11.5 因式分解-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 11.5因式分解 第1课时提公因式法 基础进阶 (3)(2m+3n)(2m-n)-n(2m-n). 1.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解 的是 ( A.x2-5.x+3=x(x-5)+3 B.(x-2)(x+5)=x2+3x-10 C.(2x+3)2=4x2+12x+9 (4)(x-2y)(x+3y)-(x-2y)2. D.x2y-2xy2+xy=xy(x-2y+1) 2.将多项式4m一2m提取公因式后，剩下的 因式为 A.2m2 B.m2 C.2-m D.2m2-m4 幻素能攀升 3.将多项式m2(x-2)+m(2-x)分解因式，正 7.有下列从左到右的变形：①24x2y=4x· 确的是 () 6xy;②x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1; A.(x-2)(m2-m)B.m(x-2)(m+1) ③x4m十xm=xm(x3m+1);④x2+1= C.m(x一2)(m一1)D.以上都不对 4.(2024·山东)分解因式：x2y+2xy r+》:回-ab+ah-ac=-a(ab- b十c).其中，是因式分解的有 () 5.如果把多项式x2一8x+m分解因式得 A.1个B.2个C.3个D.4个 (x-10)(x+n),那么m十n= 8.若实数a、b满足a一2b=5,2a2b一 6.把下列各式分解因式： 4ab2=-20,则ab的值为（) (1）5x2y3-25x3y2. A.-2 B.2 C.-50 D.50 9.下列因式分解正确的是 () A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m). (n+1) B.6(p+q)2-2(饣+q)=2(p+q)(3p+ (2)-2x2+18x2y-4xy2. 9-1) C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y 3x+2) D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y) 10.把多项式a3b4一ab”c分解因式时，提取的 公因式为ab,则整数n的取值范围是 38 第11章整式的乘除 11.分解因式(a+b)(a+b-1)-a-b+1的结 (2)7y(x-3y)2-2(3y-x)3,其中 果为 2x+y=6, 12.多项式(x十2)(2x一1)-(.x+2)可以分解 x-3y=1. 因式得2(x十m)(x+n),则m一n的值为 13.易错题把下列各式分解因式： (1)-8x4y+6x3y2-2x3y. 爸思维拓展 15.先阅读下面分解因式的过程，再回 答问题 (2)(2a-3b)(x+3)-(3b-2a)(3x 分解因式：1+x十x(x十1)+ 1)-(2a-3b)(5.x+7). x(x+1)2. 解：原式=(1+x)[1+x+x(x+1)]= (1+x)2(1+x)=(1+x)3. (1)上述分解因式的方法是 共运用了 次。 (2)若分解因式1十x十x(x+1)+x(x+ 1)2+十x(x十1)225，则需运用上述方法 ()2a2x-2a)r-a2a-月 次，结果是 (3)分解因式：1+x十x(x+1)十x(x+ 1)2+…十x(x+1)"(n为正整数). 14.先分解因式，再求值： (1)m(m十n)(m-n)-m(m+n)2,其中 m十n=1,mn=2: 39 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时公式法 自基础进阶 (4)-x3y+10x2y-25xy. 1.下列各式中，不能用公式法进行因式分解 的为 ( A.9x2-1 B.x2+8x+16 C.x2-12x+36 D.4x2+9y2 2.下列因式分解正确的是 ( A.a2-81=(a-9)2 幻素能攀升 B.a2-6ab-9b2=(a-3b)2 7.小聪在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x C.4a2+2ab+b2=(2a+b)2 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数， D.(a-1)2-25b2=(a+5b-1)(a-5b-1) 并且能利用平方差公式分解因式，抄在作业本 3.将a3一9a分解因式的结果为 ( 上的式子为36x口一49y(“☐”表示漏抄的指 A.a(a-3)(a+3)B.a(a2+9) 数)，则这个指数所有可能的结果有() C.(a-3)(a+3)D.a2(a-9) A.2种 B.3种 4.分解因式：2x2-4x+2 C.4种 D.5种 5.已知m、n同时满足2m十n=3与2m一n= 8.已知正方形的面积是(16一8.x+x2)cm(x> 1,则4m2一n2的值为 4),则该正方形的周长是 () 6.把下列多项式分解因式： A.(4-x)cm B.(x-4)cm (1)49m2-25n2. C.(16-4x)cm D.(4x-16)cm 9.多项式m.x2一m和多项式mx2一2m.x十m 的公因式为 () A.x-1 B.x+1 C.m(x+1) D.m(x-1) 10.如图，长为a、宽为b的长方形的周长为14 (2) 42_2 91 4 (a>b),面积为10，那么a3b+ab3+2a2b2 的值为 () (第10题) A.70 B.140 (3)x2(x-2)-16(x-2). C.2560 D.490 11.(2024·淄博)若多项式4x2 mxy十9y2能用两数和（差）的平 方公式因式分解，则m的值是 40 第11章整式的乘除 12.若n为任意整数，且(n+17)2一n2的值总15.已知a2-b2-5=0,c2一d-2= 可以被k(k为正整数，且k≠1)整除，则 0,求(ac+bd)2-(ad+bc)2的值， 的值为 13.若x+y+3=0,则x(x+4y)-y(2x一y) 的值为 14.*把下列各式分解因式： (1)x2(x-y)+y2(y-x). 思维拓展 16.新考法·阅读理解题下面是某同学对多项式 (x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分 解的过程，请阅读解题过程，并回答问题. (2)3a2(x+y)3-27a4(x+y). 解：设x2-4x=y. .原式=(y+2)(y十6)十4（第一步） =y2+8y+16(第二步) =(y十4)2（第三步） =(x2一4x十4)2（第四步）. (1)该同学第二步到第三步运用了因式分 (3)(x2+9y2)2-36x2y2. 解的 () A.提取公因式法 B.平方差公式 C.两数和的平方公式 D.两数差的平方公式 (2)该同学分解因式的结果 （填 (4)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). “彻底”或“不彻底”).若不彻底，则直接写出 分解因式的最后结果为 (3)请你仿照上述方法尝试对多项式 (x2一2x)(x2一2x十2)十1进行因式分解. (5)-m(a2+2)2+6m(a2+2)-9m. 41∴.2x+6十a=4x,解得a=2.x一6. .用含x的代数式表示a的式子为 a=2x-6. (3)根据题意，得长方形C的另一边 长为[(x-2+2x-6)(x+2+6) 76]÷(x+10)=(3.x2+16.x-140)÷ (x+10). 如图②，由图②中的竖式，得(3x2+十 16.x-140)÷(x+10)=3.x-14. .长方形C的另一边长为3x一14. 3x+2 3x-14 2x+1V6x2+7x+2x+10/3x2+16x-140 6x+3x 3x2+30x 4x+2 -14x-140 4x+2 -14x-140 0 0 ① ② (第15题) 专题特训四与整式乘除 有关的计算或求值 1.(1)原式=a2-5ab+3ab3÷ a'b2=a2-5ab+3ab=a2-2ab. (2)原式=[(-8.x3y3)·4xy2 xy2·16.x2y]÷(-16.x2y3)= (-32xy-16x3y)÷(-16.x2y3)= 2x5y2+xy3. 2.B解析：962=(100-4)2= 1002一2×100×4+42=9216，故选项 A错误，选项B正确.962=(90十 6)2=902+2×90×6十62=9216，故 选项C错误.962=(95+1)(95十1)= 95+2×95×1+1=9216,故选项D 错误 3.原式=(2-1)×(2+1)×(22+ 1)×(24+1)×…×(232+1)+1= (22-1)×(22+1)×(2+1)×…× (232+1)+1=264-1+1=24 .21=2,22=4,23=8,2=16,25= 32,…, .2的正整数次幂的个位数字按2、 4、,8、6这4个数字为一个循环组依次 循环 :64=16×4, .2的个位数字和2的个位数字 相同. .原式的结果的个位数字是6. 4.设67897=a,则67898=a+1, 67896=a-1,67899=a+2 原式=a(a+1)-(a-1)(a+2)= (a2+a)-(a2+a-2)=a2+a- a2-a+2=2. ,∴.67897×67898-67896× 67899=2. 5.(1)a-b=7, .∴.(a-b)2=49. .a2-2ab+b2=49. ,ab=-10, .a2-2×(-10)+b2=49. .a2+b2=29. (2)由(1)，得a2-2ab+b2=49. .(a+b)2=a2+2ab+b2=a2 2ab+b2+4ab=49+4×(-10)=9, .(a+b)2+2(a-b)2=9+2×72= 9+98=107 6.(m+1)2+m(m+4)-2=m2+ 2m+1+m2+4m-2=2m2+6m-1. .m2+3m-1=0. ∴.m2+3m=1. ∴.2(m2十3m)=2,即2m2十6m=2. ∴.原式=2-1=1. 7.原式=(2a4-a2)÷a2-(a2- b2)=2a2-1-a2+b2=a2+b2-1= (a+b)2-2ab-1. 当4+b=2,ab=3时， 4 原式=2-2×号-1=4-号 8.李明的说法有道理 理由：[2x(x2y-xy2)+xy(2xy- x2)]÷x2y=(2x3y-2x2y2十 2.x2y2-x3y)÷x2y=x3y÷ x'y=x. :化简后的结果不含y, ∴原代数式的值与y的值无关 ,李明的说法有道理， 9.(1)由题意，知小琪的计算过程为 (3m+a)(3m-b)=9m2-3bm+ 3am-ab=9m2+（-3b+3a)m- ab=9m2-3m-6, .-3b+3a=-3①. 11 小米的计算过程为(3m+2a)(2m一 b)=6m2-3bm+4am-2ab=6m2+ (-3b+4a)m-2ab=6m2-m-12, .-3b+4a=-1②. ②-①，得a=2. 把a=2代人①，得一3b十6=-3， .b=3. (2).a=2,b=3, .(3m+a)(2m-b)=(3m+2)· (2m-3)=6m2-9m+4m-6= 6m2-5m-6. 10.8解析：设AB=xcm,BC= ycm.∴.2(x+y)=12,x2+y2=20. .x十y=6.(x十y)2=x2十 2xy+y2,∴.62=20+2xy..xy 8.,.长方形ABCD的面积是8cm. 11.(1)这块梯形空地的面积为 (BC+AD)·BE 2 (4.x+y+5.x+2y)·(x+2y) (号+w+8)平方米 (2)·长方形广场的面积为(6x2十 12.xy十9.x)平方米，宽为3x米， .长方形广场的长为(6x2+12xy+ 9.x)÷3x=(2x十4y+3)米. .长方形广场的长比梯形空地的下 底小5.x+2y一(2x+4y+3)=(3x 2y-3)米. 11.5因式分解 第1课时提公因式法 1.D2.C3.C4.xy(x+2) 5.-18 6.(1)原式=5.x2y2(y-5.x). (2)原式=-2x(x-9xy+2y2). (3)原式=(2m-n)(2m十2m)= 2(m+n)(2m-n). (4)原式=(x-2y)(x+3y-x+ 2y)=5y(x-2y). 7.B 8.A解析：2a2b-4ab2= 2ab(a-2b)=-20,a-2b=5, .2ab=-4..ab=-2. 9.A 10.n≥4解析：.多项式a3b4 ab”c的公因式为ab,.单项式 a3b、ab"c中a、b的最小指数分别为 1、4.∴.整数n的取值范围是n≥4. 11.(a+b-1)2解析：原式=(a+ b)(a+b-1)-(a+b-1)=(a+b 1)(a+b-1)=(a+b-1)2. 12.3或一3解析：(x+2)(2x 一1)一(x+2)可以分解因式得 2(x十m)(x十n),∴.(x十2)(2x 1)-(x+2)=(x+2)(2x-2)= 2(x十2)(x-1)=2(.x十m)(x+n). .m=2,n=-1或m=-1,n=2. .m-n=3或-3. 13.(1)原式=-2.x3y(4x-3y+1). (2)原式=(2a-3b)(x+3+3.x 1-5.x-7)=(2a-3b)(-x-5)= -(2a-3b)(x+5) (8)原式=a(2a-xr(2a-2a+ 2) 4ax(2a-x). 易错警示 分解因式时漏项或弄错符号 (1)当多项式的第一项的系数是负 号时，一般先提出负号，提出负号 后，括号内的各项都要变号 (2)分解因式时不要漏项. 14.(1)原式=m(m+n)(m-n m-n)=-2mn(m+n). 1 当m十n=1mn=2时， 原式=-2×号×1=-1 (2)原式=7y(x-3y)2+2(.x- 3y)3=(x-3y)2[7y+2(.x-3y)] (x-3y)2(7y+2x-6y)=(x- 3y)(2x+y). 2x+y=6, x-3y=1, .原式=12×6=6. 15.(1)提公因式法：2. (2)2025;(1+x)2026 (3)1+x+x(x+1)+x(x+ 1)2+…十x(x+1)”=(1+x)+1. 第2课时公式法 1.D2.D3.A4.2(x-1) 5.3 6.(1)原式=(7m十5n)(7m-5m). (2公原式=（后-）广 (3)原式=(x-2)(x2-16)=(x 2)(x十4)(x-4). (4)原式=-xy(x2-10x+25)= -xy(.x-5)2. 7.D 8.D解析：16-8x十x2=(4一x)2. :x>4,.(4一x)2的算术平方根 为x一4..该正方形的边长为(x一 4)cm..该正方形的周长是4(x一 4)=(4.x-16)cm. 9.D 10.D解析：根据题意，得2a+2b= 14,ab=10,∴.a+b=7.∴.ab+ ab3+2a2b2=ab (a2+b2+2ab)= ab(a+b)2=10×7=490. 11.士12解析：，多项式4x2一 m.xy十9y2能用两数和（差）的平方公 式因式分解，.一m.xy=士2X2x× 3y,则一m=士2×2×3=士12，解得 m=士12. 12.17解析：(n+17)2-n2= (n+17+n)(n+17-n)=17(2m+ 17),且n为任意整数，∴.(n+17)2一 n2的值总可以被17整除.∴.k的值 为17. 13.9解析：原式=x2十4xy一 2xy+y2=x2+2xy+y2=(x+y)2. x十y十3=0，.x十y=-3.∴.原 式=(-3)2=9. 14.(1)原式=x2(x-y)-y2(x y)=(x2-y2)(x-y)=(x+y)(x y)(x-y)=(x+y)(x-y)2. (2)原式=3a2(x+y)[(x+y)2 9a2]=3a2(x+y)(x+y+3a)(x+ y-3). (3)原式=(x2+9y2+6.xy)(x2+ 9y2-6xy)=(x+3y)2(x-3y)2. (4)原式=(y2-1)(x2+2.x+1)= 12 (y+1)(y-1)(x+1)2. (5)原式=-m[(a2十2)2-6(a2+ 2)+9]=-m(a2+2-3)2=-m· (a2-1)2=-m(a+1)2(a-1)2. 一方法归纳 因式分解的一般步骤 (1)提，指多项式中若含有公因式， 则一般先用提公因式法分解。 (2)套，指提取公因式后，若含有符 合两数和（差）的平方公式或平方 差公式特征的多项式，则均可套用 公式进行因式分解」 (3)查，一查括号，即因式分解的结 果只能出现小括号，若过程中出现 中括号、大括号，则需要转化成小 括号的形式，同时化简括号内的多 项式；二查各项是否分解彻底，即 要分解到不能再分解为止 15.a2-b2-5=0,c2-d2-2=0, ∴.(a+b)(a-b)=5,(c+d)(c d)=2. ∴.原式=(ac+bd+ad+bc)(ac+ bd-ad-bc)=[c(a+b)+d(a+ b)][c(a-b)-d(a-b)]=(a+ b)(c+d)(a-b)(c-d)=(a+ b)(a-b)(c+d)(c-d)=5×2=10. 16.(1)C. (2)不彻底；(x一2) (3)设x2-2x=a. ,.原式=a(a+2)+1=a2+2a+1 (a+1)2=(x2-2x+1)2=(.x-1)4」 专题特训五因式分解的 方法、技巧及应用 1.x(a-1)(x-1) 2.(1)原式=[3a+2(a-b)][3a 2(a-b)]=(5a-2b)(a+2b). (2)原式=[3(.x+2y)-5]2=(3.x+ 6y-5)2. 3.(1)原式=(x-1)-b2(x-1)= (x-1)(1-b2)=(x-1)(1+b)· (1-b). (2)原式=-8a(2xy+x2+y2)= -8a(x+y)2.