11.4 整式的除法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第11章整式的乘除 11.4整式的除法 第1课时单项式除以单项式 ●“答案与解析”见P10 山基础进阶 幻素能攀升 1.计算-3ab2c÷9a2b的结果是 7.下列计算正确的是 A A.18ab2÷6ab=3ab -3a'bc B.12x3y5÷(-6x3y5)=-2x3y C.-3ab2c 3a'bc C.-32(a2b)3÷(-2ab)3=16a D.(5x2y3)3÷(-5xy)2=5.x4y7 2.地球赤道的长约为4×10km,我国最长的河 8.已知a=1.6×10°，b=4×103,则a2÷2b的 流一长江全长约为6.4×103km,则赤道的 值为 () 长度约为长江全长的 ( A.2×103 B.4×104 A.7倍B.6倍 C.5倍 D.4倍 C.3.2×105 D.3.2X104 3.若18abm÷6a"b=3b,则m、n的值分别为 9.若a(xmy4)3÷(3x2y")2=2x5y4 ( 则a= A.4、2 B.4、1 C.1、2 D.2、2 10.如图所示为一个圆柱体容器与一个长方体 4.一个平行四边形的面积是121y8x6.若它的 容器，它们的容积相等，则长方体容器的宽 底是11y1°x5,则该底边上的高为 为 (容器的厚度忽略不计). 5.计算2(3m-n)4÷ 5(n-3m)2 的结果 ←-8mn→ 用(3m一n)的幂的形式表示为 2 2 m n 2mn 6.计算： *6mn2→ (1)-20a2b2c÷10a2b2. (第10题) 5x2m-1y”+1之，自然数x、之满足2X3-1= 27xy2÷【-xy÷(-3ry月 72,且x=之，求M的值 (3)(x-1)4÷(x-1)3·(x+1). 33 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时 多项式除以单项式 自基础进阶 幻素能攀升 1.小明作业本上一道题“■X3ab=6ab-3ab3” 7.若6a3b5与一个多项式的积为24a3b7 的■处被墨汁弄污了，那么被墨汁弄污的地 18a5b5+2a·(6a3b3)2,则这个多项式为 方应该是 ( A.(2-b2) B.(2+2b) A4b2-3a2 C.(3ab+2b2) D.(2ab+b2) B.4ab2-3a2b 2如果a-,那么代数式(28a2-28a2+ C.4b2-3a2+12a4b D.4b2-3a2+6a3b 7a)÷7a的值为 8.已知A=一4x2,B是多项式，在计算B+A A空 R吉 c号 D.4 时，小明把B十A看成了B·A,结果得 3.若一个长方形的面积为2a2-一4ab+2a,长为 32x5-16.x4,则B+A的值为 () 2a,则它的周长为 A.-8.x3+4x2 B.-8x3+8x2 A.6a-4b+2 B.6a-4b C.-8x3 D.x2-3x+1 C.3a-2b+1 D.3a-2b 9.信息时代确保信息的安全很重要，于是在传 4.若等式(6a3+3a2)÷6a=(a+1)(a+2)成 输信息的时候需要加密传输，发送方将明文 立，则a的值为 加密为密文传输给接收方，接收方收到密文 5.任意给定一个非零实数m,按下面的程序计 后再解密还原为明文.某种加密规则如图所 算：m→平方→一m→÷m>十2→结果，最后 示，若发送方发出a=2,b=4,则解密后明文 输出的结果为 mn的值为 6.易错题计算： 发送出a、b (1)(7x2y3-8.x3y2x)÷8x2y2. ■ m-atabi+b n=(4ab-2a)÷(-2a) 解密出m、n (第9题) 10.如图，一个窗框由一个长方形和 (2)(号a6-2a2o÷(3ab 一个半圆组成，若要把窗框设计 成一个新的长方形，面积保持不 变，且新的窗框的底边长仍为a,(第10题) 则新的窗框的高度应为 11.定义新运算：a⊕b=(ab+ab十 ab)÷ab,其中a、b都不为0，则 2⊕(3⊕4)= 34 第11章整式的乘除 12.先化简，再求值：[(m+2n)+(m+2n)·思维拓展 (2-m)]÷4n,其中m=-2,n=1. 15.新考法·探究题我们学过单项式除以单项 式、多项式除以单项式，那么多项式除以多 项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进 行类似演算，即先把被除式、除式按某个字 母降幂的顺序排列，并把所缺的次数项用零 补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余 式，其中余式为0或余式的次数低于除式的 13.一个工件的形状和部分尺寸如图 次数 所示，其体积为(a2+2a)(6a十 例：计算(8x2+6x+1)÷(2x+1),可依照 1)-a(a2-2a+2),求该工件的长 672÷21的计算方法用竖式进行计算（如 x(用含a的式子表示). 图①).因此(8x2+6x+1)÷(2x+1)= 4x+1. (1)(6x2+7x+2)÷(2x+1)的商是 2a (2)已知一个长为x+2、宽为x一2的长方 (第13题) 形A,若将它的长增加6，宽增加a就得到 一个新长方形B,此时长方形B的周长是长 方形A周长的2倍（如图②），用含x的代 数式表示a. (3)在(2)的条件下，另有长方形C的一边 14.新情境·游戏活动王老师在课堂上和同学们 长为x+10,若长方形B的面积比长方形C 玩一个猜数游戏，规则如下：同学们在心里 的面积大76，求长方形C的另一边长， 32 4x+1 想好一个除0以外的数，然后把这个数加上 216722x+18x+6x+1 2后再平方，接着减去4，最后除以所想的那 63 8x2+4x 42 2x+1 2x+1 个数.小明把算出的结果告诉王老师，王老 42 0 0 x+2 师立即说出了小明所想的数，你能说出其中 ① ② (第15题) 的奥妙吗？ 35(7)连用公式变化：(a十b)(a b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+ b2)=a4-b. 5.原式=[(x-1)(x+1)(x2+ 1)]2=[(x2-1)(x2+1)]2=(x4 1)2=x8-2x4+1. 6.原式=(a2-a+是十a2+a十 4)(2a-3)=(2a+2)(2w 2）=4a-1 7.原式=(100+1)2-(100+2)× (100-2)=102+200+1-1002+ }-201子 8.原式=9x2+6.xy+y2+x2+ 6.xy+9y2=10x2+12xy+10y2= 10(.x2+y2)+12.xy=10[(x+y)2 2.xy]+12.xy=10(x+y)2-20.xy+ 12.xy=10(x+y)2-8.x. 当x十y=6,xy=7时， 原式=10×62-8×7=304. 9.(1)a+b=2, .(a十b)2=a2+b2+2ab=4. 又.a2+b2=3, .3+2ab=4,解得ab=2 1 （2》“a3+6=3ab=2 .a+b4=(a2+b2)2-2a2b2= (a2+b2)2-2(ab)2=32-2X (2)广=8号 11.4整式的除法 第1课时单项式除以单项式 1.D2.B3.A4.11y°e 5.-10(3m-n)9 6.(1)-2c. (2)3w. (3)x2-1. 7.D 8.D解析：a=1.6×10,b=4× 103,.a2÷2b=(1.6×10)2÷(2X 4X103)=2.56×1018÷(8×103)= 0.32×1015=3.2X1014 9.1834解析：a(.xmy4)3÷ (3x2y”)2=a.x3my2÷(9.x+y2m)= 号y2a=2xy号=2 3m-4=5,12-2n=4,解得a=18, m=3,=4. 10.2πm2解析：由题意，得长方体容 器的宽为π·（ 3 (2mm2·6m2n2)=24rm5n4÷ 12m3n4=2xm2. 11.:自然数x之满足2X3-1=72, .2×3÷3=72. ∴.(2X3)r=72×3 ..6=216=63. .x=3. x=之， .x=3. .M= （子2y 5-y:）÷()】 15x3y2e3÷ .1 3 9 27 5 第2课时多项式除以单项式 1.A2.B3.A4.- 5 5.m+1 6.(1)原式=7x2y3÷8x2y2 8.x3y2z÷8x2y2= 8y-.. (2)原式= (号a6-2a6）÷ 1 a6÷号a2-2a6÷ 3 9a2b5=6a3b-18. 1 易错警示 因多项式除以单项式时漏除 某一项或忽略符号导致错误 将多项式除以单项式转化为 单项式除以单项式时，应注意逐项 计算，不要漏项，并且要注意符号 的变化，最后的结果按某一字母升 幂或降幂的顺序排列. 10 7.C 8.C解析：由题意，可得一4x2· B=32x5-16.x4,∴.B=(32x5 16.x4)÷（-4.x2)=-8x3+4x2. ,'.B+A=-8x3+4x2+(-4x2)= -8x3. 9.120解析：n=(4a2b一2a3)÷ (-2a)2=(4a2b-2a3)÷4a2=b- 1 2a.a=2,b=4,m=a2+ 1×4= ab2+子6=2+2×4+ 1 4+32+4=40,n=b-2a=4-2 2=3..mm=40X3=120. 10.十冬4解析：原窗框的面积为 ×号=6+答：新的长 ab+2 4 方形的面积保持不变，∴.新的窗框的 商度应为(ab+令)÷a=6+吾a. 11.11解析：'aDb=(ab十ab+ ab2)÷ab=a+1+b,∴.2①(3①4)= 2⊕(3+1+4)=2⊕8=2+1+8=11. 12.原式=(m2+4m十4n2+42 m2)÷4n=(8n2+4mm)÷4n= 2+m. 当m=-2,n=1时，原式=2×1 2=0. 13.,工件的体积为(a2十2a)(6a十 1)-a(a2-2a+2)=6a3+a2+ 12a2+2a-a3+2a2-2a=5a3+ 15a2,底面积为2a·3a一a2=5a2, .该工件的长x=(5a3+15a2)÷ 5a2=a+3. 14.设小明所想的数为a(a≠0). 由题意，得[(a+2)2-4]÷a=(a2+ 4a)÷a=a+4. ,'.小明算出的结果减去4就是小明 所想的数. 15.(1)3x十2.解析：如图①，由图 ①中的竖式，得(6x2+7x+2)÷ (2x+1)=3x+2. (2)根据题意，得x十2+6+x一2十 a=2(x+2+x-2). ∴.2.x+6十a=4x,解得a=2x-6. .用含x的代数式表示a的式子为 a=2x-6. (3)根据题意，得长方形C的另一边 长为[(.x-2+2.x-6)(x+2+6) 76]÷(x+10)=(3.x2+16.x-140)÷ (x+10). 如图②，由图②中的竖式，得(3.x2十 16.x-140)÷(x+10)=3.x-14. .长方形C的另一边长为3x一14. 3x+2 3x-14 2x+1V6x2+7x+2x+10/3x2+16x-140 6x+3x 3x2+30x 4x+2 -14x-140 4x+2 -14x-140 0 0 ⊙ ② (第15题) 专题特训四与整式乘除 有关的计算或求值 1.(1)原式=a2-5ab+3a5b3÷ a'b2=a2-5ab+3ab=a2-2ab. (2)原式=[(-8.x3y3)·4x4y2 xy2·16.x2y4]÷(-16.x2y3)= (-32xy5-16.x3y)÷(-16.x2y3)= 2x5y2+xy3. 2.B解析：962=(100一4)2= 1002一2×100×4+42=9216，故选项 A错误，选项B正确.962=(90十 6)2=902+2×90×6+62=9216,故 选项C错误.962=(95+1)(95+1)= 952+2×95×1+1=9216,故选项D 错误」 3.原式=(2-1)×(2+1)×(22+ 1)×(24+1)×…×(232+1)+1= (22-1)×(22+1)×(24+1)×…× (232+1)+1=264-1+1=264」 21=2,22=4,23=8,24=16,25 32,…, ·2的正整数次幂的个位数字按2、 4、8、6这4个数字为一个循环组依次 循环 .64=16×4, .24的个位数字和24的个位数字 相同. .原式的结果的个位数字是6. 4.设67897=a,则67898=a+1, 67896=a-1,67899=a+2 原式=a(a+1)-(a-1)(a+2)= (a2+a)-(a2+a-2)=a2+a a2-a+2=2. '.67897×67898-67896× 67899=2. 5.(1)a-b=7, .(a-b)2=49. ∴.a2-2ab+b2=49. ab=-10, .a2-2×(-10)+b2=49. .a2+b2=29. (2)由(1)，得a2-2ab+b2=49. .(a+b)2=a2+2ab+b2=a2 2ab+b2+4ab=49+4×(-10)=9, ∴.(a+b)2+2(a-b)2=9+2×72= 9+98=107 6.(m+1)2+m(m+4)-2=m2+ 2m+1+m2+4m-2=2m2+6m-1. ,m2+3m-1=0, .m2+3m=1. .'.2(m2+3m)=2,即2m2+6m=2. .原式=2-1=1. 7.原式=(2a4-a2)÷a2-(a2 b2)=2a2-1-a2+b2=a2+b2-1= (a+b)2-2ab-1. 当a+6=2a6=子时。 原式=2-2×号-1=4-是 1- 8.李明的说法有道理， 理由：[2x(x2y-xy2)+xy(2.xy一 x2)]÷x2y=(2.x3y-2x2y2+ 2x2y2-x3y)÷x2y=x3y÷ z'y=z. ,化简后的结果不含y, ∴.原代数式的值与y的值无关 ∴.李明的说法有道理， 9.(1)由题意，知小琪的计算过程为 (3m+a)(3m-b)=9m2-3bm+ 3am-ab=9m2+(-3b+3a)m- ab=9m2-3m-6, '.-3b+3a=-3①. 11 小米的计算过程为(3m十2a)(2m一 b)=6m2-3bm+4am-2ab=6m2+ (-3b+4a)m-2ab=6m2-m-12, ∴.-36+4a=-1②. ②-①，得a=2. 把a=2代人①，得-3b十6=一3， ∴.b=3. (2).°a=2,b=3, ∴.(3m+a)(2m-b)=(3m+2)· (2m-3)=6m2-9m+4m-6= 6m2-5m-6. 10.8解析：设AB=xcm,BC= ycm..2(x+y)=12,x2+y2=20. .x+y=6.(x+y)2=x2十 2xy+y2,∴.62=20+2xy..xy= 8..长方形ABCD的面积是8cm. 11.(1)这块梯形空地的面积为 (BC+AD)·BE 2 (4x+y+5.x+2y)·(x+2y) (停+号y+w)平方米 (2),长方形广场的面积为(6x2+ 12xy+9x)平方米，宽为3.x米， ∴.长方形广场的长为(6.x2+12xy+ 9x)÷3x=(2x+4y+3)米， ∴.长方形广场的长比梯形空地的下 底小5.x+2y一(2.x+4y+3)=(3x 2y-3)米. 11.5因式分解 第1课时提公因式法 1.D2.C3.C4.xy(x+2) 5.-18 6.(1)原式=5.x2y2(y-5.x). (2)原式=-2x(x-9xy+2y2) (3)原式=(2m一n)(2m+2n)= 2(m+n)(2m-n). (4)原式=(x-2y)(x+3y-x+ 2y)=5y(x-2y). 7.B 8.A解析：2a2b-4ab2= 2ab(a-2b)=-20,a-2b=5, '.2ab=-4..ab=-2.