图②，得∠DEF与∠ABC 互补： 命题：如果两个角的两边分别平行，那 么这两个角相等或互补. 第2课时定义、定理与证明 1.C2.C3.过直线外一点有且 只有一条直线与这条直线平行 4.答案不唯一，如∠ACD=90 5.ABCD(已知)， ∴.∠DCF=∠B(两直线平行，同位 角相等) ∠B=∠D(已知)， ∴.∠DCF=∠D(等量代换). ∴.ADBC(内错角相等，两直线平行). '.∠DEF=∠F(两直线平行，内错 角相等). 6.D7.A 8.∠3两直线平行，内错角相等 ∠6∠6内错角相等，两直线平行 9.已知：如图，EM∥FN,直线AC分 别交EM、FN于点A、C,AB、CD分 别是∠EAC和∠FCG的平分线. 求证：ABCD. :EMFN(已知)， ∴.∠EAC=∠FCG(两直线平行，同 位角相等). :AB平分∠EAC,CD平分∠FCG (已知)， ∴.∠EAB=∠BAC= 2∠EAC, ∠FCD=∠DCG= ∠FCG(角平分 2 线的定义). ∴.∠BAC=∠DCG(等式的性质). ∴.AB∥CD(同位角相等，两直线 平行) (第9题) 一方法归纳 命题证明的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论，若命 题与图形有关，则根据题意，画出 图形，并在图形上标出相关的字母 和符号 (2)根据条件和结论，结合图形，写 出已知、求证， (3)观察图形，分析证明思路，找出 证明方法 (4)写出证明的过程，并注明依据. 10.(1).EB⊥EF(已知)， ∴.∠FEB=90(垂直的定义). ∴.∠DEF+∠BEG=180°-90°= 90°（平角的定义）. 又.∠BGE=90(已知)， '.∠EBG+∠BEG=90°（直角三角 形的两个锐角互余). '.∠DEF=∠EBG(同角的余角 相等). 15 (2)AB∥EF. EF平分∠AED(已知)， ·.∠AEF=∠DEF=?∠AED(角 平分线的定义) .'∠EBG=∠A(已知)，∠DEF= ∠EBG(已证)， ∴.∠A=∠DEF(等量代换). 又∠DEF=∠AEF(已证)， ∴.∠A=∠AEF(等量代换). ∴.AB∥EF(内错角相等，两直线 平行). 11.(1)DEBF :∠3=∠4（已知）， ∴.BD∥CE(内错角相等，两直线 平行). ∴.∠5=∠FAB(两直线平行，内错角 相等) :∠5=∠C(已知)， .∠C=∠FAB(等量代换). .AB∥CD(同位角相等，两直线 平行). ∴.∠2=∠BGD(两直线平行，内错角 相等). ∠1=∠2（已知）， ∴.∠1=∠BGD(等量代换). ∴.DE∥BF(内错角相等，两直线 平行). (2).ABCD(已证)， '.∠P=∠PDH(两直线平行，内错 角相等). DP平分∠BDH(已知)， ∴.∠BDP=∠PDH(角平分线的 定义) ∴.∠BDP=∠P(等量代换) :∠5=∠P+∠BDP(三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角 的和)， .∠5=2∠P(等量代换). :∠5=∠C(已知)， ∴.∠C=2∠P(等量代换) 12.2三角形全等的判定 第1课时全等三角形 及其判定条件 1.C2.A3.△ADC AD AC ∠D∠DCA