第10章 数的开方 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 第10章整合拔尖 知识体系构建 平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根 定义 平方根 算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根 表示方法，正数a的平方根记作±a,正数a的算术平方根记作a 个正数有两个平方根，它们互为相反数 性质 0的算术平方根与平方根只有一个，且均为0 负数没有平方根 开平方（求一个非负数的平方根的运算），开平方与平方互为逆运算 求法 用计算器求一个正数的算术平方根 数的开方 立方根 定义如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根 表示方法，数a的立方根记作a 正数的立方根是正数 性质 负数的立方根是负数 0的立方根是0 开立方（求一个数的立方根的运算），开立方与立方互为逆运算 求法 用计算器求一个数的立方根 有理数整数和分数 实数 分类 无理数。无限不循环小数 实数与数轴上的点一一对应 性质 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数 大小比较 借助估算比较大小 借助计算器取近似值比较大小 运算 有理数的运算法则、运算律对于实数也适用 91高频考点突破 考点一 平方根与算术平方根的计算 提示 先根据算术平方根的意义求出√8I的值，然后 典例1易错题√81的平方根是 求出该值的平方根， A.9 B.±9 C.3 D.±3 变式]√（一13）的算术平方根是 10 第10章 数的开方 考点二 立方根的计算 考点五无理数的估算 典例2 若5.x+32=一2，求x+17的立方根. 典例5与2十√15最接近的整数是 提示 A.4 B.5 C.6 D.7 由5.x+32=-2,知-2是5.x十32的立方根， 提示 即5x十32=（一2）3，通过此式可求出x的值，再求 先估算无理数√的大小，再确定与√I5最接 x十17的立方根， 近的整数，进而得出答案 [变式]已知a、b是两个连续整数，且a< 一16<b,则2a-3b 考点六实数与数轴的关系 典例6如图，数轴上的点P表示下列四个无理 [变式]已知x+29的立方根为4，则10x一7的 数中的一个，则这个无理数是 立方根为 考点三平方根、立方根的概念的应用 102345→ (典例6图) 典例3已知M=5Vm+12是m+12的算术 A.-√2B.√2 C.√5 D.π 平方根，N=m√n-30是n-30的立方根，试求 提示 由点P在数轴上的位置可以确定点P表示的 M-N的值. 无理数的范围，然后与各选项给出的数对照即可. [变式]如图，实数√2+1在数轴上的对应点可 能是 [变式]已知x一2的平方根是士2,2x十y+7的 考点七实数的相反数、绝对值等概念 立方根是3，则x2+y2的平方根是 典例7一|一√2的值为 ( 考点四无理数与实数 A.√2 B.-√2C.土√2D.2 典例4把下列各数分别填入相应的集合中： [变式]2一√3的相反数、绝对值分别是 5,牙分0、-、-14，与-河、 考点八实数的大小比较 3-0.064. 典例8比较2、√5、7的大小，下列判断正确 正实数集合：( …}; 的是 () 分数集合：{ …}; 负实数集合：{ …}; A.7<2<5 B.2<37<5 无理数集合：{ …}. C.2<5<7 D.√5<7<2 [变式]在实数√(-13) 爱中，台型 3 [变式]比较大小：√16 5;325 3；W5-1 3 数的个数是 2 拔尖特训·数学（华师版）八年级上 考点九与实数有关的运算 考点十运用数的开方解决生活中的实际问题 典例9计算： 典例10*国际比赛的足球场的长在100m到 (1)-32×2+√（-4)7+-64. 110m之间，宽在64m到75m之间.为了举办 (2)4X5-2×范（精确到0.01D. 某次运动会，某地修建了一个长方形的足球场， 其长是宽的1.5倍，面积是7560m,请你判断 提示 这个足球场能否用来进行国际比赛，并说明理由. (1)利用有理数的乘方运算，算术平方根、 立方根的运算性质按顺序进行计算.(2)本题是对无 理数的近似计算，可使用计算器分别求出各个无理数 的近似值，将它们转化为有理数进行计算. [变式]计算： 1(-2×827×(-日月 [变式]一个正方体集装箱的原体积为216m,现 准备将其扩容用来放更多货物.若要使其体积达 到343m3,则它的棱长需增加多少米？ (2)√5+5一5.021（精确到0.01）. 12 第10章数的开方 综合素能提升 金 1.下列关于√⑧的叙述中，正确的是 ( )8.如图，直径为1的圆从原点沿数轴向左滚动 A.√⑧是有理数 一周，圆上与原点重合的点O到达点O,设 点O表示的数为a.求： B.面积为4的正方形的边长是√⑧ (1)a的值 C.√⑧是无限不循环小数 (2)一-(a一√16)一π的算术平方根. D.在数轴上找不到可以表示√8的点 2.如图，在数轴上的A、B、C、D四点中，与表 -40-3 -2 0(0)1 示一√的点最接近的是 () (第8题) A B C D -3-2-1012 (第2题) A.点AB.点BC.点CD.点D 3.下列各组数中，互为相反数的是 A.3和w√(-3) B.一|一√1I和一（一√1I) C.一⑧和一8 n-2布时 4.已知某正数的两个平方根分别是a+3和 2a一15，b的立方根是一2，则3a+b的算术 9.用篱笆材料在空地上围成一个面积 平方根是 为100m2的绿化场地，现有两种设 计方案：方案一是围成正方形场地， 5.已知x十3y+(x+27)2=0,则y无+√y 方案二是围成圆形场地.试问哪种方案所需 的值为 要的篱笆材料较少？请说明理由. 6.已知a是（一7）的负的平方根，b=一√J22|, c=一64，则a、b、c中最大的实数与最小的 实数的差是 7比较实数2严与号的大小 138(cm), .AB+BC=3+8=11(cm). 这个物体的最高点与地面的距离 是11cm. 5.(1)x=4或x=0. 2》=是 6.(1)3a-5的立方根是-2， .3a-5=-8,解得a=-1. b的两个不同平方根分别为m和 1-5m 1 .1-5m十m=0,解得m=4 6=m2= (2)a=-1,b= 1 16 1 1,1 9一 3 4 7.D 8.答案不唯一，如2解析：，|2a 7=7-2a,2a-7<0.a≤ ∴.根据题意，得a可以是2. 9.由题意，得a十b=0,cd=1, ∴.v2(a+b)+8cd=√+8= 0+2=2. 10.方法一（估算法）：·√4< √5<， ∴.2<53. ∴.√5-3<0,5-2>0. :522>0 2 45-52 方法二（利用计算器）：利用计算器可 求得√5-3≈2.236-3=-0.764， 5-2≈2.236-2=0.118. 2 2 ,-0.764<0.118, ·5-35-2 2 一方法归纳 比较无理数大小的两种常用方法 涉及无理数的大小比较问题， 估算法或利用计算器计算是比较 常用的方法.利用估算法比较时， 要注意不等式的基本性质的应用： 利用计算器计算时，要注意按键 顺序， 38 1.1-1+×日 =-1-号×-=-1 4 3 12.B解析：0是有理数，故选项A 不符合题意..1<√2<2，∴.0< √2-1<1.∴.√2-1是无理数且表示 的点在线段AB上.故选项B符合题 意.=9<一8=-2，.一⑨ 表示的点不在线段AB上.故选项C 不符合题意.3，.π表示的点不 在线段AB上.故选项D不符合题意. 13.C解析：0<c<1,.0< √<1.故选项A错误.-5<a< -4,.-2<9a<-1.又-3< b<-2,∴.a>b.故选项B错误. d=4,.√a=2.又0<c<1, ∴.c<√a.故选项C正确4< -a<5,d=4,.√一a>√a.故选 项D错误. 14.(1)-5w5 (2)√5+1. (3)由题意，得点A表示的数为一1， 点B表示的数为一√5，点C表示的数 为4，点D表示的数为5， ∴.点A与点B之间的距离为|一1 (-5)|=√5-1，点C与点D之间 的距离为4一√5引=4一√5. ∴.a的值为5-1，b的值为4-√5. 第10章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D 3 易错警示 细审题，勿被形式迷惑 本题若不认真读题，易由题目 中出现的√8，误以为是求√8T的 值，而错选A [变式]√3 典例2：/5.x+32=-2, ∴.5.x+32=(-2)3,即5.x+32= -8,解得x=-8. .x+17=-8+17=9. ∴.x十17的立方根是】 [变式]7解析：x+29的立方 根为4，.x十29=43，即x十29=64. .x=35..10.x-7=350-7=343. 又，73=343，.10x-7的立方根 为7. 典例3由题意，可知5-n=2,m 1=3,解得m=4,n=3. .m+12=16,2-30=-27. .M=√/16=4，N=3-27=-3. ∴.M-N=7. [变式]士10解析：由题意，得 x-2=4, 2x+y+7=27, =6:2+ 解得 y=8. y2=100..x2+y2的平方根是 ±10. 典例4正实数集合：{15、至， 分数集合： /1 5 ，-3.14、7 -0.064、…: 负实数集合：{一√5、一3.14、一、 3-0.064、…}: 无理数集合：{至、一5、万.… [变式]3解析：：√(-13)= 13,它是整数 327 3 64 =一4，它是分 数，2是分数，无是无理数，“有理 数的个数是3. 典例5C解析：√<√5< 16,.3</15<4.又3.52= 12.25<15,.与√15最接近的整数 是4..与2十√5最接近的整数 是6. [变式]0解析：-27<-16< -8,.-3<-16<-2.a、b是 两个连续整数，a<一16<b, ∴.a=-3,b=-2.∴.2a-3b=2× (-3)-3×(-2)=-6+6=0. 典例6B解析：根据题意，设点P 表示的数为p,则1<p<2.1< √2<2，∴.这个无理数是2. [变式]D解析：1<2<2， '.2<√2+1<3.观察数轴上的点可 知，实数√2+1在数轴上的对应点可 能是D 典例7B [变式]√-22-√ 典例8A解析：2=√4<5 2<5.7<8=2,.37<2. .7<2<5 [变式]<<> 解析：√16=4,4<5，∴.√16<5. 25<27,∴.925<27，即25< 3.:√5-1>2-1，.5-1>1. :915-1号 典例9(1)原式=一9×2+4 4=-18. (2)原式≈4×1.732-2×1.260= 6.928-0.630=6.298≈6.30. [变式]1)原式=(-8)×8-3× (-3)=(-1)-(-1)=-1+ 1=0. (2)原式≈2.236+1.710-5.021= -1.075≈-1.08. 典例10这个足球场能用来进行国际 比赛 理由：设足球场的宽为xm,则足球场 的长为1.5xm. 由题意，得1.5x2=7560, .x2=5040. .712=5041,x>0, .x=√/5040≈71. .1.5x≈106.5. ,100<106.5<110,64<71<75, '.这个足球场的长与宽都符合要求， 能用来进行国际比赛。 一方法归纳 运用数的开方运算 解决判断类问题 在解答这种“能否用来…” 或“是否存在…”的问题时，可先 假设能或存在，在此假设下，寻找 等量关系建立方程，借助数的开方 运算求出结果，看结果是否符合 要求。 [变式]，·正方体集装箱的原体积 为216m3, .原来的棱长为/216m,即6m ,要使其体积达到343m3, ∴.现在的棱长为/343m,即7m. ∴.正方体集装箱的棱长需增加7 6=1(m) [综合素能提升] 1.C 2.B解析：2.25<3<4，.1.5< 5<2..-2<-5<-1.5.与 表示一√的点最接近的是点B. 3.B解析：V(-3)产=3，∴.3和 √（一3）不互为相反数.故选项A不 符合题意一|一√们|=一√ -(-1I)=√1I,.'.--1I 和一（一√T)互为相反数.故选项B 符合题意.：一8=一2，一8= 一2，.一8和一8不互为相反数 故选项C不符合题意.一2和)不互 为相反数，故选项D不符合题意， 4.2解析：，某正数的两个平方根 分别是a+3和2a-15,∴.a+3+ 4 2a-15=0,解得a=4.,'b的立方根 是-2，b=(-2)3=-8.∴.3a十 b=3×4一8=4..3a+b的算术平 方根是2. 5.一24解析：x+3y+(x十 27)2=0,∴.x+27=0,x十3y=0. ∴.x=-27,y=9..y五+√= 9X3一27+5=9×(-3)+3= -27+3=-24. 6.9解析：a是（一7）2的负的平 方根，b=1-√21，c=一64， ∴.a=-7,b=2,c=-4..a、b、c中 最大的实数为2，最小的实数为一7. ∴.它们的差是2-（一7）=9. 7. 9-√22_1-9-√22-2 4 4 7-√22 4 ,7=√49>√22， .7-√22>0. :7-厘>0 4 9-厘、1 4 之2 8.(1)由题意，可知OO的长度等于 直径为1的圆的周长， .00'=元. :点O在原点左侧， .a=一元 .a的值为一元 (2)把a=一π代人一(a一√16) π，得-（-π-√/16)-π=√16=4. ,4的算术平方根为2， '.一(a一√I6)一π的算术平方根 为2. 9.方案二所需要的篱笆材料较少， 理由：设正方形场地的边长为am 由题意，得a2=100, ∴.a=10. .正方形场地的周长为4×10= 40(m). 设圆形场地的半径为Rm. 由题意，得πR2=100, 100 0 圆形场地的周长为2x·√元 35.45(m). 40>35.45, ∴.方案二所需要的篱爸材料较少 第11章 整式的乘除 11.1幂的运算 第1课时同底数幂的乘法 1.C2.D3.A4.ab 5.a12a2a 6.(1)101 (2)(2.x+y)16. (3)y. 7.A8.A 9.C解析：3=9,3=243， .3×3=3+y=9X243=2187. ,3”=2187,.3”=3+..n= x十y. 10.一1解析：53·5m·52m+1= 525,.53+m+2m+1=525,即53m+4= 525..3m+4=25..m=7..(6 m)225=(-1)2025=-1. 11,729解析：3m+1=243, ∴.3m+2=3m+1×3=243X3=729. 12.6解析：.9×27+3×9×9+ 3×81=32×33+3×32×32+3× 34=35+35+35=3×35=36.∴.36= 3”...n=6. 13.(1)-m3 (2)(x-y)如+1+(x-y)m+3. 14.八xm”·x2+1=xm++1=x1, y-1·y”=y+3=y, m+n+1=11, 解得m二6， m-n+3=5, n=4. ∴.mm2=6X42=6×16=96. 15.(1)12☆3=1012×103= 1012+3=1015: 4☆8=104×108=101+8=1012. (2)相等 理由：(a十b)☆c=10+b×10= 10+,a☆(b+c)=10X10+c= 10at+c, ∴.(a十b)☆c=a☆(b十c). 16.(1)2:2:3. (2)(5,14). 理由：设(5,2)=x,(5,7)=y,则5= 2,5=7. '.52×5=5+y=2×7=14. ∴.(5,14)=x+y, 即(5,2)+(5,7)=(5,14). (3)(3,5)=a,(3,6)=b,(3, 30)=c, ∴.34=5,3=6,3=30. .3X3=3, 即3+b=3. .a+b=c. 第2课时幂的乘方 1.D2.C3.C4.C5.10° 6.6 7.(1)100」 (2)p9. (3)2a. 8.A 9.A解析：2m=a,∴.23m= (2m)3=a3..32”=b,∴.(25)”= 2"=b.∴.210m=22x5m=(2m)2=b2. ∴.23m+1m=23m·21m=a3b2. 10.-x12 11.5解析：9”=(32)”=32"， .(9”)2=(32m)2=3"=32.∴.4n= 12..n=3..2m-1=2×3-1=5. 12.32解析：m、n均为正整数， 且2m+31=5,.4m·8=(22)m· (23)”=22m·23m=22m+3m=25=32. 13.(1)4a15. (2)5.x12. (3)0. 14.(1)a”=4, .(a3)”=(a")3=43=64 (2)am=16,a”=4, ∴.a2m+3n=a2m·a3m=(am)2· (a)3=162×43=256×64=16384. 15.(1).x2m=4, .x0-3·x3n+》=x”-3·x3+3= x"=(x2m)2=42=16. (2)x2m=4, .9(x3m)2-13(x2)2m=9x6m- 5 13xm=9(.x20)3-13(.x2m)2=9X43- 13×4=576-208=368. 16.x+2y=3z. 理由：.2r=a,4=b,8=ab, ∴.2×4'=8. .2×2=2,即2+2w=2」 .x+2y=3x. 17.(1)34=(34)1=81”,43= (4)1=641,52=(52)11=251,81> 64>25, .811>641>25',即34>43>522. (2):8131=(34)31=3124,271= (33)1=3123,91=(32)61=312,124> 123>122, .3124>3123>3122,即8131>271> g (3).a2=2,b3=3, .a=(a2)3=23=8,b5=(b3)2= 32=9. 8<9, .a6<b6. 又，a、b均为大于1的实数 ∴.ab. ·方法归纳 转化比较法 当比较类似于3“、43、522这 样的一组数的大小时，直接比较大 小非常困难，可以通过正用或逆用 幂的乘方法则，转化为同底数或同 指数的幂后再进行比较.若底数与 指数都大于1，则当底数相同时，指 数越大的幂越大；当指数相同时， 底数越大的幂越大。 第3课时积的乘方 1.A2.B3.D4.-2a2b 5.2.7×10 6.(1)-8ab3 (⑧）6. 3)草y (4)7x6. 7.B &C解析：()×()》