14.1 全等三角形及其性质-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

典例3(1)①由BD∥EC,∠D= ∠C,得到∠A=∠F! ②由BD∥EC,∠A=∠F,得到 ∠D=∠C. ③由∠A=∠F,∠D=∠C,得到 BD//EC. (2)①“由BDEC,∠D=∠C,得到 ∠A=∠F”是真命题. 理由：，BDEC, .∠ABD=∠C ,∠D=∠C, .∠ABD=∠D. .AC∥DF. .∠A=∠F ②“由BD∥EC,∠A=∠F,得到 ∠D=∠C”是真命题. 理由：BD∥EC, ∴.∠ABD=∠C. ,∠A=∠F, ∴.ACDF. .∠D=∠ABD ∴.∠D=∠C ③“由∠A=∠F,∠D=∠C,得到 BDEC”是真命题： 理由：∠A=∠F, .AC∥DF ∴.∠D=∠ABD. ∠D=∠C, ∴.∠ABD=∠C. .BD//EC. [变式]：ABCD, .∠BEF+∠DFE=180 又EP,FP分别平分∠BEF, ∠DFE, .∠PEF= Z∠BEF,∠PFE= ∠DFE 1 .∠PEF+∠PFE= -(∠BEF+ ∠DFE)=×180=90 .∠P=90°. ∴.△EPF是直角三角形 典例4(1)110. (2)如图，AD,BE分别平分 ∠BAC和∠ABC, .∠1=∠2，∠3=∠4 又∠C=60, ∴.∠BAC+∠ABC=180°-∠C= 180°-60°=120 ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=120. .2∠1+2∠3=120° .∠1+∠3=60°. 由图，知△ABF与△DEF为“对顶三 角形”， ∴.∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60 ①. 又：'∠ADE比∠BED大6， ∴.∠ADE-∠BED=6②. 联立①②，得 (∠ADE+∠BED=60°， ∠ADE-∠BED=6°， 解得 ∠ADE=33°， ∠BED=27. ∴.∠BED=27. B (典例4图) [变式](1)：∠A+∠B+ ∠AOB=180°，∠C+∠D+ ∠COD=180°，∠AOB=∠COD, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D. (2)图②中有ABCD,BEDC,ABED 共计3个“8字” (3),BE平分∠ABC,DE平分 ∠ADC, ·.∠ABE=∠CBE=7∠ABC, ∠CDE=∠ADE=S∠ADC. :∠A+∠ABE=∠E+∠ADE, ∠C+∠CDE=∠E+∠CBE, :∠E=(ZA+∠C. [综合素能提升] 1.D2.C3.B4.B5.B 6.45 7.35°解析：∠ACB=90°， .∠A十∠B=90°.由折叠的性质， 得∠CB'D=∠B.:∠CB'D= ∠A+∠ADB'=∠A+20, ∴.∠B=∠A+20.∴.∠A+∠A+ 20°=90°..∠A=35. 8.(1)a2+b2-8a-12b+52=0, .a2-8a+16+b2-12b+36=0. ∴.(a-4)2+(b-6)2=0. .(a-4)2≥0，(b-6)2≥0， 21 ∴.a-4=0,b-6=0. .a=4,b=6. ,△ABC的三边长为a,b,c, '.6-4c6+4,即2c10 △ABC的最长边的长为c, .c≥6. .6≤c<10. a,b,c都是正整数， ∴.c的值为6或7或8或9. (2)a2+2b2-2ab+4b+4=0, ∴.a2-2ab+b2+b2+4b+4=0. ∴.(a-b)2+(b+2)2=0. ·(a-b)2≥0，(b+2)2≥0， ∴.a-b=0,b+2=0. .a=b=-2. .ab=4. 9.(1)在△ABC中，∠BAC=180° ∠B-∠C=180°-a-3=180° 50°-30°=100. :AD平分∠BAC, 1 .∠DAC=2∠BAC=50 :MN⊥BC, ∴.∠MND=90°. .∠NAC=90°-∠C=90°- 30°=60. ∴.∠DMN=∠NAC-∠DAC= 60°-50°=10° (2)在△ABC中，∠BAC=180°- ∠B-∠C=180°-a-3. AD平分∠BAC, ·∠DAC= ·∠BAC=90°- (a+8), ∴.∠ADN=∠DAC+∠C=90° 号a+0tg=02a-m .·MN⊥BC, ∴.∠MND=90° .∠DMN=180°-∠MND ∠ADN=180°-90°-90+2(a 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.B2.A3.B 4.(1).△ABC2△DEB, .'BC=EB=3. .AE=AB-EB=8-3=5. (2).△ABC2△DEB, .∠A=∠D=20°，∠DBE= ∠C=65° ∴.∠AED=∠DBE+∠D=65°+ 20°=85°. 5.B6.C 7.7解析：，△ABC≌△DEF, .BC=EF..BF=EC.BE= 10 cm,CF=4 cm,.'.BF+CE=6 cm. .'BF=EC=3 cm..'BC=BF+ FC=3+4=7(cm). 8.5或4解析：：两个三角形全等 13a-2b=5'或 u-2b=7'解得 a+2b=7 a+2b=5, a=3,a=3, 或 .a+b=5或4. b=2{b=1. 9.(1)∠BAE=∠CAD. 理由：，△ABD≌△ACE, .∠BAD=∠CAE. ,∠BAE=∠BAD+∠DAE, ∠CAD=∠CAE+∠DAE, ∴.∠BAE=∠CAD. (2)BE=CD. 理由：·△ABD≌△ACE, .'BD=CE BE=BD+DE,CD=CE+DE, .BE=CD. 10.(1)△ABD≌△EBC, .'BD=BC=3 cm,AB=EB=2 cm. ∴.DE=BD-EB=1cm. (2)AC⊥BD. 理由：△ABD≌△EBC, ∴.∠ABD=∠EBC. 又，点A,B,C在同一条直线上， ∴.∠ABD+∠EBC=180, .∠EBC=90°. ∴.AC⊥BD. (3)直线AD与直线CE垂直. 理由：延长CE交AD于点F. :△ABD≌△EBC, .∠D=∠C .易得∠A十∠D=90, .∠A+∠C=90° ∴.∠AFC=90°. ∴.直线AD与直线CE垂直 方法归纳 平面内两条直线常见的特殊 位置关系：平行和垂直 (1)证平行：证明两条直线平 行，通常考虑两个角的相等或互补 关系，当题目中涉及全等三角形 时，要灵活运用全等三角形对应角 相等的性质. (2)证垂直：根据90°角的补角 为90°或两角互余来证垂直.由于 全等三角形的对应边相等，对应角 相等，所以我们常利用全等三角形 的性质探索新的线段的关系与角 的关系. 11.(1)①当点P在AC上时， △APC不存在 ②当点P在BC上时，如图①. :△APC的面积等于△ABC面积 的一半， :.易得CP=2BC=2cm 9 .此时点P运动的距离为AC+ cp=12+号2em 11 ③当点P在AB上时，如图②. ,△APC的面积等于△ABC面积 的一半， 易得BP=名AB-7am ∴.此时点P运动的距离为AC十 1557 BC+BP=12+9+=2(cm. ∴.t= ÷321 19 2 综上所述1的值为号或号 (2).△APQ≌△DEF, ∴.AP=DE=4cm,AQ=DF= 5 cm. ①当点P在AC上时，如图③. 此时点Q的运动速度为5÷(4÷3)= (cm/). ②当点P在AB上时，如图④. 此时点P运动的距离为9+12+15一 4=32(cm),点Q运动的距离为9+ 12+15-5=31(cm). 22 .点Q的运动速度为31÷(32÷ 3-8am/s. 综上所述，点Q的运动速度为cm、 或号em水 ② C B ④ (第11题) 14.2三角形全等的判定 第1课时两边及其夹角分别 相等的两个三角形 1.C2.58 3.答案不唯一，如AB=DE 易错警示 混淆判定方法致错 在“SAS”这个判定方法中，包 含了边和角两种元素，一定要记住 角是两边的夹角，不能混淆成某一 条边的对角 4.AB=CD,DE=BE,第14章 全等三角形 14.1全等三 白基础进阶 1.下列图形中，被分割成两个全等形的是 C D. 2.如图，若△OAD≌△OBC,∠O=65°，∠D 20°，则∠BED的度数为 A.75°B.85° C.60°D.55° B (第2题) (第3题) 3.(2024·淮北期末)如图，△ABC≌△DE℃， 点A,E,C在同一条直线上，AE=2,BC 3,则CD的长为 A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图，△ABC2△DEB,点E在AB上，AC 与BD交于点F,AB=8,BC=3,∠C=65°， ∠D=20°.求： (1)AE的长. (2)∠AED的度数. (第4题) 60 角形及其性质 幻素能攀升 5.如图，若△ABC≌△ADE,则下列结论中，一 定成立的是 D (第5题) A.AC-DE B.∠BAD=∠CDE C.AB=AE D.∠B=∠E 6.如图，△AOB≌△DOC,若△AOB的周长为 10,且BC=4,则△DBC的周长为() B (第6题) A.10 B.12 C.14 D.16 7.(2024·六安金寨期末)如图，若△ABC≌ △DEF,且BE=10cm,CF=4cm,则BC= cm. D C (第7题) 8.方程思想有两个三角形全等，若一 个三角形的三边长分别为3,5,7，另 一个三角形的三边长分别为3,3a一 2b,a+2b,则a十b= 9.如图，△ABD≌△ACE,点B,D,E,C在同 一条直线上 (1)∠BAE与∠CAD有何关系？请说明 理由. (2)BE与CD相等吗？请说明理由. D (第9题) 10.*如图，点A,B,C在同一条直线上，点E在 BD上，且△ABD≌△EBC,AB=2cm, BC=3 cm. (1)求DE的长 (2)判断AC与BD之间的位置关系，并说 明理由， (3)判断直线AD与直线CE之间的位置关 系，并说明理由. D A B (第10题) 第14章全等三角形 思维拓展 金 11.分类讨论思想如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=9cm,AC= 12cm,AB=15cm,现有一动点P 从点A出发，沿着AC→CB→BA运动，回 到点A时停止，速度为3cm/s,设运动时间 为ts. (1)连接PC.当△APC的面积等于△ABC 面积的一半时，求t的值 (2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE= 4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的 边上，若另外有一个动点Q,与点P同时从 点A出发，沿着AB→BC→CA运动，回到 点A时停止.连接PQ,在两点运动过程中 的某一时刻，恰好存在△APQ≌△DEF,求 点Q的运动速度： B ② (第11题) 61