第15章 轴对称图形与等腰三角形 拔尖测评-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 9. 第15章拔尖测评 ○满分：100分○时间：90分钟 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中，不属 于轴对称图形的是 () 10 D. 2.如图，AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A,B的对称点分别是点C,D.下列 结论不一定正确的是 () A.AD BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC//BD P D 11 e 12 b D 米M BL (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，在△ABC中，∠C=80,∠B=30,分别以点A和点B为圆心，大于号AB的长为半径画弧，两弧 相交于点M,N,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 () A.50° B.45 C.40 D.35 4.如图，直线a仍，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1=40°，则∠2的度数为 13 A.80 B.70 C.60 D.50 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD,AD=5cm,则BC的长为 A.8cm B.12 cm C.16 cm D.15cm 15 B B Fh 三 D 0 (第5题) (第6题) (第7题)》 (第8题) 16 6.如图，P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，当 △PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为 () A.140 B.100° C.50 D.40 7.如图，AD垂直平分BC,垂足为D,∠BAC=45°，CE⊥AB于点E,交AD于点F,BD=2,则AF的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 8.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC,垂足为E,延长BC到点 Q,使CQ=PA,连接PQ交AC于点D,则DE的长为 () A.0.5 B.0.9 C.1 D.1.25 11 17.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3). (1)作出△ABC关于x轴对称的△A,B,C1. (2)作出△A,B1C,沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2, (3)如果AC上有一点M(a,b)经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 (4)求△ABC的面积. 0 (第17题) 20 18.(12分)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°，E为边AD上一点，连接BD,CE 相交于点F,CEAB. (1)判断△DEF的形状，并说明理由. (2)若AD=10,CE=8,求CF的长. (第18题) 19.(12分) (1)如图①，在四边形ABCD中，ABDC,E是BC的中点.若AE是∠BAD的平分线，试探究AB, AD,DC之间的数量关系. 12在△ABC和△A'B'C中， AB=AB', ∠B=∠B', BC=B'C', .∴.△ABC≌△A'B'C'(SAS). .∠C=∠C' 19.(1).∠ACB=90°，AD⊥CE, BE⊥CE, ∴.∠ADC=∠E=90°，∠ACD+ ∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°. ∴.∠DAC=∠ECB. 在△ACD和△CBE中， 1∠ADC=∠E, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, ..△ACD≌△CBE(AAS). ∴.AD=CE (2).·△ACD2△CBE, ∴.AD=CE=9,CD=BE=5. .'.DE=CE-CD=9-5=4. BF=DE, ,.BF+BE=DE+CD,即EF= CE. ..AD=EF=9. 在△ADG和△FEG中， ∠ADG=∠E, ∠DGA=∠EGF, AD-FE, .∴.△ADG2△FEG(AAS). .DG=EG. :G=2DE=合×4=2 ·SAm=BG·EP=?X2X 9=9. .△EFG的面积是9. 20.(1)90. (2)①a+3=180°. .'∠BAD+∠DAC=a,∠DAC+ ∠CAE=a, '.∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS). ∴.∠B=∠ACE. .∠B+∠ACB=180°-a, ..∠DCE=∠ACE+∠ACB 180°-a=3. .a+3=180°. ②如图所示. a=3. (第20题) 第15章拔尖测评 -、1.B2.A3.C4.A5.D 6.B7.B 8.C解析：如图，过点P作PF∥BC 交AC于点F,∴.∠Q=∠FPD, ∠APF=∠B,∠AFP=∠ACB. △ABC是等边三角形，∴.∠A ∠B=∠ACB=60°..∠APF= ∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60° ∴.△APF是等边三角形..AP= PF.AP=CQ,∴.PF=CQ.在 △PFD和△QCD 中， ∠FPD=∠Q, {∠PDF=∠QDC,∴.△PFD≌ PF=QC, △QCD..FD=CD.:PE⊥AC, △APF是等边三角形，∴.AE=EF. .∴.AE+DC=EF+FD..∴.DE= 个y AC.AC=2..DE=1. D B 0 (第8题) 9.B解析：△A,B1A2为等边三 角形，.∠B1A1A2=60°，A1B1= A1A2.∠O=30°，.∠A1B,O= ∠0=30°.∴.A1B1=OA1. ∴.A,B1=A1A2=OA=2.同理，可 A2 B2=A2A3=0A2=20A)=4, A3 B3=A3A.=OA3=20A2=8. .A1A4=A1A2+A2A3+A3A4= 2+4+8=14. 10.C解析：∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点O,∴.∠OBC= ∠OBE,∠OCB=∠OCF.:EF∥ BC,∴.∠OBC=∠EOB,∠OCB= ∠FOC..∠EOB=∠OBE, ∠FOC=∠OCF.∴.OE=BE,OF= CF..EF=OE+OF=BE+CF. 53 ∴.①正确.：易得∠OBC= 合∠ABC,∠CB= 1 ·∠ACB, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°， &∠0+∠0B=90-2∠A. ∴.∠BOC=180°-（∠OBC+ ∠0CB)=90+号∠A.@®正确 如图，过点O作OM⊥AB于点M,作 ON⊥BC于点N,连接OA. ,∠ABC和∠ACB的平分线相交 于点O,.易得ON=OD=OM. .③正确.∴.S△AF=S△AE十 Sm=合AB·QM+AF· OD=2OD·(AE+AF)=2mm. ∴.④错误综上所述，正确的个数 为3. B (第10题) 二、11.512.313.7 14.60或15°解析：如图①，当底角 的度数是30时，延长CA交BE于点 O.:∠ACB=30°，点B与点E关于 直线AC对称，∴.∠ACB=∠ACE= 30°，∠CBE=∠BEC,∠EOC= ∠BOC=90°.∴.∠BEC=∠CBE= 60°如图②，当顶角的度数是30时， 设AC与BE交于点F.:∠A=30°， AB=AC,∠ACB=7×(180- 30)=75.点B与点E关于直线 AC对称，∴.∠CBE=∠BEC, ∠EFC=∠BFC=9O°.∴.∠BEC= ∠CBE=90°-∠ACB=90°-75°= 15°.综上所述，∠BEC的度数为60 或15. ② (第14题) 15.(1)20解析：.∠A+ ∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°， ∠ABC=80°，∴.∠ACB=180° 40°-80°=60.CE=BC, ∴.△BCE是等边三角形 .∠EBC=60°..∠ABE= ∠ABC-∠EBC=80°-60°=20°」 (2)110解析：设∠BEC=a, ∠BDC=B..∠BEC=∠A+ ∠ABE,.a=40°+∠ABE. ,BC=CE,∴.∠CBE=∠BEC= a.∴.∠ABC=∠ABE+∠CBE= 40°+2∠ABE.在△BDC中，BD= BC,∴.∠BDC=∠BCD=B. ∴.∠BDC+∠BCD+∠DBC=23+ 40°+2∠ABE=180°.∴.3=70° ∠ABE..a+B=40°+∠ABE+ 70°-∠ABE=110°.，∴.∠BDC十 ∠BEC=110°. 三、16.(1)由题意，得AB=30× (10一8)=60（海里）. .∠NBC=60°，∠NAC=30°， ..∠C=∠NBC-∠NAC=30°. ∴.∠C=∠NAC. ∴.BC=AB=60海里 ∴.海岛B到灯塔C的距离为 60海里. (2)过点C作CP⊥AN于点P 根据垂线段最短，可知当船在点P处 时，距离灯塔C最近，∠BPC=90°. 又·∠NBC=60°， ∴.∠PCB=180°-」 ∠BPC ∠NBC=30°. ·PB=2BC=30海里。 :30÷30+10=11(时)， ,'.11时船距离灯塔C最近 17.(1)如图，△A1B,C1即为所 求作. (2)如图，△ABzC2即为所求作. (3)(a+4,-b). 1 (4)△ABC的面积为2×4-2×2× 2-2×1×4-7 1 ×1×2=3. B B 0 B (第17题) 18.(1)△DEF是等边三角形. 理由：AB=AD,∠BAD=60°， ∴.△ABD是等边三角形 ∴.∠A=∠ABD=∠ADB=60. CE//AB, ∴.∠CED=∠A=60°，∠DFE= ∠ABD=60. ∴.∠CED=∠ADB=∠DFE. ∴.△DEF是等边三角形. (2)连接AC交BD于点O. AB=AD,CB=CD, ∴.AC垂直平分BD,即AC⊥BD. :AB=AD,∠BAD=60°， .'.∠BAC=∠DAC=30° CE∥AB, ∴.∠BAC=∠ACE=∠CAD=30. ∴.AE=CE=8. '.DE=AD-AE=10-8=2. :△DEF是等边三角形， .∴.EF=DE=2. '.CF=CE-EF=8-2=6. 19.(1)AD=AB+DC. (2)AB=CF+AF 理由：延长AE交DF的延长线于 点G. ,E是BC的中点， ∴BE=CE ,AB∥DC, ∴.∠BAE=∠G 又：∠AEB=∠GEC, .'.△AEB≌△GEC .AB=GC. ,AE是∠BAF的平分线， ∴.∠BAG=∠FAG. ∠BAG=∠G, '.∠FAG=∠G ∴.AF=FG. .GC=CF+FG, .'.AB=CF+AF」 20.(1)在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=120°， :∠B=∠C=2 ×(180° ∠BAC)=30. BD=BE, ∴.∠BDE=∠BED= 2 ×(180° ∠B)=75 ,在△ABC中，AB=AC,AD是边 BC上的中线， ∴.AD⊥BC. 54 .∴.∠ADB=90 ∴.∠ADE=∠ADB-∠BDE=15. (2)△ADF是等边三角形. :MF为CD的垂直平分线， .DF=CF. :∠C=30, ..∠FDC=∠C=30° ∴.∠AFD=∠C+∠FDC=60° AD⊥BC, ∴.∠ADC=90°」 ∴.∠DAF=90°-∠C=60°. ∴.∠ADF=60°，即∠FAD= ∠ADF=∠AFD=60°. '.△ADF是等边三角形， (3),MF为CD的垂直平分线， ∴.∠FMC=90°. :∠C=30°，MF=2, '.FC=2MF=4. DF=FC, ∴.DF=4. △ADF是等边三角形， ∴.AF=DF=4. ∴.AC=AF+FC=4+4=8. .AB=AC, .AB=8. 期末拔尖测评 -、1.D2.B3.D4.C5.D 6.D7.A 8.D解析：延长BM,交AC于点E. :AD平分∠BAC,BM⊥AD, ∴.∠BAM=∠EAM,∠AMB= ∠AME=90°.在△ABM和△AEM I∠BAM=∠EAM, 中， AM-AM, ∠AMB=∠AME, ∴.△ABM≌△AEM.∴.BM=EM, AB=AE,∠ABM=∠AEM. .BE=BM+EM=4,AE=AB=5. ∴.CE=AC-AE=9-5=4. .BE=CE.'.∠EBC=∠C.又 ,∠ABM=∠AEM=∠C+ ∠EBC,∴.∠ABM=2∠C. ∴.∠ABC=∠ABM+∠EBC= 3∠C. 9.B解析：在AC上取一点M,使 AM=AB=6,连接MD. ∠DAE=∠BAC,∴.∠DAE ∠BAD=∠BAC-∠BAD,即 ∠EAB=∠DAM.:AE=AD, '.△ABE≌△AMD.'.BE=MD