15.3 角的平分线-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

∠DFO=90° 又：OF=OF, .△BFO2△DFO ∴.∠OBD=∠ODB. AB=CD,OA=OC,OB=OD, ∴.△ABO≌△CDO. ∴.∠ABO=∠CDO. 设∠OBD=∠ODB=a,∠ABO= ∠CDO=B, a+3=120°，3-a=38. .a=41°. ∴.∠OBD=41° A (第10题) 11.(1),在△ABC中，边AB的垂 直平分线l1交BC于点D,边AC的 垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2 相交于点O, ∴.AD=BD,AE=CE. ,△ADE的周长为8cm, .'AD+DE+AE=8 cm. ∴.BC=BD+DE+CE=AD+ DE+AE=8 cm. (2),在△ABC中，边AB的垂直平 分线l,交BC于点D,边AC的垂直 平分线12交BC于点E,l与l2相交 于点O, ∴.OA=OB,OA=OC .OA=OB=OC. :△OBC的周长为18cm, .'OB+OC+BC=18 cm. ,BC=8 cm, ∴.OB+OC=10cm. .∴.OB=OC=5cm. ∴.OA=5cm. 12.(1)由题意，得BD是∠ABC的 平分线， '.∠EBD=∠FBD ·DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠BED=∠BFD=90. 在△BED和△BFD中， ∠BED=∠BFD, ∠EBD=∠FBD, BD=BD, .△BED≌△BFD. .'DE=DF,BE=BF ∴点B,D在EPF的垂直平分线上 .BD所在直线是EF的垂直平 分线. (2)成立. 同理(1)，可证△BEG≌△BFG, ∴.GE=GF,BE=BF. .点B,G在EF的垂直平分线上. ∴.BG所在直线是EF的垂直平分 线，即BD所在直线是EF的垂直平 分线 (3)成立 一方法归纳 证明一条直线是某条线段的 垂直平分线的条件 (1)存在两点：直线上有两个 不同的点. (2)到线段两端距离相等：两 点到线段两个端点的距离分别相 等.根据两点确定一条直线，推导 出这两个点所在的直线就是这条 线段的垂直平分线 15.3角的平分线 第1课时角的平分线的画法 与性质定理 1.A2.B 3.(1)如图，OB即为所求作. (2).AE//ON, .∠MON=∠MAE=48. .OB平分∠MON, ∠NOB=2∠MON=24, .AB//ON, .∠OBE=180°-∠NOB=180°- 24°=156° M N (第3题) 4.·OM是∠AOB的平分线，CD⊥ OA,CE⊥OB, .∠FOD=∠FOE,CD=CE, ∠CDO=∠CEO=90°. 在Rt△CDO和Rt△CEO中， CD=CE, oc=oc. '.Rt△CDO≌Rt△CEO. 33 .OD=OE 在△DFO和△EFO中， OD=OE, ∠DOF=∠EOF, OF=OF, .'.△DFO2△EFO. .∠DFO=∠EFO. 5.B6.A7.6 8.14解析：如图，过点O作OE1 AC,OF⊥AB,垂足分别为E,F,连 接OA.,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD=3,∴.OD=OE= OF=3.△ABC的面积是21， '.S△AC=S△0BC+S△0AC+S△0AB= 21.·.2OD·BC+2OE·AC+ 2OF,AB=21.OD·(BC+ AC+AB)=21.'OD=3,.BC+ AC+AB=14.∴.△ABC的周长 为14. B (第8题) 方法归纳 三角形的周长 和三角形面积的关系 已知△ABC的三条角平分线 的交点为O,点O到△ABC的边 BC的距离为r,△ABC的周长为 L,则△ABC的面积=2r, 1 9.如图，过点D分别作AE,AF的垂 线，交AE于点M,交AF于点N,则 ∠CMD=∠BND=90. :AD是∠EAF的平分线， .DM=DN. :∠ACD+∠ABD=180°， ∠ACD+∠MCD=180°， ∴.∠MCD=∠NBD. 在△CDM和△BDN中， I∠CMD=∠BND, ∠MCD=∠NBD, DM=DN, '.△CDM≌△BDN. .'CD=BD. M NB F (第9题) 10.(1)过点E作EM⊥AC于点M. :∠BAC和∠ACD的平分线交于 点E,EF⊥AB,EG⊥CD, ∴.EF=EM,EM=EG. .EF=EG. (2)AC=AF+CG 理由：由(1)知，EF=EM=EG. 在Rt△AEF和Rt△AEM中， AE=AE, EF-EM. ,∴.Rt△AEF≌Rt△AEM. .'.AF=AM. 同理，Rt△CEG≌Rt△CEM,CG= CM. .AC=AM+CM, ..AC=AF+CG. 11.(1)1. (2)过点D分别作DM⊥AB于点 M,DN⊥AC于点N. AD为∠BAC的平分线， .DM=DN. AB=m,AC=n, Sm:Sn=(AB· DM):(分AC·DN)= (3).·AD=DE, ∴.易得S△AD:S△mE=1. S△wE=2.2, .S△Am=2.2. AD平分∠CAB ∴.易得S△ABD·S△D=AB:AC 4:2=2. .S△cn=1.1. .S△Ax=1.1+2.2=3.3. 第2课时角平分线性质定理的 逆定理 1.A2.∠BAD∠BCD 3.PM⊥AD,PN⊥CD,PM=PN, ∴.DP平分∠ADC,即∠ADP= ∠CDP ,BD是∠ABC的平分线， '.∠ABD=∠CBD. 在△ABD和△CBD中， ∠ABD=∠CBD, BD=BD, ∠ADB=∠CDB, ∴.△ABD≌△CBD. .∴.AD=CD 4.B5.B 6.①②解析：如图，连接AP. PR⊥AB,PS⊥AC,∴.∠PRA= ∠PSA=90°.在Rt△PRA和 R△PSA中，：PA=PA, PR=PS, .Rt△PRA≌Rt△PSA..∠1= ∠2，AR=AS.故①正确.，AQ= PQ,.∠2=∠3..∠1=∠3. ,'.QP∥AR.故②正确.根据题目中的 条件无法判断△BRP和△QSP全 等.故③不一定正确.综上所述，一定 正确的是①②. 13- (第6题)》 7.如图，点P即为所求作」 A (第7题) 8.如图，过点E作EG⊥AD于点G, EH⊥BC于点H, ,EF⊥AB,∠AEF=60°， '.∠EAF=90°-∠AEF=90°- 60°=30. :∠BAD=120, .'.∠CAD=180°-∠BAD ∠EAF=180°-120°-30°=30°. ∴.∠EAF=∠CAD=30°，即AC平 分∠DAF. 又：EF⊥AF,EG⊥AD, .EF=EG. BE平分∠ABC,EF⊥AB, EH⊥BC, .EF=EH. .EG=EH. 34 .DE平分∠ADC. E DH (第8题) 方法归纳 判定角平分线的方法 要证明角平分线，可以证明两 个角所在的三角形全等，利用全等 三角形的性质证明两个角相等：也 可以利用角平分线的判定定理来 证明 9.(1)过点M作ME⊥AD于点E. :DM平分∠ADC,∠C=90°， ME⊥AD, ∴.MC=ME ,M是BC的中点， .'BM=MC. ∴.BM=ME. ∠B=90°，ME⊥AD, ∴.AM平分∠DAB. (2)AM⊥DM! ∠B=∠C=90, .∠B+∠C=180°. ∴.ABDC. ∴.∠BAD+∠ADC=180. AM平分∠DAB,DM平分 ∠ADC, ·六.∠MAD=2∠BAD,∠MDA= ∠ADC. 1 1 ·∠MAD+∠MDA=2(∠BAD+ ∠ADC)=90°. .∠AMD=90° .AM⊥DM. 10.(1)130° (2)点P在∠BAC的平分线上. 理由：如图①，过点P分别作△ABC 三边的垂线，垂足分别为D,E,F .BP,CP分别平分∠ABC, ∠ACB, .PD=PE,PE=PF. .PD=PF. PD⊥AB,PF⊥AC, ∴.点P在∠BAC的平分线上 (3)如图②，连接AP并延长，在AP 的延长线上取PG=PC,连接GC. .'∠ABC=60°，∠ACB=40°， ∴.∠BAC=80. 由(2)得，AP平分∠BAC. .∴.∠PAC=40. .'CP分别平分∠ACB, ∴.∠ACP=20. ∴.∠PAC=∠ACB=40°，∠GPC= ∠PAC+∠ACP=60. PC=PG, ∴.△PGC为等边三角形 .∴.∠G=60°=∠ABC,PC=CG. 在△ABC和△CGA中， ∠ACB=∠CAG, ∠ABC=∠G, AC-CA, '.△ABC≌△CGA. ∴.AB=CG. 又PC=CG, .AB=PC. A B B E G ① ② (第10题) 15.4等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1.C2.B3.20 4.(1)AD⊥BC,BD=DE, .AD垂直平分BE. .'AB=AE. ∴.∠ABD=∠AED. .EF垂直平分AC, .AE=CE. .∠CAE=∠C. .∠BAE=40°， ∠AED=2(I80°-∠BAE)月 70°. .∠AED=∠C+∠CAE, ·∠C-号∠ABD=35 (2)由(1)得，AB=AE=CE. .△ABC的周长为21cm,AC= 8 cm, .'AB+BE+EC=13 cm,2DE+ 2EC=13 cm. .∴.DC=DE+EC=6.5cm. 5.D解析：OC=CD=DE, '.∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC '.∠DEC=∠DCE=∠O+ ∠ODC=2∠ODC..'∠BDE= ∠O+∠OED=3∠ODC=69°， ∴.∠ODC=23°..∠CDE+ ∠ODC=180°-∠BDE=111°， .∠CDE=111°-∠ODC=88. 6.A解析：设另一个角的度数是x, 表示出一个角的度数是2x一20°.分 情况讨论：①当x是顶角的度数， 2x-20°是底角的度数时，x十2(2x 20)=180°，解得x=44°..J顶角的 度数是44.②当x是底角的度数， 2x一20°是顶角的度数时，2x+2x 20°=180°，解得x=50°.∴.顶角的度 数是2×50°-20°=80°.③当x与 2x-20都是底角的度数时，x=2.x 20°，解得x=20°.∴.顶角的度数是 180°-20°×2=140°.综上所述，这个 等腰三角形的顶角的度数是44°或 80°或140. 易错警示 忽略等腰三角形顶角 和底角度数的取值范围 在求等腰三角形角的度数时， 若不能确定顶角和底角，则必须进 行分类讨论.若等腰三角形的顶角 为a,底角为B,则0°<a<180°， 0°<8<90° 7.100°解析：设∠AEC=x, ∠BDC=y.AC=AE,BC=BD, '.∠AEC=∠ACE=x,∠BDC ∠BCD=y.∴.∠A=180°-2x, ∠B=180°-2.∠ACB+∠A+ ∠B=180°，∠BDC.+∠AEC+ ∠DCE=180°，.∴.∠ACB+(180° 2.x)+(180°-2y)=180°，180°-(.x+ y)=∠DCE.∴.∠ACB+360° 2(x+y)=180.∴.∠ACB+ 2∠DCE=180°.：∠DCE=40°， .'.∠ACB=100° 8.6 9.55或35°解析：分两种情况讨 35 论：①如图①，当点D在点C的左侧 时，AB=AC,∠BAC=40°， ∴.∠ABC=∠C=70°.CD=CA, ∠C=70°，.∠BDA=∠CAD= 2×180-709=55②如图@.当 点D在点C的右侧时，，AB=AC, ∠BAC=40°，∴.∠B=∠ACB=70° CD=CA,.∠BDA=∠CAD. ∴.∠ACB=∠CAD+∠BDA= 2∠BDA.·∠BDA=2∠ACB 35°.综上所述，∠BDA的度数为55 或35. D B B D ② (第9题) 10.(1).·AD是边BC上的高， .∠ADC=90 AB=AC, .AD是∠BAC的平分线. ∴.∠BAD=∠CAD=30. .'AD=AE, .∴.∠ADE=∠AED=75」 ∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE= 90°-75°=15. (2)∠BAD=2∠EDC. .'AB=AC,AD=AE, ∴.∠B=∠C,∠ADE=∠AED. :∠ADC=∠B+∠BAD, ∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠B+∠BAD=∠ADC= ∠ADE+∠EDC=∠AED+ ∠EDC=∠C+2∠EDC. ∴.∠BAD=2∠EDC. 11.(1)△ABC是等边三角形， .∠B=60. ∠BAP=20°， ∴.∠APC=∠BAP+∠B=80. .AP=AQ,拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 15.3角的平分线 第1课时角的平分线的画法与性质定理 ☑基础进阶 (不与点C重合)，连接DF,EF.求证： 1.(2025·芜湖南陵期末)如图，∠AOB的平分 ∠DFO=∠EFO. 线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任 意一点，则下列说法正确的是 ( ) A.PQ≥5 B.PQ>5 C.PQ<5 D.PQ<5 (第4题) Q B P (第1题) (第2题) 2.(2024·绵阳)如图，在△ABC中，AB=5, 幻素能攀升 AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂 足为E.若△ABD的面积为5，则DE的 5.用尺规作图作△ABC的边BC上的高AD, 长为 下列作法正确的是 () () A.1 B.2 C.3 D.5 3.如图，A是∠MON的边OM上的一点，AE∥ ON. (1)尺规作图：作∠MON的平分线OB,交 AE于点B(不写作法，保留作图痕迹) (2)若∠MAE=48°，求∠OBE的度数. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为 (第3题) 圆心，适当的长为半径作弧，分别交x轴、 y轴于点M,N,再分别以点M,N为圆心， 大于2MN的长为半径画弧，两弧在第二象 限交于点P(a,b),则a,b之间的数量关系为 ( A.a+b=0 4.(2024·合肥包河期末)如图，OM是∠AOB B.a+6>0 的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA,CE C.a-b=0 OB,垂足分别为D,E.F是OM上的一点 D.a-b>0 (第6题) 86 第15章轴对称图形与等腰三角形 7.(2024·淮南长丰期末)如图，AB∥CD, (2)猜想AC,AF,CG之间的数量关系，并 ∠BAC,∠ACD的平分线交于点O,OE⊥ 说明理由. AC于点E,且OE=3cm,则直线AB与CD 之间的距离为 cm, A (第10题)》 D (第7题) (第8题) 8.*(2025·滁州全椒期末)如图， △ABC的面积是21，BO,CO分别 平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC 于点D,且OD=3,则△ABC的周长为 思维拓展 11.在△ABC中，D是边BC上的点 9.如图，D是∠EAF的平分线上的一点.若 (不与点B,C重合)，连接AD ∠ACD+∠ABD=180°，求证：CD=BD: (1)如图①，当D是边BC上的中 E 点时，S△ABD：S△ACD= (2)如图②，当AD是∠BAC的平分线时， 若AB=m,AC=n,求S△ABD:S△ACD的值 (用含m,n的代数式表示). (第9题) (3)如图③，AD平分∠BAC,延长AD到 点E,使得AD=DE,连接BE.若AC=2, AB=4,S△BDE=2.2,求S△MBc的值. D D ① ② (第11题) 10.(2024·宿州砀山期末)如图，∠BAC和 ∠ACD的平分线交于点E,过点E作 EF⊥AB于点F,EG⊥CD于点G. (1)求证：EF=EG. 87 拔尖特训·数学（沪科版）八年级上 第2课时角平分线性质定理的逆定理 自基础进阶 幻素能攀升 1.小明学习了全等三角形的相关知识后发现， 4.新情境·日常生活如图，绕某条湖有三条公路 只用两把完全相同的直尺就可以作出一个角 经过A,B,C三个村庄.现要新建一个加油 的平分线.如图，用一把直尺压住射线OB,用 站P,使其到三条公路的距离相等，这样的加 另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺 油站的位置有 交于点P,小明说：“射线OP就是∠BOA的 平分线.”他这样做的依据是 () A,角的内部到角两边距离相等的点在角的 平分线上 (第4题) B.角平分线上的点到角两边的距离相等 A.4处B.3处C.2处D.1处 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的 5.(2024·阜阳段考)如图，点O在△ABC内， 距离相等 且到三边的距离相等，连接OB,OC.若 D.以上均不正确 ∠BOC=120°，则∠A的度数是 () (第1题) (第2题) (第5题) 2.如图，∠D=∠B=90°，且CD=CB,则点C A.30°B.60°C.45° D.70° 在 的平分线上，点A在 的 6.如图，△ABC中，P,Q分别是BC 平分线上 AC上的点，作PR⊥AB,PS⊥AC 3.如图，BD为∠ABC的平分线，点P在BD 垂足分别是R,S,AQ=PQ,PR= 上，PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N,且 PS.有下列结论：①AS=AR;②QP∥AR; PM=PN.求证：AD=CD, ③△BRP≌△QSP.其中，一定正确的是 (填序号). (第3题) Q (第6题) 7.新情境·日常生活如图，已知OA和OB两条 公路，以及C,D两个村庄，现修建一个车站 P,使车站P到两个村庄的距离相等，且到 OA,OB两条公路的距离也相等.请确定车 88 第15章轴对称图形与等腰三角形 站P的位置（尺规作图，不写作法，保留作图爸思维拓展 痕迹). 10.如图，在△ABC中，∠ABC=60° ∠ACB=40°，P为∠ABC,∠ACB .C 的平分线的交点， ·D (1)∠BPC= 0 B (第7题) (2)点P是否在∠BAC的平分线上？请说 8.★(2024·芜湖无为期中)如图，在△ABC中， 明理由. 点D在边BC上，∠BAD=120°，∠ABC的 (3)求证：AB=PC. 平分线BE交AC于点E,过点E作EF⊥ AB交BA的延长线于点F,且∠AEF=60°， 连接DE.求证：DE平分∠ADC B (第10题) (第8题) 9.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且 DM平分∠ADC. (1)求证：AM平分∠DAB. (2)AM与DM之间有怎样的位置关系？请 证明. B (第9题) 89