14.1 全等三角形及其性质-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（沪科版2024）

第14章全等三角形 /111111/1 大单元建构· //1/111 SAS 全等一角 A54 全等形 全等三角形 形的判道 直角一角形全等的判逆 AAS 8SS HI 全等三角形的性质 成川 在实际问题中的应川 应边相 应角相等 证明线段相等、角相等、线平行、垂直等 本章核心素养· //H1H// 学科核心素养 具体内容 价值 利用全等三角形的性质计算线段的长度、图形的周 运算能力有助于形成规范化思考问题的品 运算能力 长，结合三角形的内角和定理及外角的性质计算角 质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度. 度等 证明文字命题时，要画出图形，用图形语言表示命 题，便于推理证明.在证明三角形全等时，结合图形， 几何直观有助于把握问题的本质，明晰思 几何直观 通过观察公共边、公共角，线段的和差关系，等角的 维的路径. 和差关系，找出全等的条件，证明命题 证明三角形全等、线段相等、角相等时，要分析题意， 推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻 推理能力 结合图形，根据已知条件、定义，基本事实、定理进行 辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度 演绎推理，培养学生的推理能力。 与理性精神！ 在不能直接测量河岸宽度、悬崖宽度、瓶子的内径 应用意识有助于用学过的知识和方法解决 时，应用全等三角形的性质间接地测量，能运用全等 应用意识 简单的实际问题，养成理论联系实际的习 三角形的知识解决实际问题，培养学生学习数学、应 惯，发展实践能力. 用数学解决问题的能力. 在证明全等三角形时，根据给定的条件和图形，出现 “一线三等角”“一线三垂直”、一个三角形绕顶点旋 模型观念有助于开展跨学科主题学习，感 模型观念 转一个角度得到另一个三角形(“手拉手”模型)等 悟数学应用的普遍性。 时，能清楚地知道属于哪种模型，怎么进行证明，模 型观念有利于解决相关问题. △八年级·上册·数学.lHH 73 14.1全等三角形及其性质（答案P17) 通基础 i111111111111111161111 知识点3全等三角形的性质 5.(合肥瑶海区期末)如图所示，△ABC≌ 知识点1全等形 △DBE,若AB=10,BE=4,则CD的长 1.下列各组中的两个图形是全等形的是( 为() ⊕ B C 2.(阜阳太和月考)下列说法正确的是( A.两个面积相等的图形，一定是全等形 A.4 B.5 C.6 D.7 B.若两个图形周长相等，则它们一定是全 6.(滁州定远月考)如图所示，△ABC≌△A'B'C, 等形 ∠ACB=90°，∠A'CB=20°，则∠BCB'的度 C.两个等边三角形一定是全等形 数为() D.能够完全重合的两个图形是全等形 知识点2全等三角形的对应顶点、对应边、对 应角 3.如图所示，△ABC≌△CDA,且AB与CD是 A.20° B.40° C.70° D.90° 对应边，那么下列说法错误的是( 7.已知△ABC≌△FED,若△ABC的周长为 A.∠1与∠2是对应角 Q2 32,AB=8,BC=12,则FD的 B.∠B与∠D是对应角 长为 C.BC与CD是对应边 8.(芜湖无为月考)如图所示，已知△ABE≌ D.AC与CA是对应边 △CDF,且B,E,F,D四点在同一直线上，线 4.教材P92练习T2变式如图所示，已知△ABC 段AE和线段CF在位置和数量上存在什么 与△AED全等且AC与AD是对应边，C与 关系？并说明理由 D是对应顶点，试写出表示这两个三角形全 等的式子，并指出它们的对应边与对应角 74 通能力 11EE1211111111411111 13.如图所示，△ABD≌△ACD,B,D,C在同 一条直线上，∠BAC=90. 9.(毫州利辛期末)如图所示，△ABC≌ (1)求∠B的度数. △ADE,∠CAE=90°，AB=2,则图中阴影 (2)判断AD与BC的位置关系，并说明 部分的面积为( 理由. A.2 B.3 C.4 D.无法确定 10.已知△ABC的三边长分别为3,4,5，△DEF 的三边长分别为3,3x一2,2x+1,若这两个 三角形全等，则x的值为( A.2 R2或写 c号 n2政号支号 通素养uu 11.推理能力（六安裕安区期中）如图所示， 14.运算能力（滁州定远期中）如图所示， △ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则 △ABC≌△DBE,点D在边AC上，BC与 对于结论：①AC=AF;②∠FAB= DE交于点P,已知∠ABE=162°， ∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC. ∠DBC=30°，AD=DC=2.35,BC=4. 其中正确的结论有( (1)求∠CBE的度数. (2)求△CDP与△BEP的周长和. A.1个B.2个 C.3个 D.4个 12.如图所示，CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点 E,△ABE≌△ACD,∠C=42°，AB=9, AD=6,G为AB延长线上一点. (1)求∠EBG的度数. (2)求CE的长. △八年级·上册·数学.1H 75【例2】D 【变式训练2】 解：(1)35 (2)30 (3)设∠ABC=∠ACB=y,∠ADE=∠AED=x, ∠CDE=&,∠BAD=3. A D B DaC ① ② ①如图①所示，当点D在点B的左侧时， ∠ADC=x-a, y=x+a①， “0=x-a十9g②.①-②，得2a-月=0， ∴.2a=3,即2∠CDE=∠BAD； ②如图②所示，当点D在线段BC上时， ∠ADC=x+a, x十a=y十B0,O-②，得2a=B, x=y+a②， 即2∠CDE=∠BAD: ③如图③所示，当点D在点C右侧时， ∠ADC=x-a, ra+y+8=1800. lx+y+a=180°②， ②-①，得2a-B=0,∴.2a=3,即2∠CDE=∠BAD. 综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是 2∠CDE=∠BAD. 【例3】C 【变式训练3】7或3 【例4】解：解法1：延长AD交BC于点E,如图①所示， 则根据三角形外角的性质有∠ADC=∠C+∠DEC, ∠DEC=∠A+∠B,.∠ADC=∠A+∠B+∠C 30°+45°+25°=100° ① ② 解法2：过点D作BC的平行线EF,交AB于点E,如 图②所示，则由平行线的性质知∠FDC=∠C, ∠AED=∠B.又根据三角形外角的性质有∠ADF ∠A+∠AED, ∴.∠ADF=∠A+∠B.又∠ADC=∠ADF+∠FDC, ..∠ADC=∠A+∠B+∠C=30°+45°+25°=100°， (解法不唯一) 【变式训练4】解：(1)∠1∠2∠A (2)思路一：在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+ ∠PCB+∠4=180°， ∴.∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180° 67°-25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， ∴.∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132° 思路二：，∠2是△ABD的外角， ∴.∠2=∠3+∠A=25°+67°=92° ,∠1是△CDP的外角， ∴.∠1=∠2+∠4=92°+40°=132° 【通模拟】 1.B2.A3.A4.B5.B6.C7.6 8.90°或60°9.真 10.解：(1)a,b,c是△ABC的三边， .∴.a+c>b,b+c>a, .∴.a-b+c0,a-b-c<0, ∴.|a-b+c|+a-b-c|=(a-b+c)-(a-b- c)=a-b+c-a+b+c=2c. (2解方程组8十二11解得公-：程搭三角 形的三边关系，得5-2<c<2+5,即3<c<7. .c为偶数，c=4或6， 当c=4时，三角形的三边长分别为2,5,4,2十4> 5,能构成三角形； 当c=6时，三角形的三边长分别为2,5,6,2+5> 6,能构成三角形， ∴.这个三角形的周长为2十5十4=11或2+5十6=13. 11.解：(1).∠ADC是△ABD的一个外角， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD. 又，∠ADC=80°，∠B=∠BAD, ∠B=2∠ADC=2×80=40. (2)在△ABC中， .∠BAC+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-70°=70°. 【通中考】 12.1 13.解：，在△ABC和△DEF中，∠BAC=∠EDF= 90°，∠E=45°，∠C=30°， ∴.∠B=90°-∠C=60°，∠F=90°-∠E=45°. BC∥EF,.∠MDB=∠F=45°， ,.在△BMD中， ∠BMD=180°-∠B-∠MDB=75°. 第14章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 1.A2.D3.C 4.解：△ABC≌△AED, 对应边是AB和AE,BC和ED,AC和AD,对应角 是∠C和∠D,∠BAC和∠EAD,∠B和∠E. 5.C6.C7.12 8.解：AECF,AE=CF. 理由：，△ABE≌△CDF, .AE=CF,∠AEB=∠CFD. ,∠AEB+∠AEF=180°，∠CFD+∠CFE=180°， .∠AEF=∠CFE,∴.AECF. 9.A10.A11.C 12.解：(1).△ABE2△ACD, .∠EBA=∠C=42°， ∴.∠EBG=180°-42°=138°. (2).△ABE≌△ACD, ∴.AC=AB=9,AE=AD=6, ∴.CE=AC-AE=9-6=3. 13.解：(1).△ABD≌△ACD,∴.∠B=∠C. 又：∠BAC=90°，.∠B=∠C=45°. (2)AD⊥BC 理由：，△ABD≌△ACD,∴∠BDA=∠CDA. .∠BDA+∠CDA=180°， ∴.∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC. 14.解：(1)∠ABE=162°，∠DBC=30°， ∴.∠ABD+∠CBE=132° :△ABC≌△DBE,∴.∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， 即∠CBE的度数为66° (2).△ABC≌△DBE， .'DE=AC=AD+DC=4.7,BE=BC=4, ∴.△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+ BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.35+ 4.7+4+4=15.05. 14.2三角形全等的判定 1.两边及其夹角分别相等的两个三角形 1.解：已知：线段a,b,∠3. 求作：△ABC,使得BC=a,AC=b,∠ACB=∠B, 如图所示，△ABC即为所求. 人B 2.B3.D4.A5.D6.B7.A 8.解：△BPD与△CQP全等. 理由：经过1秒后，PB=3cm,PC=5cm,CQ=3cm .点D为AB的中点，AB=10cm, .'.AD=BD=5 cm, ∴.BD=PC .AB=AC, ∴∠B=∠C 在△BPD和△CQP中， BD=PC, ∠B=∠C, BP=CQ, ∴.△BPD≌△CQP(SAS). 9.解：(1)EF=BE+DF (2)结论EF=BE+DF仍然成立. 理由：如图所示，延长FD到点G,使DG=BE,连接 AG. B .∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， ..∠B=∠ADG. BE=DG, 在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG, AB=AD, ∴.△ABE≌△ADG(SAS), ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. :∠EAF=号∠BAD. ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF=∠EAF. IAE-AG. 在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF, AF-AF. ∴.△AEF≌△AGF(SAS),∴.EF=FG. .FG=DG+DF=BE+DF,∴.EF=BE+DF」 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形 1.解：如图所示，△ABC为所求作的三角形. 2.B 3.∠ACB=∠DBC 4.证明：，AE和BD相交于点O, ..∠AOD=∠BOE 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B,.∠BEO=∠2. 又，∠1=∠2， ∴.∠1=∠BEO, ∴.∠AEC=∠BED. ∠A=∠B, 在△AEC和△BED中，{AE=BE, ∠AEC=∠BED, .'.△AEC2△BED(ASA). 5.解：(1)7.5 (2)由操作过程知AB⊥BD,CD⊥BD,BO=DO, ∴.∠ABO=∠CDO=90. I∠ABO=∠CDO, 在△ABO和△CDO中，{BO=DO, ∠AOB=∠COD, ∴.△ABO≌△CDO(ASA), .AB=CD=7.5m,即他们的做法是合理的. 6.D7.3 8.解：(1)AC∥DF,∴.∠ACB=∠DFE. |∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中，AC=DF, ∠ACB=∠DFE, .△ABC≌△DEF(ASA), ∴.∠ABC=∠DEF,.AB∥DE (2),△ABC≌△DEF,∴.BC=EF, 即BF+CF=CE+CF,.BF=CE .'BE=20 m,BF=6 m, ..CF=BE-CE-BF=BE-BF-BF=20-6- 6=8(m). 9.解：(1)①△DBC2△ECB②∠ACD=∠ABE ③BD=CE(答案不唯一) (2)答案不唯一，示例：选择③BD=CE, 理由：在△ABE与△ACD中， ,∠A=∠A,AE=AD,∠AEB=∠ADC, ∴.△ABE≌△ACD(ASA), ∴.AB=AC,∴.AB-AD=AC-AE, ..BD=CE. 8