11.3 乘法公式&专题特训3 运用乘法公式的六种方法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 11.3 乘 第1课时两数和 自基础进阶 1.下列各式中，可以用两数和与这两数差的乘 法公式计算的是 A.(2a+b)(2a+b) B.(2a+b)(2b+a) C.(2a-b)(2a+b) D.(2a+b)(-2a-b) 2.下列计算正确的是 A.(x-4)(4+x)=x2-4 B.(x+2)(3.x-2)=3.x2-4 C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2 D.（-x-2y)(x+2y)=x2-4y2 3.定义一种运算：a※b=a(b十1)，例如2※3= 2×(3+1)=2×4=8,则(x一1)※x的结果 为 4.计算： (1)(3m-2m)(-3m-2m). (2)(5ab-3.xy)(-3.xy-5ab). (3403×30 2 (4)2026×2024-20252. 28 法公式 乘以这两数的差 幻素能攀升 5.若(a+b)(p+g)能运用平方差公式计算，则 p、q满足的条件可能是：①p=a,q=b; ②p=a,q=-b;③p=-a,9=b; ④p=一a,q=一b中的 () A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.易错题若实数m、n满足（m2十 2m2+5)(m2+2m2-5)=0,则m2+ 2m2的值为 A.5 B.2.5 C.2.5或-5 D.5或-5 7.如图，长方体的体积为 2+b -a+b- (第7题) 8.已知x2-y2=4,则(x+y)3(x一y)3的值 为 9.解方程：9x(4x-7)-(6.x+5)(6x-5)+ 38=0. 10.利用平方差公式计算：99×101×10001. 11.李某从郑某手里租了一块边长为a(a>5)m 的正方形土地（如图）.郑某对李某说：“我把 你这块土地的一边减少5m,另一边增加 5m继续租给你，你也没有吃亏，你看如 何？”李某一听，觉得自己好像没有吃亏，就 答应了.同学们，你们觉得李某有没有吃亏？ 请说明理由 5m} am 5m (第11题) 12.已知11a2+5a-6=0,求5a(3a+1) (2a+7)(2a-7)的值 13.如果a、b为有理数，那么计算2a2一(a一 b)(a+b)-[(2-a)(a+2)+(-b 2)(2一b)]的结果与b的值有关吗？请说明 理由. 第11章整式的乘除 思维拓展 14.新考法·阅读理解题阅读材料，解决 问题， 小明遇到一个问题：计算：(2十1 (2+1)·(24+1)(28+1). 经过观察，小明发现将原式进行适当的变形 后可以出现两数和乘以这两数差的结构，进 而可以运用平方差公式解决问题，具体解法 如下： (2+1)(2+1)(24+1)(28+1) =(2+1)(2-1)(22+1)(2+1)(2+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(2+1) =216-1. 请根据小明的方法，解决下面的问题. (1)计算：(3+1)(32+1)(3+1)(38+1)· (316+1)= (2)化简：(m+n)(m2+n)(m+n4)(m8+ n8)(m16+n16). 2四 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第2课时两数 自基础进阶 1.利用乘法公式计算(2x十3)2的结果是 ( A.4x2+9 B.4x2-12x+9 C.4x2+12x+9 D.4x2+6.x+9 2.若(x士a)2=x2+2mx+9,则m的值是 ( A.±2 B.土3 C.±4 D.±5 3.设(2a+3b)=(2a-3b)2+A,则A为() A.6ab B.12ab C.0 D.24ab 4.方程(3x-2)2一(5-3x)2=6x一1的解为 5.计算： (2m+j月 (2)(2a+3)2+(3a-2)2. (3)(x+3)(x-3)(x2-9). 30 和（差）的平方 (4)(1-3a)2-2(1-3a)+(1+3a)2. 6.运用两数和（差）的平方公式计算： (1)2012. (2)9.82. 幻素能攀升 7.有下列运算：①(3x十y)2=9.x2十y; ②(3a-2b)2=9a2-4b2;③(-5x-y)2= 2x+10y+y@》-r-2x+ 其中，错误的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知a、b、c为常数，若(x一1)2十bx十c= x2-a.x十16，则a十b十c的值为 () A.18B.17 C.16D.15 9.*已知实数a、b满足a十b=2,ab=r 身期。-6的值为 A.1 B-号C1D.± 10.如图，由4个完全相同的小长方形 与一个小正方形密铺成一个大正 方形图案，该图案的面积为100，其 中小正方形的面积为16，小长方形的长为 b,宽为a,b>a.有下列关系式：①a2+ 2ab+b2=100;②a2-2ab+b2=16; ③a2+b=56;④a2-b2=40.其中，正确 的有 () A.1个B.2个 C.3个D.4个 小花园 金鱼池 十小花园 (第10题) (第11题) 11.如图，长方形金鱼池的面积为1m,周长为 6m,分别以长方形金鱼池的相邻两边为边 向外扩建两个正方形小花园，则这两个正方 形小花园的面积之和为 m2. 12.先化简，再求值：(a-3b)2+(3a十b)2一 (a+5b)2+(a-5b)2,其中a=-8, b=-6. 13.小明在计算(2a+b一1)时，先将(2a+b 1)转化为[2a+(b-1)],再利用完全平 方公式进行计算 (1)根据小明的方法计算：(2a+b一1). (2)请写出一种与小明不同的转化方式，并 写出计算过程 第11章整式的乘除 物思维拓展 14.新考法·阅读理解题【阅读理解】 已知x满足(70一x)(x一50)= 30,求(70-x)2+(x一50)2的值. 解：设70-x=a,x-50=b. ∴.ab=30,a+b=(70-x)+(x- 50)=20. ∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2X 30=340. .(70-x)2+(x-50)2=340. 【解决问题】 (1)若x满足(40一x)(x一30)=一20，则 (40一x)2+(x一30)2的值为 (2)者x满足(2-3)2-1)=是，则 (3-2x)2+4(x-1)2的值为 (3)如图，正方形ABCD的边长为x,AE 14,CG=30,长方形EFGD的面积是200， 四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四 边形PQDH是长方形，求涂色部分的面积. M (第14题) 31 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训三 运用乘 类型一直接运用公式 1.计算：(x+3y)(x-3y)一(x-y)2. 类型二交换位置运用公式 2.计算：(2x-y)(y+2x)-y(x一y) (2x)2. 类型三连续运用平方差公式 3.计算：(9x2+1)(1-3x)(-3x-1). 类型四添括号后整体运用公式 4.*计算：(a+2b+2)(a-2b+2)-4(a-2)2. 类型五综合运用公式 5.计算：(x-1)2(x+1)2(x2+1)2. 32 法公式的六种方法 6.计算：a-+(a+2a22》 类型六变形后运用公式 7计算：101-10m号×9 2 8.已知x+y=6,xy=7,求(3x+! y)2+(x十3y)2的值. 9.已知a+b=2,a2+b2=3.求： (1)ab的值 (2)a4十b4的值，4m十n..这个长方形的面积是 (3m+2n)(4m+n)=12m2+3mn+ 8m2+22=12m2+11m1+2m2. 11.213解析：.(a+b)· (2a十b)=2a2+3ab+b2,每张A类 卡片的面积为a2,每张B类卡片的面 积为b2,每张C类卡片的面积为ab, ∴.需要A类卡片2张，B类卡片1张， C类卡片3张 一2解析：：(x-5)· (6.x+7)>(3.x-2)(2x+1)+2, ,.6.x2+7x-30x-35>6.x2+3.x 4x-2+2,即-23x-35>-x. 1-2x>35解得x<一》4满 足条件的最大整数解为一2. 13.180解析：.x28.x一3=0， .x2-8x=3.∴.(x-1)(x-3)· (x-5)(x-7)=[(x-1)(x-7)]· [(x-3)(x-5)]=(x2-8.x+7)· (x2-8x+15)=(3+7)×(3+ 15)=180. 14.原式=x3+2x2+2x2+4x十 2x+4-x3+5.x2+x-5=9x2+ 7x-1. 当x=-1时，原式=9×(-1)2+7× (-1)-1=1. 易错警示 多项式与多项式相乘时 漏乘某一项或符号 (1)用一个多项式去乘以另一个多 项式的每一项时，注意不要漏乘某 一项 (2)当某一项的系数的符号为负号 时，要注意符号变化. 15.(1)由题意，得(2x一a)(3x+ b)=6.x2+2bx-3a.x-ab=6.x2+ (2b-3a)x-ab=6.x2+11x-10, (2x+a)(x+b)=2x2+2bx+a.x+ ab=2.x2+(2b+a)x+ab=2x2- 9x+10. /2b-3a=11 2b+a=-9 解得一5， {b=-2. (2)(2x-5)(3.x-2)=6.x2-4x 15.x+10=6.x2-19x+10. 16.(1)B是A的“友好多项式” 理由：C=AXB=(x一2)(x+3)= x2+3.x-2x-6=x2+x-6. ,x2+x-6比x-2多1项，即C比 A多不超过1项， .B是A的“友好多项式” (2)①答案不唯一，如x+2. ②答案不唯一，如B=x2+2x十4. 理由：C=AXB=(x-2)(x2十 2.x+4)=x3-2x2+2.x2-4x+4x 8=x3-8, C的项数和A相同. B是A的“特别友好多项式” (3)存在 举例不唯一，如A=a十b十c,B=a十 b-c. C=AXB=(a+6+c)(a+b-c)= a2+2ab+b2-c2. a2+2ab+b2-c2比a+b+c多 1项，即C比A多不超过1项， '.B是A的“友好多项式” 11.3乘法公式 第1课时两数和乘以这两数的差 1.C2.C3.x2-1 4.(1)4n2-9m. (2)9.x2y2-25a2b2. (3)15999 8 (4)-1. 5.C 6.A解析：实数m、满足(m2十 22+5)(m2+2n2-5)=0,∴.(m2+ 212)2-52=0..(m2+22)2=52. .1m2+2m2|=5.又m2+2n2≥ 0,.∴.m2+2m2=5. 易错警示 运用平方差公式时的注意点 (1)公式中的字母a、b可以表示具 体的数，也可以表示单项式或多项 式，公式中的a与b不是单个数字或 字母时，运用公式计算时要加括号. (2)运用平方差公式的关键是确定 公式(a+b)(a一b)=a2一b2中的 a和b,完全相同的项是a,只有符 号相反的项是b,确定a和b后套 用公式即可. 8 7.a一b解析：长方体的体积为 (a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2 b2)(a2+b2)=a4-b4 8.64解析：原式=[(x十y)(x y)]3=(x2-y2)3.x2-y2=4, .原式=43=64. 9.去括号，得36x2-63x-36x2+ 25+38=0. 移项、合并同类项，得63.x=63. 系数化为1，得x=1. 10.原式=(100一1)×(100+1)× (10000+1)=(1002-1)×(1002+ 1)=1004-1=108-1. 11.李某吃亏了. 理由：(a十5)(a-5)=a2- 25<a2, .李某少种了25m的土地. .李某吃亏了 12.原式=15a2+5a-(4a2-49)= 15a2+5a-4a2+49=11a2+5a+49. .11a2+5a-6=0, ∴.11a2+5a=6. ∴.原式=11a2+5a+49=6+49=55. 13.结果与b的值无关， 理由：：原式=2a2-(a2-b2)- [(4-a2)+(b2-4)]=2a2-(a2 b2)-(4-a2)-(b2-4)=2a2-a2+ b2-4+a2-b2+4=2a2, '.结果与b的值无关 14.(1)3-1 21 (2)当m≠时， Cm-)(m+)(m2十 原式= n2)(m4+n)(m8+n8)(m6+ n16)=m2-n2 m-n 当m=n时， 原式=2m·2m2·2m4·2m8· 2m16=32m31 第2课时两数和（差）的平方 1.C2.B3.D4.x=3 5.(1)原式= (份)°-2x合m×合m十 (合m）-gr-月w+子a (2)原式=4a2+12a+9+9a2 12a+4=13a2+13. (3)原式=(.x2一9)(x2一9)=x4 18x2+81. (4)原式=1-6a+9a2-(2-6a)+ (1+6a+9a2)=1-6a+9a2-2+ 6a+1+6a+9a2=18a2+6a. 6.(1)原式=(200+1)2=40000+ 400+1=40401. (2)原式=(10-0.2)2=100-4+ 0.04=96.04. 7.C 8.B解析：.(x1)2+bx+c= x2-a.x+16,∴.x2-2x+1+bx+ c=x2-a.x+16.∴.x2+(b-2)x+ c+1=x2-a.x+16.∴.b-2=-a, c+1=16...a+b=2,c=15...a+ b+c=2+15=17. 9.C解析：a十b=2,b= 3 ∴.(a+b)2=a2+2ab+b=4. ∴.(a-b)2=a2-2ab+b2=(a+ b)2-4ab=4-4× 3=1.a-b= 4 ±1. 方法归纳 两数和（差）的平方公式的 常见变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+ b2=(a-b)2+2ab. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab, (a-b)2=(a+b)2-4ab. (3)(a+b)2+(a-b)2= 2(a2+b2). (④)a2+=2[a+by+(a b)2]. (6)ah=[u+bP-a-6] (6)a2+62+c2-ab-bc-ca= 2[a-6+0-c+c-a1 10.B解析：由题意，得大正方形图 案的边长为a+b,小正方形的边长为 b一a.·大正方形图案的面积为 100,小正方形的面积为16，∴.(a+ b)2=100,(b-a)2=16,即a2+ 2ab+b2=100,a2-2ab+b2=16.故 ①②正确.，4个长为b、宽为a的小 长方形的面积为100一16=84，即 4ab=84,∴.ab=21.又.a2+2ab+ b2=100,∴.a2+b2=100-2×21= 58.故③不正确.：0<a<b,∴.a2< b2,即a2一b2<0.故④不正确.综上 所述，正确的为①②，有2个. 11.7解析：设长方形金鱼池的长和 宽分别为am和bm.∴.ab=1,a十 b=3.∴.a2+b2=(a+b)2-2ab= 32-2×1=9-2=7.∴.这两个正方 形小花园的面积之和为7m. 12.原式=a2-6ab+9b2+9a2+ 6ab+b2-a2-10ab-25b2+a2 10ab+25b2=10a2-20ab+10b2. 当a=一8，b=一6时，原式=10× (-8)2-20×(-8)×(-6)+10× (-6)2=40. 13.(1)原式=[2a+(6一1)]2= (2a)2+2·2a·(b-1)+(b-1)2= 4a2+4ab-4a+b2-2b+1. (2)答案不唯一，如不同的转化方式 为[(2a+b)-1]2, 原式=[(2a+b)-1]=(2a+b)2 2·(2a+b)·1+1=(2a)2+2· 2a·b+b2-4a-2b+1=4a2+ 4ab+b2-4a-2b+1. 14.(1)140.解析：设40一x=a, x-30=b..ab=-20,a+b= (40-x)+(x-30)=10.∴.a2+b2 (a+b)2-2ab=102-2×(-20)= 140.,.(40-x)2+(.x-30)2=140. (2)10.解析：设2x一3=m,x 9 1=..m=4,-m十2n=(3 2x)+2(x-1)=1..(-m)2+ (2m)2=（-m+2)2+4m=12+ 4X0.(3-2x)2+4(x 9 1)2=10. (3)由题意，得ED=x-14,DG= x-30. ∴.长方形EFGD的面积为(x- 14)(x-30)=200. 设x-14=饣，x-30=g,则MF= NF=P+q. .pg=200,p-q=(x-14)-(x 30)=16. ∴.涂色部分的面积为(p十q)2= (p-q)2+4pg=162+4×200= 1056. 专题特训三运用乘法 公式的六种方法 1.原式=x2-9y2-(x2-2xy+ y2)=x2-9y2-x2+2xy-y2= 2xy-10y2. 2.原式=(2x-y)(2x+y)-(xy y2)-4x2=4x2-y2-xy+y2 4x2=-xy. 3.原式=(-3x+1)(-3z-1)· (9x2+1)=[(-3x)2-1](9x2+ 1)=(9x2-1)(9x2+1)=(9x2)2 12=81x4-1. 4.原式=[(a+2)+2b][(a+2) 2b]-4(a-2)2=(a+2)2-(2b)2 4(a2-4a+4)=a2+4a+4-4b2 4a2+16a-16=-3a2+20a- 4b2-12. 一方法归纳 平方差公式的“七种变化” (1)位置变化：(b十a)(一b+a) (a+b)(a-b)=a2-b2 (2)符号变化：(-a-b)(a一b)= (-b)2-a2=b2-a2. (3)系数变化：(3a+2b)(3a 2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2」 (4)指数变化：(a2+b3)(a2 b3)=(a2)2-(b3)2=a4-b. (5)增项变化：(a+2b一c)(a 2b+c)=a2-(2b-c)2=a2 4b2+4bc-c2. (6)增因式变化：(a十b)(a-b)· (-a-b)(-a+b)=(a2-b2)· [(-a)2-b2]=(a2-b2)2. (7)连用公式变化：(a十b)(a b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+ b2)=a4-b. 5.原式=[(x-1)(x+1)(x2+ 1)]2=[(x2-1)(x2+1)]2=(x4 1)2=x8-2x4+1. 6.原式=(a2-a+是十a2+a十 4)(2a-3)=(2a+2)(2w 2）=4a-1 7.原式=(100+1)2-(100+2)× (100-2)=102+200+1-1002+ }-201子 8.原式=9x2+6.xy+y2+x2+ 6.xy+9y2=10x2+12xy+10y2= 10(.x2+y2)+12.xy=10[(x+y)2 2.xy]+12.xy=10(x+y)2-20.xy+ 12.xy=10(x+y)2-8.x. 当x十y=6,xy=7时， 原式=10×62-8×7=304. 9.(1)a+b=2, .(a十b)2=a2+b2+2ab=4. 又.a2+b2=3, .3+2ab=4,解得ab=2 1 （2》“a3+6=3ab=2 .a+b4=(a2+b2)2-2a2b2= (a2+b2)2-2(ab)2=32-2X (2)广=8号 11.4整式的除法 第1课时单项式除以单项式 1.D2.B3.A4.11y°e 5.-10(3m-n)9 6.(1)-2c. (2)3w. (3)x2-1. 7.D 8.D解析：a=1.6×10,b=4× 103,.a2÷2b=(1.6×10)2÷(2X 4X103)=2.56×1018÷(8×103)= 0.32×1015=3.2X1014 9.1834解析：a(.xmy4)3÷ (3x2y”)2=a.x3my2÷(9.x+y2m)= 号y2a=2xy号=2 3m-4=5,12-2n=4,解得a=18, m=3,=4. 10.2πm2解析：由题意，得长方体容 器的宽为π·（ 3 (2mm2·6m2n2)=24rm5n4÷ 12m3n4=2xm2. 11.:自然数x之满足2X3-1=72, .2×3÷3=72. ∴.(2X3)r=72×3 ..6=216=63. .x=3. x=之， .x=3. .M= （子2y 5-y:）÷()】 15x3y2e3÷ .1 3 9 27 5 第2课时多项式除以单项式 1.A2.B3.A4.- 5 5.m+1 6.(1)原式=7x2y3÷8x2y2 8.x3y2z÷8x2y2= 8y-.. (2)原式= (号a6-2a6）÷ 1 a6÷号a2-2a6÷ 3 9a2b5=6a3b-18. 1 易错警示 因多项式除以单项式时漏除 某一项或忽略符号导致错误 将多项式除以单项式转化为 单项式除以单项式时，应注意逐项 计算，不要漏项，并且要注意符号 的变化，最后的结果按某一字母升 幂或降幂的顺序排列. 10 7.C 8.C解析：由题意，可得一4x2· B=32x5-16.x4,∴.B=(32x5 16.x4)÷（-4.x2)=-8x3+4x2. ,'.B+A=-8x3+4x2+(-4x2)= -8x3. 9.120解析：n=(4a2b一2a3)÷ (-2a)2=(4a2b-2a3)÷4a2=b- 1 2a.a=2,b=4,m=a2+ 1×4= ab2+子6=2+2×4+ 1 4+32+4=40,n=b-2a=4-2 2=3..mm=40X3=120. 10.十冬4解析：原窗框的面积为 ×号=6+答：新的长 ab+2 4 方形的面积保持不变，∴.新的窗框的 商度应为(ab+令)÷a=6+吾a. 11.11解析：'aDb=(ab十ab+ ab2)÷ab=a+1+b,∴.2①(3①4)= 2⊕(3+1+4)=2⊕8=2+1+8=11. 12.原式=(m2+4m十4n2+42 m2)÷4n=(8n2+4mm)÷4n= 2+m. 当m=-2,n=1时，原式=2×1 2=0. 13.,工件的体积为(a2十2a)(6a十 1)-a(a2-2a+2)=6a3+a2+ 12a2+2a-a3+2a2-2a=5a3+ 15a2,底面积为2a·3a一a2=5a2, .该工件的长x=(5a3+15a2)÷ 5a2=a+3. 14.设小明所想的数为a(a≠0). 由题意，得[(a+2)2-4]÷a=(a2+ 4a)÷a=a+4. ,'.小明算出的结果减去4就是小明 所想的数. 15.(1)3x十2.解析：如图①，由图 ①中的竖式，得(6x2+7x+2)÷ (2x+1)=3x+2. (2)根据题意，得x十2+6+x一2十 a=2(x+2+x-2).